正則環準同型

同義語：正則準同型regular ring homomorphismregular ring map

概要

前提知識: 環準同型, 平坦加群, 素イデアル, 正則局所環

環そのものと、環の間の写像を区別する

正則局所環は、環の各点の局所的な特異性を測る概念である。それに対し正則環準同型は、二つの環を結ぶ写像の相対的な性質を表す。始域と終域が正則環であることを要求する定義ではない。同じ終域の環でも、どの環からどのように係数を受け取るかによって、正則な準同型になるかどうかが変わる。
以下では環は単位元をもつ可換環とし、$A,B$ はNoether環とする。零環も許す。Noether環が正則であるとは、すべての素イデアルでの局所化が正則局所環であることをいう。零環には素イデアルがないので、この意味では正則である。ファイバーが空になる場合を零環によって表すため、この規約が役立つ。
体 $k$ 上のNoether代数 $D$ が幾何学的に正則であるとは、任意の有限次体拡大 $k'/k$ に対して $D\otimes_k k'$ が正則となることをいう。基礎体を変えても特異性が生まれないという条件であり、$D$ 自身が正則であることより強い。以下ではこの体拡大を含めてファイバーの条件を述べる。

正則環準同型

環準同型 $u:A\to B$ が正則環準同型であるとは、$B$ が $A$ 上平坦であり、すべての素イデアル $\mathfrak p\subset A$ に対して
$$ B\otimes_A\kappa(\mathfrak p) $$
が $\kappa(\mathfrak p)$ 上幾何学的に正則であることをいう。本記事では始域と終域をNoether環に限定する（定義は StacksRegDef に対応する）。

英語では regular ring homomorphism または regular ring map と呼ばれる。複素解析で正則関数のように局所座標で表される「正則写像」とは別の語義である。また、代数幾何で多項式や分数式により定義される射を regular map と呼ぶ用法とも区別する。ここで扱うのは平坦性と幾何学的正則ファイバーという二条件である。
平坦性は、加群の単射を $B$ とテンソルしても単射のまま保つという条件である。ファイバーは、点 $\mathfrak p$ を固定したうえでその剰余体まで係数を移した環である。平坦性が異なる点の間の整合性を制御し、幾何学的正則性が各点の上に現れる環を制御する。各ファイバーだけを個別に調べても、平坦性までは得られない。
$$ {\xymatrix{A\ar[r]^u\ar[d]&B\ar[d]\\\kappa(\mathfrak p)\ar[r]&B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)}} $$
この図式で、$A$ の元は二つの経路で同じ元へ写る。右下の環を調べるときの基礎体は $\kappa(\mathfrak p)$ であり、任意に選んだ別の体ではない。さらに有限次体拡大を施すときは、この右下の環をその剰余体から拡張する。

恒等写像と局所化

恒等写像 $A\to A$ は常に正則である。$A$ は自分自身の上で自由加群なので平坦であり、各ファイバーは $\kappa(\mathfrak p)$ に一致する。有限次体拡大後もその拡大体になるので、幾何学的に正則である。環 $A$ が正則であるという仮定は必要ない。
たとえば体 $k$ に対する $A=k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ の恒等写像は正則である。この環は非零冪零元をもち、零次元局所環の極大イデアルは一つの生成元を必要とするので正則局所環ではない。それでも恒等写像の相対的なファイバーにはその冪零方向が残らない。始域と終域を同時に固定した写像の性質と、終域単独の性質が違うことが、この最も基本的な例に現れる。

局所化写像は正則である

$S\subset A$ を乗法的集合とする。自然写像 $A\to S^{-1}A$ は正則環準同型である。

局所化が平坦であることは、単射 $M\hookrightarrow N$ を局所化して確かめられる。$m/s$ の像が $S^{-1}N$ で零なら、ある $t\in S$ について $tm=0$ が $N$ で成立する。元の写像が単射なので同じ等式が $M$ でも成立し、$m/s$ は既に零である。$M\otimes_A S^{-1}A\cong S^{-1}M$ だから、これが平坦性を示す。
点 $\mathfrak p$ でのファイバーは $S^{-1}\kappa(\mathfrak p)$ である。$S\cap\mathfrak p=\emptyset$ なら、$S$ の像は剰余体の非零元なので、局所化しても剰余体のままである。$S\cap\mathfrak p\neq\emptyset$ なら、剰余体で零になる元を逆にするため、ファイバーは零環となる。どちらの場合も有限次体拡大後は体または零環であり、正則である。
またNoether環の局所化はNoetherである。局所化環のイデアルは元の環に逆像してから拡張したものと等しく、逆像の有限個の生成元の像で生成される。従って本記事で課したNoether条件も満たす。

