極小内部ファイブレーション

要点：引き戻しの相対ファイバーは元のファイバーと単体的集合として同型になり、同型は同値を保ち反映する。

$\Delta^n=N([n])$ は準圏で、$X\to\Delta^n\to\Delta^0$ は内部ファイブレーションの合成なので（ホーンと充填条件 の定理「右持ち上げ性質の閉包性」の (R2)）$X$ は準圏である。順序集合の脈体の $k$ 単体は頂点の列で決まるので、単体的集合から $\Delta^n$ への 2 つの写像は、頂点での値が等しければ等しい。
$m\ge0$、$u\colon\partial\Delta^m\to X$ とし、$q\colon X\to\Delta^0$ について $E_X(u):=E_q(u,*)$ とおく。$p\circ u=v|_{\partial\Delta^m}$ となる $v\colon\Delta^m\to\Delta^n$ について、$E_p(u,v)$ は $E_X(u)$ の部分単体的集合であり、$E_X(u)$ の $k$ 単体 $a\colon\Delta^m\times\Delta^k\to X$ が $E_p(u,v)$ に入る条件 $p\circ a=v\circ\mathrm{pr}$ は頂点の上で確かめればよい。$a$ の頂点 $(i,l)$ の値は頂点 $a|_{\Delta^m\times\{l\}}$ の頂点 $i$ の値なので、この条件は「$a$ のすべての頂点が $E_p(u,v)$ に入る」ことと同じである。よって $E_X(u)$ の同値な辺 $f$ が $E_p(u,v)$ の 2 頂点を結ぶなら、$f$ と、その逆の辺と、$[g][f]=[\mathrm{id}]$・$[f][g]=[\mathrm{id}]$ を証言する $2$ 単体は、頂点がその 2 頂点なので $E_p(u,v)$ に入る。逆向きは包含の関手性による。こうして、$p\sigma=p\sigma'=v$ となる $\sigma,\sigma'$ について、$E_p(u,v)$ で同値であることと $E_X(u)$ で同値であることは一致する。
残るのは、$E_X(u)$ で同値な $\sigma,\sigma'$ がいつも $p\sigma=p\sigma'$ を満たすことである。$m\ge1$ なら $\partial\Delta^m$ はすべての頂点を含むので、$p\sigma$ と $p\sigma'$ は頂点で $p\circ u$ に一致し、等しい。$m=0$ なら $\sigma,\sigma'$ は $X$ の頂点で、同値な辺 $f\colon\sigma\to\sigma'$ がある。$p(f)$ は $\Delta^n$ の同値な辺であり、$h(\Delta^n)$ は順序集合 $[n]$ そのもの（∞圏のホモトピー圏 の例「通常の圏を回収する」）で同型は恒等射だけなので、$p\sigma=p\sigma'$ である。以上より $\sigma\sim_q\sigma'$ と $\sigma\sim_p\sigma'$ は同値であり、2 つの極小性は一致する。$\square$

$X=N(\mathcal C)$、$q\colon X\to\Delta^0$ とする。
$n=0$：$E_q(\emptyset,*)=N(\mathcal C)$ であり、$h(N(\mathcal C))\cong\mathcal C$（∞圏のホモトピー圏 の例「通常の圏を回収する」）なので、対象が同値であることは $\mathcal C$ で同型であることと同じである。
$n=1$：$u=(x,y)$ とする。脈体は積を保ち（脈体 の命題「脈体は積を保つ」）、脈体関手は充満忠実なので（同記事の命題「脈体関手は充満忠実である」）、$E_q(u,*)$ の $k$ 単体は関手 $G\colon[1]\times[k]\to\mathcal C$ で、$\{0\}\times[k]$ を $x$ と恒等射に、$\{1\}\times[k]$ を $y$ と恒等射に送るものである。$f_l:=G((0,l)\to(1,l))$ とおくと、$l\le l'$ について $G((0,l)\to(1,l'))=f_{l'}\circ\mathrm{id}_x=\mathrm{id}_y\circ f_l$ なので $f_l=f_{l'}$ である。よって $E_q(u,*)$ のどの単体も頂点を 1 つしかもたず、$E_q(u,*)$ は集合 $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(x,y)$ を各次数に並べた離散な単体的集合である。その辺は退化した辺だけなので、同値な頂点は等しい。
$n\ge2$：脈体の $n$ 単体は辺の射で決まり（脈体 の補題「脈体への写像は辺と三角形で決まる」）、$n\ge2$ ではすべての辺が $\partial\Delta^n$ に入るので、境界の等しい 2 つの $n$ 単体は等しい。
よって $N(\mathcal C)$ の極小性は $n=0$ の条件「同型な対象は等しい」と同じである。$\square$

