斉次イデアル
概要
斉次イデアル（homogeneous ideal）とは、次数付き環の斉次元で生成されるイデアルであり、元の各斉次成分が再びイデアルに属することと同値である。斉次イデアルによる商は次数を受け継ぎ、斉次素イデアルは $\operatorname{Proj}$ の点を記述する。射影空間では斉次方程式の共通零点を与え、二つの斉次イデアルが同じ閉部分スキームを定めるのは、無関係イデアルによる飽和化が一致するときである。
斉次イデアルとは
射影空間の点を同次座標で書くと、座標を一斉に定数倍しても同じ点を表す。したがって、射影的な方程式には、すべての項の次数が等しい斉次多項式を使う。方程式を一つだけでなく複数同時に扱うとき、それらの式が生成するイデアルも次数の分解と両立していなければならない。この両立を表すのが斉次イデアル（homogeneous ideal）である。
斉次イデアルは射影幾何のためだけの言葉ではない。次数付き環の商に次数を残す条件であり、次数付き準同型の核にも現れる。たとえば 次数付き環 $S$ の生成元に関係式を課して新しい次数付き環を作るとき、その関係式を斉次に取れば商の各次数が混ざらない。以下では、この代数的条件を成分による判定、素イデアル、$\operatorname{Proj}$ との接続まで順に確かめる（StacksHI Tag 00JM）。
定義と成分による判定
$S=\bigoplus_{d\geq0}S_d$ を可換な次数付き環とする。$S_dS_e\subseteq S_{d+e}$ であり、各 $s\in S$ は有限個の非零項をもつ和 $s=\sum_ds_d$ に一意に分かれる。$s_d\in S_d$ を $d$ 次の斉次成分と呼ぶ。$0$ はすべての次数に属する。
$S$ のイデアル $I$ が、斉次元だけからなるある集合によって生成されるとき、$I$ を斉次イデアルという。これは $I=\bigoplus_{d\geq0}(I\cap S_d)$ と同値である。
定義は「$I$ のどの元も斉次」という意味ではない。たとえば $(x,y)\subset k[x,y]$ は $x,y$ で生成される斉次イデアルだが、$x+y^2$ は斉次でないにもかかわらず $I$ に入る。求める条件は、$I$ に入る多項式を次数ごとに分けても、各部分が再び $I$ に入ることである。
イデアル $I\subseteq S$ について、次の三条件は同値である。
- $I$ は斉次元で生成される。
- $f=\sum_df_d\in I$ なら、各斉次成分 $f_d$ も $I$ に属する。
- 加法群として $I=\bigoplus_{d\geq0}(I\cap S_d)$ である。
条件 1 を仮定し、$I$ を生成する斉次元の集合を $G$ とする。$f\in I$ は有限和 $f=\sum_{g\in G}a_gg$ と書ける（実際に非零な項は有限個）。$a_g$ を斉次成分の和に分けると、各積 $(a_g)_eg$ は斉次で、かつ $I$ に属する。同じ次数の項を集めれば、分解の一意性により $f_d$ はそれらの和である。よって条件 2 が従う。条件 2 なら、$f$ の各成分は $I\cap S_d$ に入るので $I=\sum_d(I\cap S_d)$ となり、異なる次数の和は直和だから条件 3 である。条件 3 なら、$I$ の任意の元は $I\cap S_d$ の元の和である。それらは斉次元なので $I$ は斉次元で生成され、条件 1 に戻る。
この判定は、斉次でない式を含むイデアルを調べるときに有効である。「斉次生成元をまだ見つけていない」ことと「斉次イデアルでない」ことは異なる。後者を示すには、$f\in I$ だが $f$ のある斉次成分が $I$ に属さない例を一つ見つければよい。
$S=k[x,y]$ に標準の全次数を入れ、$J=(x+y^2)$ とする。$x+y^2\in J$ だが、その一次成分 $x$ は $J$ に入らない。実際、商 $S/J$ は $x=-y^2$ と置くことで $k[y]$ と同型になり、$x$ の像は $-y^2\ne0$ である。したがって $J$ は斉次イデアルではない。この例が破るのは「任意のイデアルについて次数ごとの成分が残る」という性質である。
商環と次数付き準同型
斉次イデアル $I$ に対しては、商 $S/I$ の $d$ 次部分を $(S_d+I)/I\cong S_d/(I\cap S_d)$ と定められる。異なる次数の元が商で同一視されないことが重要である。もし $\sum_ds_d\in I$ なら、成分判定により各 $s_d\in I$ だから、商でも次数別の和は直和になる。