ここではファイバーが空になることを悪い特異点と数えない。局所化では、逆にした元が零になる点を像から除いている。除かれた点のファイバーは零環であり、残った点では剰余体である。正則準同型であることから、全ての点が像に入ることや忠実平坦であることは従わない。

平坦性を省くことはできない

全てのファイバーが良くても平坦でない

素数 $p$ に対する商写像 $\mathbb Z\to\mathbb F_p$ は、全ての非零ファイバーが剰余体であるが、正則環準同型ではない。

$\mathbb Z$ の点 $(p)$ におけるファイバーは $\mathbb F_p$ である。他の点では $p$ が剰余体で非零、従って単元となる一方、$\mathbb F_p$ 上では零になる。そのためテンソル積は零環となる。生成点 $(0)$ でも同じ理由で零環である。体と零環のファイバーはそれぞれ幾何学的に正則である。
一方、単射 $\mathbb Z\xrightarrow{p}\mathbb Z$ を $\mathbb F_p$ とテンソルすると、$\mathbb F_p\xrightarrow{0}\mathbb F_p$ となる。これは単射でないので $\mathbb F_p$ は $\mathbb Z$ 上平坦でない。従って定義の第一条件が失敗する。

この反例では、始域も終域も正則環である。しかし写像は平坦でない。「正則環どうしを結ぶ準同型なら正則」という含意は成り立たない。同時に「全ファイバーが幾何学的に正則なら写像も正則」という含意も、平坦性を追加しなければ失敗する。

商写像が正則になる正確な条件

商写像は通常、方程式を課して閉部分を取り出す操作である。局所化とは異なり、平坦にならない場合が多い。しかし、元の環が直積に分かれていて、その一つの因子を選ぶ商なら平坦になる。Noether仮定の下では、商が正則になるのはちょうどこの状況である。

商写像の正則性と冪等元

$I\subset A$ をイデアルとする。次の三条件は同値である。

商写像 $A\to A/I$ は正則環準同型である。
$A/I$ は $A$ 上平坦である。
ある冪等元 $e\in A$、すなわち $e^2=e$ を満たす元が存在して $I=eA$ となる。

条件1から条件2は定義による。条件2を仮定し、包含 $I\hookrightarrow A$ を $A/I$ とテンソルする。平坦性により得られる写像は単射である。しかし
$$ I\otimes_A A/I\cong I/I^2\longrightarrow A\otimes_A A/I\cong A/I $$
の写像は零写像である。$I$ の元が $A/I$ で零になるからである。従って $I/I^2=0$、すなわち $I=I^2$ となる。
$A$ がNoetherなので、$I=(x_1,\ldots,x_n)$ と有限生成で書ける。$I=I^2$ より、ある $c_{ij}\in I$ が存在して $x_i=\sum_j c_{ij}x_j$ となる。行列 $C=(c_{ij})$ と列ベクトル $x$ に対して $(1-C)x=0$ である。余因子行列を掛けると $d x=0$、ただし $d=\det(1-C)$ である。行列式の展開では、定数項は $1$、他の各項は少なくとも一つの $c_{ij}$ を含むので、$d=1-e$ と書けて $e\in I$ となる。
$dI=0$ なので、すべての $a\in I$ について $a=ea$ である。特に $e\in I$ に適用して $e=e^2$ となる。また $I\subset eA$ が分かり、$e\in I$ から逆の包含も成り立つ。従って $I=eA$ となり条件3が得られる。$I=0$ の場合は $e=0$ を取ればよい。
条件3を仮定する。$A=eA\oplus(1-e)A$ は加群の直和分解であり、$A/I\cong(1-e)A$ だから $A/I$ は自由加群 $A$ の直和因子、従って平坦である。各素イデアル $\mathfrak p$ の剰余体で $e$ の像は冪等元となる。体の冪等元は $0$ または $1$ なので、ファイバー $(A/I)\otimes_A\kappa(\mathfrak p)$ は剰余体または零環となる。それぞれ幾何学的に正則である。商環もNoetherなので条件1が得られ、全方向が示された。

この証明でNoether性を使った場所は、$I$ を有限生成として行列式の議論を行う段階である。$I/I^2=0$ という結論だけなら平坦性から得られるが、有限生成性がなければそれを一つの冪等元で生成されるという結論へ自動的に強められない。この意味で、本記事のNoether仮定は定理の成立に実質的な役割をもつ。
局所環には冪等元は $0$ と $1$ しかない。実際 $e+(1-e)=1$ なので、少なくとも一方が単元である。$e$ が単元なら $e^2=e$ より $e=1$、$1-e$ が単元なら $e(1-e)=0$ より $e=0$ となる。従ってNoether局所環の非零商への商写像が正則となるのは、商を取るイデアルが零、すなわち同型の場合に限られる。
一般のNoether環では非自明な例がある。$A=A_1\times A_2$ の冪等元 $e=(1,0)$ を用いると $A/eA\cong A_2$ となり、因子への射影は正則である。核が非零でもよいが、その核は環の直積分解によって既に分離している。通常の方程式による閉部分と、開かつ閉な成分を選ぶ操作の違いが、平坦性によって検出される。

