随伴次数環

前提知識: 可換環, イデアル, 次数付き環, 剰余環, 局所化

近似の最初の部分を分ける

イデアル $I$ の冪は、環の元がどれほど深く $I$ に属するかを測る。$I^n$ の元をすべて同じ深さとみなすのではなく、さらに深い $I^{n+1}$ に属する部分を零として取り除くと、深さがちょうど $n$ の情報が残る。この情報を次数ごとに並べた環が随伴次数環である。
元の環が非斉次な関係をもっていても、随伴次数環では最初に現れる次数の関係が見える。例えば局所環の極大イデアルについて取れば、一次部分は極大イデアルをその二乗で割ったベクトル空間になる。高次部分は一次の元の積で生成されるが、積に新しい関係が現れることがある。従って一般には自由な多項式環ではなく、その斉次商として理解する必要がある。
随伴次数環は冪を近似するための構成であり、元の環と同じ環ではない。元のすべての情報を保持するわけでもない。商環へ移ったときの核は、元のイデアルの初項を集めたイデアルで記述される。本記事ではその核を各次数で計算する。途中でNoether性や分離性を仮定せず、任意の環とイデアルについて成立する構成を先に扱う。

定義と代表の独立性

環は単位元をもつ可換環とし、零環も許す。$I$ は任意のイデアル、$I^0=A$ とする。直和の元は有限個の成分をもつ。形式級数を全次数で足したものではない。基本的な構成は AM69 Chapter 10 のイデアル進フィルトレーションと Chapter 11 の次数付き環の議論に対応する。

$I$ が真のイデアルでも、$A$ の中の非零元が随伴次数環に非零の初項をもつとは限らない。$\bigcap_nI^n$ に属する元はすべての次数でさらに深い冪へ入り、有限の最初の次数をもたない。この点は後の初項の定義と分離性で区別する。

次数一の元による生成

この全射が常に同型になるわけではない。一次の関係だけを記録する対称代数に対し、随伴次数環には高次の積の関係が追加され得る。次の表示は、その差を任意の有限生成イデアルについて正確に記述する。

$n=0$ の核は零である。次数零の写像は $B$ の恒等写像だからである。生成元を変えると $P,L,K$ の表示は変わるが、対称代数と随伴次数環、および自然な全射は生成元によらない。

主イデアルで多項式環になる条件

零因子による反例

体 $k$ に対し $A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$、$I=(\varepsilon)$ とする。次数零は $k$、次数一は $k\varepsilon$、次数二以上は零なので
$$\operatorname{gr}_I(A)\cong k[T]/(T^2).$$
一方 $I/I^2$ は一次元 $k$ ベクトル空間だから対称代数は $k[T]$ である。自然な全射には非零核 $(T^2)$ がある。生成元が零因子である場合に、主イデアルという理由だけで多項式環の同型を結論してはいけない。
一般に $I$ が冪零なら十分高い次数の成分はすべて零になる。$I$ が非零の冪零イデアルなら正次数の元に冪零性が現れる。この構成は非被約環を排除していない。随伴次数環が被約や整域となる条件は別に検討する必要がある。

商環の核と初項イデアル

任意のイデアル $J\subset A$ を取り、$\overline A=A/J$、$\overline I=(I+J)/J$ とする。$\overline I^n=(I^n+J)/J$ である。商写像は次数を保つ全射 $\operatorname{gr}_I(A)\to\operatorname{gr}_{\overline I}(\overline A)$ を誘導する。

この公式は、選んだ $J$ の生成元の初項だけで初項イデアル全体が生成されると述べてはいない。生成元の高次部分が組合せで相殺され、より高い次数の新しい初項が出ることがある。初項イデアルは $J$ のすべての元を使う定義であり、有限生成表示から計算したい場合は相殺も考慮しなければならない。
体 $k$ に対し $A=k[x,y]$、$I=(x,y)$、$J=(x+y^2,x)$ を取る。表示した二つの生成元の初項はどちらも $x$ である。しかし差 $y^2$ も $J$ に属するので、初項イデアルには $y^2$ が入る。実際 $J=(x,y^2)$ であり、初項イデアルは $(x,y^2)$ となる。$x$ の初項だけから作った $(x)$ はこれより真に小さい。商の次数二に新しい関係が必要なことが直接見える。

局所化は各次数で交換する

$S$ の元が $I$ に入る場合、随伴次数環の次数零でその像は零となる。それを反転した環は零である。局所化先では $S^{-1}I=S^{-1}A$ だから、随伴次数環も零になる。この端点を除外する必要はない。

Noether性と有限個の関係

$I$ が有限生成で $A/I$ がNoetherなら、随伴次数環はNoether環である。有限変数多項式環の商として表示できるためである。特に $A$ がNoetherなら $I$ と $A/I$ はこの仮定を満たす。
必要な多項式環のNoether性を短く証明する。Noether環 $B$ 上の $B[T]$ のイデアル $H$ を取る。$H=0$ は有限生成なので自明である。以下 $H\ne0$ とする。すべての先頭係数が生成するイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ有限個の多項式 $f_i\in H$ を選ぶ。次数の最大値を $c$ とする。次数 $c$ 以上の $g\in H$ の先頭項を $T$ の冪倍の $f_i$ の線形結合で消せば、次数を下げられる。反復後は次数が $c$ 未満になる。この低次数部分は有限自由 $B$ 加群の部分加群なので有限生成である。有限自由加群の部分加群の有限性は、第一座標の像イデアルと残りの座標の核を使う階数帰納で得られる。従って $H$ は有限生成。変数を反復して有限変数の場合を得る。
この有限性から、初項イデアルも有限個の斉次元で生成される。ただし元の $J$ の任意の生成元をそのまま初項へ送ったものが生成元になるとは限らず、前の相殺例を避ける必要がある。有限性の結論と具体的にどの初項を選ぶかという計算は別の問題である。