$p$ は Kan ファイブレーションなので内部ファイブレーションである。任意のホーンの包含 $h$ について、$h\mathbin{\square}j_n$ は Kan–Quillenモデル構造 の命題「Gabriel–Zisman の定理」の 2 によりアノダイン拡大なので $p$ に対して左持ち上げ性質をもち、内部ホーンと内部アノダイン射 の補題「持ち上げの問題と指数」により $h$ は $\langle j_n,p\rangle$ に対して左持ち上げ性質をもつ。よって $\langle j_n,p\rangle$ は Kan ファイブレーションで、その引き戻し $E_p(u,v)\to\Delta^0$ も Kan ファイブレーション、つまり $E_p(u,v)$ は Kan 複体である。
$E_p(u,v)$ の $\sigma$ から $\sigma'$ への辺は、写像 $H\colon\Delta^n\times\Delta^1\to X$ で $H|_{\Delta^n\times\{0\}}=\sigma$、$H|_{\Delta^n\times\{1\}}=\sigma'$、$H|_{\partial\Delta^n\times\Delta^1}=u\circ\mathrm{pr}$、$p\circ H=v\circ\mathrm{pr}$ を満たすものであり、これは同記事の定義「相対的なファイバーホモトピー」の $\sigma\simeq\sigma'\ (\mathrm{rel}\ \partial\Delta^n,\ /S)$ を与えるホモトピーそのものである。Kan 複体のホモトピー圏は亜群なので（Joyalの定理(準圏がKan複体である条件) の定理「Joyalの定理」の (R4)⇒(R1)）、$E_p(u,v)$ の辺はすべて同値である。逆に同値な辺はとくに辺である。よって $\sigma\sim_p\sigma'$ は「境界が等しく、$p\sigma=p\sigma'$ で、$\sigma\simeq\sigma'\ (\mathrm{rel}\ \partial\Delta^n,\ /S)$」と同値であり、これが $p$ 同値の定義である。$\square$

1。 面について閉じていることは定義そのものである。退化について、「$\sigma\in X'_n$ なら $0\le i\le n$ のすべてで $s_i\sigma\in X'_{n+1}$」を $n$ についての帰納法で示す。$s_i\sigma$ は退化しているので $Y_{n+1}$ に入り、あとは面がすべて $X'_n$ に入ることを示せばよい。単体恒等式により
$$ d_js_i\sigma=\begin{cases}s_{i-1}d_j\sigma&(j< i)\\ \sigma&(j=i,\ i+1)\\ s_id_{j-1}\sigma&(j>i+1)\end{cases} $$
である。$n=0$ では $d_0s_0\sigma=d_1s_0\sigma=\sigma\in X'_0$ である。$n\ge1$ では $d_j\sigma\in X'_{n-1}$ なので、帰納法の仮定によりその退化 $s_{i-1}d_j\sigma$、$s_id_{j-1}\sigma$ は $X'_n$ に入る。順序を保つ写像はすべて面と退化の写像の合成なので、$X'$ はすべての単体の作用で閉じている。
2。 $p':=p|_{X'}$ とする。$X'$ の $n$ 単体 $\sigma,\sigma'$ が $\sigma\sim_{p'}\sigma'$ を満たすとし、境界を $u$、像を $v$ とする。$E_{p'}(u,v)$ の単体は $X'$ に値をとる写像 $\Delta^n\times\Delta^k\to X$ なので、$E_{p'}(u,v)$ は $E_p(u,v)$ の部分単体的集合であり、包含は同値な辺を同値な辺に送る（∞圏のホモトピー圏 の命題「関手性」）。よって $\sigma\sim_p\sigma'$ であり、$\sigma,\sigma'$ はともに $Y_n$ に入って同じ類の代表なので $\sigma=\sigma'$ である。$\square$