一般化Riemann予想

段 1（$\operatorname{Re}s>0$ の零点は $\chi$ と $\chi^*$ で同じ）．$\chi^*$ の法を $f$ とすると、全平面で
$$ L(s,\chi)=L(s,\chi^*)\prod_{p\mid q}\bigl(1-\chi^*(p)p^{-s}\bigr) $$
である（$\operatorname{Re}s>1$ での等式は Dirichlet L関数 の節「定義」の末尾にあり、両辺の延長は 一致の定理 により一致する）。$\lvert\chi^*(p)p^{-s}\rvert$ は $0$ か $p^{-\sigma}$ なので、$\sigma>0$ では $p^{-\sigma}<1$ となり、各因子は $0$ でない。よって $\operatorname{Re}s>0$ の零点は $L(s,\chi)$ と $L(s,\chi^*)$ で一致する。
段 2（原始指標の零点の対称性）．$\chi^*$ を原始指標とし、$\rho$ を $0<\operatorname{Re}\rho<1$ にある $L(s,\chi^*)$ の零点とする。$f>1$ のとき、完備化した $L$ 関数 $\Lambda(s,\chi^*)$（Dirichlet L関数 の定義「完備化した L 関数と根数」）は、$\chi^*(-1)=(-1)^{\kappa}$（$\kappa\in\{0,1\}$）として、$L(s,\chi^*)$ に $0$ にならない因子 $(f/\pi)^{(s+\kappa)/2}\Gamma(\frac{s+\kappa}2)$ を掛けたもの（$\operatorname{Re}\frac{s+\kappa}2>0$ で $\Gamma$ は有限で $0$ でない）なので $\Lambda(\rho,\chi^*)=0$ であり、関数等式 $\Lambda(s,\chi^*)=\varepsilon(\chi^*)\Lambda(1-s,\overline{\chi^*})$ から $\Lambda(1-\rho,\overline{\chi^*})=0$、したがって $L(1-\rho,\overline{\chi^*})=0$ である。係数が共役なので $\overline{L(\bar s,\overline{\chi^*})}=L(s,\chi^*)$（$\operatorname{Re}s>1$ での級数の等式を一致の定理で延ばす）であり、$L(1-\bar\rho,\chi^*)=0$ を得る。$f=1$ のときは $L(s,\chi^*)=\zeta(s)$ で、同じことが Riemannゼータ関数 の系「零点の位置」の (R4) にある。
段 3（1 と 2）．$\operatorname{Re}s\ge1$ に零点はない（$\operatorname{Re}s>1$ は Euler 積、$\operatorname{Re}s=1$ は Dirichlet L関数 の定理「直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上の零点」。主指標の $s=1$ は極である）。1 を仮定すると、$\frac12<\operatorname{Re}s<1$ に零点はなく、$\operatorname{Re}s\ge1$ にもないので 2 が成り立つ。逆に 2 を仮定し、$0<\operatorname{Re}\rho<\frac12$ をみたす零点 $\rho$ があるとする。段 1 により $\rho$ は $L(s,\chi^*)$ の零点で、段 2 により $1-\bar\rho$ も $L(s,\chi^*)$ の零点であり、$\operatorname{Re}(1-\bar\rho)=1-\operatorname{Re}\rho\in(\frac12,1)$ なので、段 1 により $L(s,\chi)$ の零点でもある。これは 2 に反するので、1 が成り立つ。
段 4（2 と 3 と 4）．段 1 により（$\operatorname{Re}s>\frac12$ は $\operatorname{Re}s>0$ に含まれるので）2 と 3 は同値である。さらに $\overline{L(\bar s,\chi)}=L(s,\overline\chi)$ から、$L(s,\overline\chi)$ の零点は $L(s,\chi)$ の零点の複素共役で、共役は実部を変えないので、2 と 4 は同値である。最後の主張は、すべての指標が原始指標から誘導されることと 2・3 の同値による。$\square$

$\lvert\chi(n)\Lambda(n)n^{-s}\rvert\le\Lambda(n)n^{-\sigma}$ なので、絶対収束は von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」による。$\chi$ は完全乗法的なので、Dirichlet 積について
$$ \bigl(\chi*(\chi\Lambda)\bigr)(n)=\sum_{d\mid n}\chi(d)\chi(n/d)\Lambda(n/d)=\chi(n)\sum_{e\mid n}\Lambda(e)=\chi(n)\log n $$
である（最後の等式は、$n=\prod_pp^{k_p}$ と素因数分解すると、$\Lambda(e)\ne0$ となる約数 $e$ は $p^j$（$1\le j\le k_p$）で値が $\log p$ なので、和が $\sum_pk_p\log p=\log n$ になることによる）。数論的関数 の定理「絶対収束する Dirichlet 級数の積」により、$\operatorname{Re}s>1$ で $L(s,\chi)\sum_n\chi(n)\Lambda(n)n^{-s}=\sum_n\chi(n)(\log n)n^{-s}$ である。右辺が $-L'(s,\chi)$ に等しいことは、von Mangoldt関数 の同じ定理の証明の段 3・4（実数の $s>1$ で項別に微分し、一致の定理 で延ばす）を、実部と虚部に分けてそのまま当てればわかる。$L(s,\chi)$ は $\operatorname{Re}s>1$ で $0$ でない（Dirichlet L関数 の命題「Euler 積」）ので、割って主張を得る。$\square$

