Tychonoffの板

各 $\alpha_n$ は可算な順序数なので可算集合であり、上限 $\sup_n\alpha_n=\bigcup_n\alpha_n$ は可算個の可算集合の和集合として可算である（可算選択公理を使う）。可算な順序数は $\omega_1$ より小さい。$\square$

1：$[0,\omega_1]$ と $[0,\omega]$ はコンパクト（順序位相 の命題「閉順序数区間のコンパクト性」）かつ Hausdorff（同記事の命題「順序位相は Hausdorff」）である。2 つのコンパクト空間の直積はコンパクトで（Tychonoffの定理）、Hausdorff 空間の直積は Hausdorff なので、$T$ はコンパクト Hausdorff である。正規空間 の定理「コンパクト Hausdorff 空間は正規」により正規である。
2：Hausdorff 空間の 1 点は閉なので $T_\ast$ は開である。$t^\ast$ の基本近傍 $(\gamma,\omega_1]\times(m,\omega]$ はどれも $t^\ast$ 以外の点を含むので、$T_\ast$ は稠密である。局所コンパクト性は 局所コンパクト空間 の命題「開部分空間への遺伝」による。$T$ は Tychonoff 空間であり（Tychonoff空間 の命題「コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間」）、その部分空間 $T_\ast$ も Tychonoff 空間である（同記事の命題「部分空間での保存」）。
3：$A=T_\ast\cap(\{\omega_1\}\times[0,\omega])$、$B=T_\ast\cap([0,\omega_1]\times\{\omega\})$ はどちらも $T$ の閉集合と $T_\ast$ の共通部分なので、$T_\ast$ の閉集合である。$\{\omega_1\}\times[0,\omega]$ と $[0,\omega_1]\times\{\omega\}$ の共通部分は $t^\ast$ だけなので、$A\cap B=\emptyset$ である。
4：開集合の族 $\{T_\ast\setminus A\}\cup\{[0,\omega_1]\times\{n\}\mid n<\omega\}$ は $T_\ast$ を覆う（$[0,\omega_1]\times\{n\}$ は $n$ が孤立点なので開）。点 $(\omega_1,n)\in A$ を含むのは $[0,\omega_1]\times\{n\}$ だけなので、有限部分被覆はない。よって $T_\ast$ はコンパクトでない。$T$ はコンパクト Hausdorff で $T\setminus T_\ast$ は 1 点なので、一点コンパクト化 の定理「一点コンパクト化の特徴づけ」により、$T$ は $T_\ast$ の一点コンパクト化と同相である。$\square$

$U\supset A$、$V\supset B$ を $T_\ast$ の開集合とする。
各 $n<\omega$ について、点 $(\omega_1,n)$ は $U$ に属する。$n$ は $[0,\omega]$ の孤立点で、$\omega_1$ の基本近傍は $(\gamma,\omega_1]$ の形なので、
$$ (\alpha_n,\omega_1]\times\{n\}\subset U $$
となる $\alpha_n<\omega_1$ がある。各 $n$ についてこのような $\alpha_n$ を 1 つ選ぶ。lem-tplank-countable により $\alpha:=\sup_n\alpha_n<\omega_1$ である。
点 $(\alpha+1,\omega)$ は $B$ に属するので $V$ に属する。$\alpha+1$ は後続順序数なので $[0,\omega_1]$ の孤立点であり、$\omega$ の基本近傍は $(m,\omega]$ の形なので、
$$ \{\alpha+1\}\times(m,\omega]\subset V $$
となる $m<\omega$ がある。$n:=m+1$ とすると、点 $(\alpha+1,n)$ は $V$ に属する。一方 $\alpha_n\le\alpha<\alpha+1\le\omega_1$ なので $(\alpha+1,n)\in(\alpha_n,\omega_1]\times\{n\}\subset U$ である。よって $U\cap V\ne\emptyset$ である。
prop-tplank-basic の 3 により $A,B$ は互いに交わらない閉集合なので、$T_\ast$ は正規性の条件を満たさない。$\square$