Rees代数との二つの商表示

普通のRees代数を $\mathcal R=\bigoplus_{n\ge0}I^nt^n$ とする。$I$ は次数零でこの環に作用するので、$I\mathcal R$ の次数 $n$ は $I^{n+1}t^n$ である。従って
$$\mathcal R/I\mathcal R\cong\operatorname{gr}_I(A)$$
となる。各次数の係数を法として比較するだけで積も保たれる。
拡張Rees代数を $\mathcal R'=\bigoplus_{n\in\mathbb Z}I^nt^n$、ただし $n\le0$ では $I^n=A$ とする。$t^{-1}$ はこの環に属し、$(t^{-1})$ の次数 $n$ は $I^{n+1}t^n$ となる。負次数では商が零、非負次数では $I^n/I^{n+1}$ なので
$$\mathcal R'/(t^{-1})\cong\operatorname{gr}_I(A)$$
となる。普通のRees代数に $t$ が属するのは $I=A$ の場合だけである。従って一般のイデアルについて $\mathcal R/(t)$ と書いて随伴次数環を作ることはできない。

初項から整域性を戻す条件

$I$ 進分離な非零環では、非零元 $a$ がすべての冪に属すことはない。そのためある最大の整数 $n$ について $a\in I^n\setminus I^{n+1}$ となり、次数 $n$ の非零元 $\operatorname{in}(a)$ を定められる。分離性を外すとこの最大次数が存在しない場合がある。

ここで分離性は非零元の有限の初項を保証するために使った。随伴次数環の計算だけで、見えない交叉に属する元を排除したわけではない。Noether局所環の真のイデアルなら Krullの交叉定理 によって分離性を供給できるが、一般環へそのまま移してはいけない。

多項式環の具体的な計算

体 $k$、$A=k[x_1,\ldots,x_r]$、$I=(x_1,\ldots,x_r)$ とする。$I^n$ は総次数 $n$ 以上の単項式で生成される。次数 $n$ の斉次多項式全体を $A_n$ と書けば、$I^n/I^{n+1}$ は $A_n$ と自然に同型になる。任意の多項式を総次数ごとに分ければ、次数 $n$ 以上の部分から $n$ の部分だけを取り出す写像がこの同型を与える。その核は次数 $n+1$ 以上の部分であり、$I^{n+1}$ に一致する。
積を取ると次数 $m$ と次数 $n$ の斉次部分は次数 $m+n$ に移る。従って全次数を集めて $\operatorname{gr}_I(A)\cong k[X_1,\ldots,X_r]$ を得る。$X_i$ は元の $x_i$ の次数一の像を表す。この表示では係数環は $A$ でなく $A/I=k$ である。元の多項式環のコピーに見えても、自然な構造写像と次数の役割は異なる。
$r\ge1$ の場合、各次数の単項式の数は $\binom{n+r-1}{r-1}$ である。$r=0$ では $A=k$、$I=0$ で、次数零には定数単項式が一個、正次数には単項式がない。これは有限商の長さの計算に使えるが、一般のイデアルで同じ単項式が独立とは限らない。対称代数からの全射だけが一般に保証され、独立性には関係がないことの証明が必要である。二重数環ではこの独立性が次数二ですでに失われた。したがって単項式の個数は一般の場合には生成元の数の上界として使い、無条件に基底の個数として使わない。

端点と情報の限界

$I=0$ では次数零だけが $A$、正次数は零なので $\operatorname{gr}_0(A)=A$ である。$I=A$ ではすべての成分が $A/A=0$ なので随伴次数環は零環である。零環から始めても全構成は零になる。対称代数からの全射、商の初項公式、局所化、Rees商の公式はこれらの端点でも成立する。
随伴次数環の同型だけから元の環の同型は結論できない。例えば $\mathbb Q[t]_{(t)}$ と $\mathbb Q\llbracket t\rrbracket$ の $(t)$ 進随伴次数環は、主イデアルの非零因子の定理によりどちらも $\mathbb Q[T]$ である。しかし前者は可算集合であり、後者は零と一だけを係数とする級数の族を含むので非可算である。従って環として同型ではない。有限精度の初項が一致することと、すべての無限近似が元として存在することは違う。
本記事の主題は各次数の代数、初項イデアル、商と局所化である。Hilbert–Samuel多項式の次数と次元の一致、正則局所環の特徴づけ、blow-upの幾何学は本記事では扱わない。これらへ進むときも、どの環でどのイデアルの随伴次数を取ったか、有限性と分離性をどこで供給したかを確認する必要がある。

関連項目

• 前提: イデアル、次数付き環、局所化
• 関連: Rees代数、Artin–Reesの補題
• 関連: 完備化、Krullの交叉定理