$I\subseteq S$ が斉次イデアルであることと、標準的な商写像 $S\to S/I$ によって各 $S_d$ の像を $d$ 次部分とする直和次数付けが $S/I$ に定まることは同値である。そのとき
$$
S/I=\bigoplus_{d\geq0}S_d/(I\cap S_d)
$$
であり、商写像は次数を保つ。
$I$ が斉次なら、上記の各部分の和は $S/I$ 全体を張る。異なる次数の像の和が零なら、対応する $\sum_ds_d$ は $I$ に入り、成分判定によって各 $s_d\in I$ なので直和である。また $S_dS_e\subseteq S_{d+e}$ より積も次数と両立する。逆に、各 $S_d$ の像が直和をなすなら、$f=\sum_df_d\in I$ の像は零である。直和の一意性から各 $f_d$ の像が零、すなわち $f_d\in I$ である。成分判定により $I$ は斉次である。
次数付き環 $S,T$ の次数を保つ準同型 $\varphi:S\to T$ は、$\varphi(S_d)\subseteq T_d$ を満たす環準同型である。その核は斉次イデアルである。$f=\sum_df_d\in\ker\varphi$ なら、$0=\sum_d\varphi(f_d)$ は $T$ の次数別分解だから各 $\varphi(f_d)=0$ となるためである。逆に、次数付き環を斉次関係式で表示する場合、関係式のイデアルが核となり、商にも次数が残る。
$S=k[x,y,z]$ を標準次数付き多項式環とし、$q=xz-y^2$ とおく。$q$ は二次の斉次多項式なので $(q)$ は斉次イデアルで、$S/(q)$ に次数付けがある。$q$ の両辺の次数が同じことにより、関係式 $xz=y^2$ は商の二次部分の中で成立する。射影空間では $q=0$ が射影平面内の二次曲線を表す。一方、$xz-y$ には二次成分と一次成分が混在し、標準次数のままでは $(xz-y)$ による商を上と同じ仕方で次数付けできない。
多項式環の斉次イデアルには、幾何的にも重要な例がある。$S=k[x_0,\ldots,x_n]$ なら、正の次数の元すべてが作る $S_+=(x_0,\ldots,x_n)$ は無関係イデアルと呼ばれる斉次イデアルである。$S_0=k$ で、$S_+$ は定数項が零の多項式全体である。ただし $S_+$ は射影空間の点を表さない。$S_+$ を含む素イデアルは $\operatorname{Proj}S$ の定義から除くためである。この違いを忘れると、アフィン空間の原点を射影空間に余計な点として加えてしまう。
斉次素イデアル
射影的な閉集合の既約成分や $\operatorname{Proj}$ の点を扱うには、斉次イデアルが素イデアルかどうかを判定する必要がある。一般の素イデアルの定義は任意の元 $a,b$ に対して $ab\in\mathfrak p$ なら $a\in\mathfrak p$ または $b\in\mathfrak p$ という条件である。斉次イデアルに限れば、この検査を斉次元に絞れる（StacksHI Tag 00JM）。
$\mathfrak p\subsetneq S$ を斉次イデアルとする。$\mathfrak p$ が素イデアルであるための必要十分条件は、斉次元 $a,b\in S$ について $ab\in\mathfrak p$ なら $a\in\mathfrak p$ または $b\in\mathfrak p$ が成り立つことである。
必要性は素イデアルの定義そのものである。十分性を示す。$R=S/\mathfrak p$ は次数付き環なので、仮定は $R$ で零でない二つの斉次元の積が零でないことを意味する。零でない任意の $u,v\in R$ を取り、それぞれの非零な斉次成分の最高次数を $r,s$ とする。積 $uv$ の $r+s$ 次成分は $u_rv_s$ だけである。仮定から $u_rv_s\ne0$ だから $uv\ne0$。したがって $R$ は整域で、$\mathfrak p$ は素イデアルである。
この最高次数の議論では、各元の非零成分が有限個しかないことを使う。$S$ が非負整数次数付きならもちろん成り立ち、通常の直和として定義された整数次数付き環でも各元には有限個の非零成分しかない。形式的な無限級数を許す完備化では、同じ文章をそのまま適用してはならない。
$k[x,y]$ の $(x)$ は斉次素イデアルである。実際、商は整域 $k[y]$ である。一方、$(xy)$ は斉次イデアルだが素ではない。斉次元 $x,y$ はどちらも $(xy)$ に入らず、積 $xy$ は入る。したがって「生成元が斉次である」ことから「素である」ことは従わない。