分離的な多項式から得られる正則準同型

体からの準同型では平坦性は自動的である。任意のベクトル空間は自由加群であり、テンソル積は基底に沿った直和で計算できるからである。そのため体上の代数の場合、正則環準同型かどうかを分けるのは幾何学的正則性である。次の定理は、有限次元代数の基本例を完全に計算する。

重根をもたない一変数多項式による代数

$k$ を体、$g(T)\in k[T]$ を正の次数のモニック多項式とする。$g$ と形式微分 $g'$ が互いに素、すなわち $\gcd(g,g')=1$ なら
$$ k\longrightarrow k[T]/(g) $$
は正則環準同型である。

$D=k[T]/(g)$ は、$g$ の次数を $n$ とすると $1,T,\ldots,T^{n-1}$ の像を基底にもつ $k$ ベクトル空間である。多項式の除法により各元をこの形へ簡約でき、次数 $n$ 未満の多項式が $(g)$ に入るのは零の場合だけなので独立である。従って $D$ は有限自由、特に平坦であり、有限次元なのでNoetherでもある。
任意の有限次体拡大 $k'/k$ を取る。基底変換後は $D\otimes_k k'\cong k'[T]/(g)$ である。$\gcd(g,g')=1$ より $a(T)g(T)+b(T)g'(T)=1$ という等式が $k[T]$ にあり、同じ等式が $k'[T]$ でも成立する。従って $k'[T]$ でも最大公約数は $1$ である。
$k'[T]$ で $g$ をモニック既約因子へ分解する。もし一つの因子 $h$ が重複して $h^2$ が $g$ を割れば、微分の積則により $h$ は $g'$ も割る。これは最大公約数が $1$ であることに反する。従って $g=h_1\cdots h_r$ は相異なる既約因子の積である。相異なる因子によるイデアルは互いに素なので、中国剰余定理により
$$ k'[T]/(g)\cong\prod_{i=1}^r k'[T]/(h_i) $$
となる。各因子は既約多項式による商なので体である。有限個の体の積の素イデアルでの局所化は一つの体であり、従ってこの積環は正則である。
体 $k$ の素イデアルは零イデアルだけで、その剰余体は $k$ である。上の計算は唯一のファイバー $D$ が任意の有限次体拡大後も正則となることを示した。平坦性と合わせて、定義の両条件を満たす。

この証明は、基底変換後に代数が一つの体のままであることを要求しない。体の積へ分かれても、それぞれの点の局所環が体であれば正則である。体であるという条件と、正則であるという条件を区別することは、形式ファイバーの場合と同じく重要である。

基底変換で二つの点に分かれる例

$k=\mathbb Q$、$g(T)=T^2-2$ とする。$g'=2T$ なので最大公約数は $1$ であり、$\mathbb Q\to\mathbb Q[T]/(T^2-2)$ は正則である。$k'=\mathbb Q(\sqrt2)$ へ基底変換すると
$$ k'[T]/(T^2-2)\cong k'\times k' $$
となる。二つの因子 $T-\sqrt2$、$T+\sqrt2$ の差 $2\sqrt2$ が非零の単元だから、中国剰余定理を適用できる。

一方、平坦性だけでは十分でない。$k$ を体とし、$D=k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ とすると $D$ は二次元ベクトル空間なので $k$ 上平坦である。しかし唯一の素イデアルは $(\epsilon)$ で、局所環の次元は零、極大イデアルの最小生成元数は一なので正則でない。従って $k\to D$ は正則環準同型ではない。$D\to D$ の恒等写像は正則だったので、同じ終域について構造写像による違いが明示される。
さらに、終域が体でも幾何学的正則性が失敗する場合がある。標数 $p$ の純非分離拡大 $\mathbb F_p(s)\subset\mathbb F_p(s^{1/p})$ は、体上平坦で終域も正則だが、正則環準同型ではない。有限次体拡大後に冪零元が現れる計算と全証明は G環の例「純非分離拡大による反例」にある。その例はここでは構造写像の反例として使われ、終域の環としてのG性を否定するものではない。