段 1（積分表示）．$R(t):=\psi(t,\chi)-E_\chi t$ とおく。仮定から $\lvert\psi(t,\chi)\rvert\le(1+K)t$（$t\ge1$）である。$\operatorname{Re}s>1$ とし、Abelの級数変形法とその応用 の系「正の整数から始まる和」を $a_n=\chi(n)\Lambda(n)$、$f(t)=t^{-s}$ に当てると
$$ \sum_{n\le x}\frac{\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}=\psi(x,\chi)x^{-s}+s\int_1^x\psi(t,\chi)\,t^{-s-1}\,dt $$
である。$\lvert\psi(x,\chi)x^{-s}\rvert\le(1+K)x^{1-\sigma}\to0$ なので、$x\to\infty$ として lem-grh-log-derivative と $s\int_1^\infty t\cdot t^{-s-1}\,dt=\frac{s}{s-1}$ から
$$ -\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}=E_\chi\frac{s}{s-1}+H(s),\qquad H(s):=s\int_1^\infty R(t)\,t^{-s-1}\,dt $$
を得る。
段 2（$H$ の正則性）．$\lvert R(t)t^{-s-1}\rvert\le Kt^{\Theta-\sigma-1}$ なので、$\operatorname{Re}s\ge\Theta+\delta$（$\delta>0$）では $\int_1^\infty$ が一様に絶対収束する。$H_N(s):=s\int_1^NR(t)t^{-s-1}\,dt$ は $\mathbb{C}$ 上正則（$R$ は $[1,N]$ 上で有限個の不連続点しかもたない有界関数なので、区間ごとに積分記号下で微分できる）で、$H_N\to H$ は $\operatorname{Re}s\ge\Theta+\delta$ の有界集合上で一様なので、Riemannゼータ関数 の補題「正則関数の一様極限」により $H$ は $\operatorname{Re}s>\Theta$ で正則である。
段 3（零点がないこと）．$\chi$ が主指標でなければ $D:=\{\operatorname{Re}s>\Theta\}$、主指標なら $D:=\{\operatorname{Re}s>\Theta\}\setminus\{1\}$ とおく。$D$ は連結な開集合で、$F(s):=E_\chi\frac{s}{s-1}+H(s)$ と $L(s,\chi)$ は $D$ 上正則である。段 1 から $\operatorname{Re}s>1$ で
$$ L'(s,\chi)=-F(s)\,L(s,\chi) $$
であり、一致の定理 により $D$ 全体でこれが成り立つ。$s_0\in D$ で $L(s_0,\chi)=0$ と仮定する。$L(s,\chi)$ は恒等的に $0$ ではない（$\operatorname{Re}s>1$ で $0$ でない）ので、零点の位数 $m\ge1$ が定まり（零点の位数）、$L'(s,\chi)$ の $s_0$ での零点の位数はちょうど $m-1$ である。ところが右辺 $-F(s)L(s,\chi)$ は $s_0$ で位数 $m$ 以上の零点をもつので矛盾する。$\chi$ が主指標のとき $s=1$ は $L(s,\chi)$ の極なので零点ではない。よって $\operatorname{Re}s>\Theta$ で $L(s,\chi)\ne0$ である。
後半は、$\Theta=\frac12+\varepsilon$ として前半を使い（$x$ の小さい範囲は $K$ を大きくとって含める）、$\varepsilon$ を $0$ に近づけて prop-grh-reformulations の 2 から 1 を使えばよい。$\square$

$\gcd(n,q)>1$ なら $\chi(n)=0$ なので、$n$ を法 $q$ の既約剰余類 $a$ ごとに分けて
$$ \psi(x,\chi)=\sum_{a}\chi(a)\,\psi(x;q,a) $$
である（$a$ は法 $q$ の既約剰余類の代表を動く）。Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」の 3 を主指標 $\chi_0$ と $\chi$ に当てると $\sum_a\chi(a)=\varphi(q)E_\chi$ なので
$$ \psi(x,\chi)-E_\chi x=\sum_a\chi(a)\Bigl(\psi(x;q,a)-\frac{x}{\varphi(q)}\Bigr)=O(x^{1/2+\varepsilon}) $$
となる（$\lvert\chi(a)\rvert=1$ で、項は $\varphi(q)$ 個）。thm-grh-sufficient により法 $q$ の各指標で予想の主張が成り立つ。主指標では prop-grh-reformulations の 3 により $\chi^*$ は法 $1$ の指標、$L(s,\chi^*)=\zeta(s)$ なので、Riemann 予想が成り立つ。$\square$