Cartan–Eilenberg分解

要点：入射対象への短完全列は分裂し、分解の短完全列では 2 つが完全なら残りも完全である。

1。各 $p$ について、$B^p(K)$ と $H^p(K)$ の入射分解 $B^p(K)\to J_B^{p,\bullet}$、$H^p(K)\to J_H^{p,\bullet}$ を選ぶ。ただし対象が $0$ のときは分解も $0$ に選ぶ。短完全列 $0\to B^p(K)\to Z^p(K)\to H^p(K)\to0$ に 馬蹄補題 の系「入射分解の馬蹄補題」を当てて、$Z^p(K)$ の入射分解 $J_Z^{p,\bullet}$ と、次数ごとに分裂する短完全列 $0\to J_B^{p,\bullet}\to J_Z^{p,\bullet}\to J_H^{p,\bullet}\to0$ を得る。次に短完全列 $0\to Z^p(K)\to K^p\xrightarrow{d_K}B^{p+1}(K)\to0$ と分解 $J_Z^{p,\bullet}$、$J_B^{p+1,\bullet}$ に同じ系を当てて、$K^p$ の入射分解 $\varepsilon^p\colon K^p\to I^{p,\bullet}$ と、次数ごとに分裂する短完全列 $0\to J_Z^{p,\bullet}\to I^{p,\bullet}\to J_B^{p+1,\bullet}\to0$ を得る。$I^{p,\bullet}$ の微分を $\delta$ と書く。$K^p=0$ なら $B^p,Z^p,H^p,B^{p+1}$ はすべて $0$ なので、$I^{p,\bullet}=0$ である。
横の射 $d_h\colon I^{p,q}\to I^{p+1,q}$ を合成
$$ I^{p,q}\to J_B^{p+1,q}\to J_Z^{p+1,q}\to I^{p+1,q} $$
（射影、第 1 の馬蹄の包含、第 2 の馬蹄の包含）で定め、縦の射を $d_v:=(-1)^p\delta$ とおく。$d_h$ の 3 つの成分は短完全列の射なので $\delta$ と可換であり、$d_h\delta=\delta d_h$ である。中央の合成 $J_Z^{p+1,q}\to I^{p+1,q}\to J_B^{p+2,q}$ は $0$ なので $d_hd_h=0$ である。符号の付け替えにより $d_hd_v+d_vd_h=0$ となり（二重複体 の注意「可換の流儀と符号の付け替え」）、$I$ は入射対象からなる二重複体である。
$\varepsilon=(\varepsilon^p)$ が複体の射であることを見る。$d_K\colon K^p\to K^{p+1}$ は $K^p\to B^{p+1}(K)\to Z^{p+1}(K)\to K^{p+1}$ と分解し、馬蹄補題の増大射の条件から、3 つの射はそれぞれ $d_h$ の 3 つの成分と増大射を通じて可換になる。よって $d_h\varepsilon^p=\varepsilon^{p+1}d_K$ である。$d_v\varepsilon=\pm\delta\varepsilon^p=0$ は分解であることからわかる。
最後に条件 2 を確かめる。$J_B^{p+1,q}\to J_Z^{p+1,q}\to I^{p+1,q}$ はモノ射なので、$Z^p_h(I)^q=\ker(I^{p,q}\to J_B^{p+1,q})=J_Z^{p,q}$ である。$I^{p-1,q}\to J_B^{p,q}$ はエピ射なので、$B^p_h(I)^q$ は $J_B^{p,q}$ の像である。よって $H^p_h(I)^q=J_Z^{p,q}/J_B^{p,q}\cong J_H^{p,q}$ であり、これらの同一視は（$d_v$ の符号 $(-1)^p$ を除いて）縦の微分とも増大射とも両立する。したがって $B^p(K)\to B^p_h(I)^\bullet$、$H^p(K)\to H^p_h(I)^\bullet$ は選んだ入射分解 $J_B^{p,\bullet}$、$J_H^{p,\bullet}$ そのものである。
2。$p< p_0$ または $q<0$ で $I^{p,q}=0$ なので、$\operatorname{Tot}(I)^n=\bigoplus_{p+q=n}I^{p,q}$ は有限個の入射対象の直和で入射的であり、$n< p_0$ で $0$ である。prop-ce-columns の 2 により各列 $I^{p,\bullet}$ は $K^p$ の分解なので、$q>0$ で $H^q_v(I)^p=0$、$H^0_v(I)^p=\ker(d_v\colon I^{p,0}\to I^{p,1})=\varepsilon(K^p)$ である。二重複体 の定理「列が正の次数で非輪状な二重複体の全複体」（各対角線上の項が有限個なので、一般のアーベル圏でも同記事の注意により成り立つ）から、包含 $H^0_v(I)^\bullet\to\operatorname{Tot}(I)$ は擬同型である。$\varepsilon$ は $K$ から $(H^0_v(I)^\bullet,d_h)$ への複体の同型なので、合成 $K\to\operatorname{Tot}(I)$ は擬同型である。$\square$

要点：横の微分は「分裂エピ・分裂モノ・分裂モノ」の合成であり、加法関手はこの形を保つ。

$F(I)$ は $p\ge p_0$、$q\ge0$ の範囲にある二重複体なので、各対角線上の項は有限個であり、二重複体 の定理「二重複体の2つのスペクトル系列」により、列と行のフィルトレーションから $H^{p+q}(\operatorname{Tot}F(I))$ に収束する 2 つのスペクトル系列がある。
列によるもの：${}^{I}E_1^{p,q}=H^q_v(F(I))^p=H^q\bigl(F(I^{p,\bullet})\bigr)$ である。prop-ce-columns の 2 により $I^{p,\bullet}$ は $K^p$ の入射分解なので、これは $R^qF(K^p)$ である（縦の微分の符号はコホモロジーを変えない）。$d_1$ は $d_h$ が誘導する射で、$d_h\varepsilon^p=\varepsilon^{p+1}d_K$ だから $d_h$ は $d_K$ の入射分解への持ち上げであり、導来関手 の定義「左導来関手・右導来関手」により $d_1=\pm R^qF(d_K)$ である。
行によるもの：prop-ce-additive-functor により ${}^{II}E_1$ の第 $q$ 行は $H^p_h(F(I))^q\cong F(H^p_h(I)^q)$ であり、$d_1$ は縦の微分が誘導する射である。$H^p_h(I)^\bullet$ は $H^p(K)$ の入射分解なので、${}^{II}E_2$ の（フィルトレーションの次数 $q$、補助の次数 $p$ の）項は $H^q\bigl(F(H^p_h(I)^\bullet)\bigr)=R^qF(H^p(K))$ である。添字の名前を入れ替えれば ${}^{II}E_2^{p,q}=R^pF(H^q(K))$ を得る。$\square$

要点：$F(I)$ の列は正の次数で非輪状で、$0$ 次のコホモロジーが $F(K)$ になる。