環の素イデアルがすべて斉次というわけでもない。$k[x]$ の $(x-1)$ は素イデアルだが、$x-1$ の一次成分 $x$ はそこに入らない。成分判定より斉次ではない。射影幾何で斉次素イデアルだけを選ぶのは、通常の素イデアルの一部を都合よく省くためではなく、次数の構造と両立する点を取るためである。
射影空間と閉集合
$S=\bigoplus_{d\geq0}S_d$ の正の次数の部分 $S_+=\bigoplus_{d>0}S_d$ はイデアルである。$\operatorname{Proj}S$ の点は、$S_+$ を含まない斉次素イデアルである。斉次イデアル $I$ に対して
$$
V_+(I)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Proj}S\mid I\subseteq\mathfrak p\}
$$
と置く。これは $\operatorname{Proj}S$ の閉集合で、$\operatorname{Proj}(S/I)$ の基礎となる位相空間と自然に同一視される。斉次イデアルが射影的な方程式を束ねる役目を持つことを、この式は表している（StacksHI Tag 00JM, Definition 10.57.1 と Lemma 10.57.3）。
普通の射影空間 $\mathbb P^n_k$ では、$[a_0:\cdots:a_n]=[\lambda a_0:\cdots:\lambda a_n]$（$\lambda\in k^\times$）である。$d$ 次の斉次多項式 $f$ は $f(\lambda a_0,\ldots,\lambda a_n)=\lambda^d f(a_0,\ldots,a_n)$ を満たす。従って値そのものは座標表示に依存するが、「$f=0$」かどうかは依存しない。斉次イデアルが斉次多項式で生成されるなら、すべての生成元についての共通零点も射影空間で意味を持つ。イデアル内の斉次でない元まで各々を射影的な方程式と考える必要はない。それらの斉次成分がすでにイデアルにあり、同じ閉集合を記述しているためである。
$k=\mathbb C$ とし、$x-y^2$ を射影直線の方程式として使おうとする。代表元 $(1,1)$ では $x-y^2=0$ だが、同じ点を表す $(2,2)$ では $x-y^2=2-4\ne0$ となる。したがって零点であるかどうかが代表元の選択に依存する。一方、$x^2-y^2$ なら代表元を $\lambda$ 倍すると値は $\lambda^2$ 倍になるだけで、零点であるかどうかは変わらない。斉次イデアルという条件は、方程式の共通零点が射影空間上で意味を持つようにする。
$I$ が斉次であるから $S/I$ は次数付き環である。$S/I$ の斉次素イデアル $\overline{\mathfrak p}$ と、$I$ を含む $S$ の斉次素イデアル $\mathfrak p$ は、商写像による逆像・像で一対一に対応する。また $(S/I)_+$ は $S_+$ の像なので、$\overline{\mathfrak p}$ が $(S/I)_+$ を含まないことは $\mathfrak p$ が $S_+$ を含まないことと同値である。よって $\operatorname{Proj}(S/I)$ の点は $V_+(I)$ の点に一致する。標準開集合 $D_+(f)$ の対応も保たれるため、両者の位相も一致する。
$S=k[x,y]$ で $I=(x)$ と $J=(x^2)$ を考える。どちらも斉次イデアルであり、$\sqrt J=I$ だから $V_+(I)=V_+(J)$ は射影直線の同じ一点 $[0:1]$ である。しかし $S/J$ では $x$ の像が非零で二乗すると零になる。実際、$D_+(y)$ 上で $t=x/y$ と置けば、$\operatorname{Proj}(S/J)$ の座標環は $k[t]/(t^2)$、$\operatorname{Proj}(S/I)$ の座標環は $k[t] /(t)\cong k$ である。両者は点集合として同じでも、前者はその点に冪零の厚みを持つ。この差は斉次イデアルを根基だけに置き換えると失われる。
射影空間で斉次イデアルを使う際は、集合としての零点と閉部分スキームを区別する必要がある。$I$ と $\sqrt I$ は同じ $V_+(I)$ を与えるが、通常は同じ商環や同じ閉部分スキームを与えない。また異なる斉次イデアルでも、$\operatorname{Proj}$ 上では同じ閉部分スキームを定めることがある。局所化で消える無関係イデアルに支えられた成分のためで、この違いは飽和化で整理される。したがって射影幾何で「方程式が同じものを定める」という際には、点集合・位相的閉集合・閉部分スキームのどれを比較しているかを明示する。