滑らかさや完備化との接続

滑らかさの持上げによる側面と、有限表示条件との関係については形式的滑らかさを参照できる。本記事では、有限表示を伴わない正則準同型も含めた環論的な定義を用いる。平坦性とファイバーの条件を調べる際に、有限個の生成元と関係式を先に仮定するわけではない。
正則準同型に有限表示を要求していないことは、局所化だけでも具体的に確認できる。$\mathbb Z\to\mathbb Q$ は局所化なので正則であるが、$\mathbb Q$ は有限生成 $\mathbb Z$-代数ではない。有限個の有理数を代数の生成元に選ぶと、その全ての分母の素因子を集めた有限集合以外の素数は逆にできない。実際、生成される環はその有限集合の素数だけを逆にした整数環に含まれる。その集合に属さない素数 $q$ について $1/q$ はそこに入らない。従って有限生成、さらに有限表示ではない。
この例は、正則準同型を有限表示の滑らかな準同型と無条件に同一視することを防ぐ。両者を比較する際には、幾何学的正則性だけでなく代数を有限個の生成元と関係式で記述できるかどうかを別に確認する。局所化が平坦であることは、有限生成性を与える証明ではない。
Noether局所環 $(A,\mathfrak m)$ の完備化写像 $A\to\widehat A$ も、この定義を適用する重要な対象である。そのファイバーは形式ファイバーで扱う $\widehat A\otimes_A\kappa(\mathfrak p)$ となる。完備化写像は平坦なので、正則性の残る条件は全ての形式ファイバーの幾何学的正則性である。完備化の忠実平坦性については形式ファイバーを参照。
G環は、このような完備化写像を各局所化について要求する概念である。Noether局所環がG環であるかどうかは、自身の完備化写像が正則であるかどうかで判定できるが、その同値は G環の定理「極大イデアルでの判定」による。閉点の形式ファイバーが剰余体になることだけで、全てのファイバーを検査したことにはならない。
ここで、元の局所環が正則かどうかと、完備化写像が正則かどうかも分ける。前者は環の絶対的な条件であり、後者は写像の相対的な条件である。G環には正則でない環もあるので、良好な形式ファイバーがあることだけから元の環の正則性を結論できない。恒等写像の例も、同じ区別を最小の形で示している。

反例を条件ごとに整理する

外す条件・誤った含意	反例	成り立たなくなること
平坦性	$\mathbb Z\to\mathbb F_p$	非零ファイバーは幾何学的に正則でも準同型は正則でない
ファイバーの正則性	$k\to k[\epsilon]/(\epsilon^2)$	平坦でも準同型は正則でない
幾何学的な条件	G環の純非分離体拡大	終域が体で正則でも、体拡大後のファイバーが正則でない
正則準同型なら有限表示という追加主張	$\mathbb Z\to\mathbb Q$	正則であっても有限生成代数ですらない
正則準同型なら両環が正則という追加主張	双対数環の恒等写像	始域と終域が正則でなくても準同型は正則である

最初の反例は二つの良い環の間で起こり、二番目は良い基礎体から特異な環を作る。三番目は環自身の正則性と基礎体上の幾何学的正則性を分ける。四番目は有限性、五番目は絶対的な条件と相対的な条件を分ける。同じ正則という語を含んでいても、それぞれ別の条件を落としている。

正則準同型を確認する手順

まず対象の準同型 $A\to B$ を固定する。終域の環の性質だけで判定を始めない。平坦性を確かめる方法としては、自由加群や射影加群としての表示、局所化、テンソル積による単射の検査などがある。商写像の場合は、上の冪等元による判定が使える。多くの商写像ではこの段階で平坦性が失敗する。
次に $A$ の全ての素イデアルについてファイバーを調べる。剰余環 $B/\mathfrak pB$ だけでなく、$A/\mathfrak p$ の非零元を逆にした剰余体まで移すことを忘れない。像に入らない点では零環が現れ、それは空のファイバーとして扱う。全てのファイバーが同じ体上の代数になるわけではない。
最後に、各ファイバーで基礎体を拡大した後も正則かどうかを調べる。一変数多項式の有限代数なら、微分との最大公約数を使った定理がこの部分を完全に処理する。単に終域が体であるというだけでは、純非分離拡大のような失敗を除けない。平坦性、ファイバーの正則性、幾何学的な条件を別々に記録すると、どの段階で仮定が必要だったかが見える。
一般の正則準同型の合成や基底変換については、ファイバーのNoether性を保つ範囲を確認する必要がある。本記事の二つのNoether環という枠組みを外すと、基底変換後の環やファイバーがNoetherであるかは自動的でなくなる。正則環準同型の合成と基底変換についての一般的な定理とその仮定は StacksRegMaps Lemmas 15.42.3–15.42.4 にある。