$T_\ast$ は正規空間 $T$ の開部分空間で（prop-tplank-basic の 1・2）、局所コンパクト Hausdorff 空間かつ Tychonoff 空間であり（同 2）、thm-tplank-not-normal により正規でない。$\square$

要点：揺れ幅が $1/k$ 以上の組が非可算の先まで続くと仮定し、それを可算回拾って上限の点で連続性に矛盾させる。

$T_\ast$ は $T$ で稠密で $\mathbb R$ は Hausdorff なので、延長はあっても 1 つしかない。
存在を示す。各 $n<\omega$ について $f(\cdot,n)$ は $[0,\omega_1]$ の上の連続関数であり、$f(\cdot,\omega)$ は $[0,\omega_1)$ の上の連続関数である。lem-tplank-eventually-constant により、$f(\cdot,n)$ は $[\gamma_n,\omega_1)$ の上で一定値 $c_n$ をとり、$f(\cdot,\omega)$ は $[\gamma_\omega,\omega_1)$ の上で一定値 $c$ をとるような $\gamma_n,\gamma_\omega<\omega_1$ がある。$\omega_1$ の基本近傍は $(\gamma,\omega_1]$ の形なので、$f(\cdot,n)$ の $\omega_1$ での連続性から $f(\omega_1,n)=c_n$ でもある。
lem-tplank-countable により $\gamma:=\sup\{\gamma_\omega,\gamma_0,\gamma_1,\dots\}<\omega_1$ である。点 $(\gamma,\omega)\in T_\ast$ での $f$ の連続性と、$(\gamma,n)\to(\gamma,\omega)$（$n\to\infty$）から、$c_n=f(\gamma,n)\to f(\gamma,\omega)=c$ である。
$F(t^\ast):=c$、$F|_{T_\ast}:=f$ と定める。$F$ は開集合 $T_\ast$ の上で連続なので、$t^\ast$ での連続性を示せばよい。$\varepsilon>0$ に対し、$n>m$ なら $\lvert c_n-c\rvert<\varepsilon$ となる $m$ をとる。近傍 $(\gamma,\omega_1]\times(m,\omega]$ の点 $(\beta,n)\ne t^\ast$ について、$n<\omega$ なら $\beta\ge\gamma_n$ なので $F(\beta,n)=c_n$、$n=\omega$ なら $\beta<\omega_1$ なので $F(\beta,\omega)=c$ である。どちらでも $\lvert F(\beta,n)-c\rvert<\varepsilon$ である。$\square$

$K$ は Tychonoff 空間なので、ある集合 $I$ について $[0,1]^I$ の部分空間と見なせる（Tychonoff空間 の定理「立方体への埋め込み」）。$u$ の各座標 $u_i\colon T_\ast\to[0,1]$ を thm-tplank-extension で $\bar u_i\colon T\to\mathbb R$ に延ばすと、$T_\ast$ が稠密で $[0,1]$ が閉なので $\bar u_i$ の値は $[0,1]$ に入る。$\bar u:=(\bar u_i)_i\colon T\to[0,1]^I$ は連続で、$\bar u(T)\subset\overline{u(T_\ast)}\subset K$ である（$K$ はコンパクトなので閉）。一意性は $T_\ast$ の稠密性と $K$ の Hausdorff 性による。この普遍性をもつコンパクト化は同相を除いて一意である（Tychonoff空間 の定理「Stone–Čech コンパクト化の存在」）。$\square$

$T_\ast$ が正規だと仮定すると、Urysohn の補題（正規空間 の定理「Urysohn の補題の言明」）により、$A$ の上で $0$、$B$ の上で $1$ をとる連続関数 $g\colon T_\ast\to[0,1]$ がある。thm-tplank-extension の延長 $G$ を考える。$t^\ast$ の近傍 $(\gamma,\omega_1]\times(m,\omega]$ は $A$ の点 $(\omega_1,m+1)$ と $B$ の点 $(\gamma+1,\omega)$ を含むので、$t^\ast$ は $A$ の閉包にも $B$ の閉包にも属する。$G$ の連続性から $G(t^\ast)\in\overline{G(A)}=\{0\}$ かつ $G(t^\ast)\in\overline{G(B)}=\{1\}$ となり矛盾する。$\square$