無関係イデアルによる飽和化
標準次数の $S=k[x_0,\ldots,x_n]$ と斉次イデアル $I$ に対して、$S_+=(x_0,\ldots,x_n)$ による飽和化を
$$
I^{\mathrm{sat}}=I:S_+^\infty
=\{f\in S\mid \text{ある }m\geq0\text{ について }S_+^m f\subseteq I\}
$$
と書く。$I\subseteq I^{\mathrm{sat}}$ である。$I$ と $I^{\mathrm{sat}}$ が $\operatorname{Proj}S$ 上で同じ閉部分スキームを定めることは、各標準開集合 $D_+(x_i)$ で確かめられる。$f\in I^{\mathrm{sat}}$ なら $x_i^mf\in I$ であり、$x_i$ を可逆にした環では $f$ も $I$ の生成するイデアルに入る。逆向きの包含は $I\subseteq I^{\mathrm{sat}}$ から従う。よって各 $D_+(x_i)$ 上のイデアル層が等しい。この議論は、飽和化が無関係イデアルに支えられた差だけを取り除くことを示す（閉部分スキームの一般的な扱いは StacksHI Tag 084M）。
$S=k[x,y]$、$I=(x^2,xy)=x(x,y)$ とする。$I$ は斉次だが $x\notin I$ である。一方、$S_+x=(x^2,xy)\subseteq I$ なので $x\in I^{\mathrm{sat}}$、実際に $I^{\mathrm{sat}}=(x)$ となる。逆向きには、$S_+^mf\subseteq I\subseteq(x)$ なら $y^mf$ は $(x)$ に入る。$S/(x)=k[y]$ は整域なので、$f$ 自身が $(x)$ に入る。$D_+(x)$ では $x^2$ が可逆になり、両イデアルとも単位イデアルになる。$D_+(y)$ では $xy$ と $y$ の可逆性から $x$ がイデアルに入る。従って $I$ と $(x)$ は射影直線上で同じ閉部分スキームを定める。しかし商環 $S/I$ と $S/(x)$ は等しくない。前者では $x$ の像は非零で、$x^2=xy=0$ である。
この例は直前の $(x)$ と $(x^2)$ の例とは異なる。前者は射影上で同じ閉部分スキームを与える二つの表示であり、後者は点集合だけが同じで、閉部分スキームとしては異なる。飽和化と根基化を混同しないことが、射影的な方程式を読む際の基本である。
反例：条件を外すと何が崩れるか
この記事の定理の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。以下 $k$ は体で、多項式環には標準の全次数を入れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 斉次元で生成されること | $(x+y^2)\subset k[x,y]$ | 元の斉次成分がイデアルに入ること、商に次数付けが降りること |
| 素性判定で、$\mathfrak p$ が斉次イデアルであること | $(x^2-1)\subset k[x]$（$k$ の標数は $2$ でない） | 斉次元についての条件だけで素イデアルと判定できること |
| 素であること（斉次生成だけでは足りない） | $(xy)\subset k[x,y]$ | 斉次イデアルなら $\operatorname{Proj}$ の点になること |
| 方程式が斉次であること | $x-y^2$（射影直線上） | 零点かどうかが同次座標の代表元によらないこと |
| 根基イデアルであること | $(x^2)$ と $(x)$（$k[x,y]$ の中） | $V_+$ が同じなら閉部分スキームも同じであること |
$S=k[x]$（$k$ の標数は $2$ でない）、$I=(x^2-1)$ とする。$S$ の斉次元は $cx^d$（$c\in k$）の形である。$cx^d\in I$ なら $x=1$ を代入して $c=0$ となるので、$I$ に入る斉次元は $0$ だけである。したがって斉次元 $a,b$ が $ab\in I$ を満たせば $ab=0$ で、$S$ は整域だから $a=0\in I$ または $b=0\in I$ となり、定理「斉次元だけによる素性判定」の条件は満たされる。しかし $(x-1)(x+1)\in I$ で、$x-1$ と $x+1$ はどちらも $I$ に入らない（$I$ の非零元の次数は $2$ 以上）ので、$I$ は素イデアルでない。破る仮定は「$\mathfrak p$ が斉次イデアル」である。証明で $S/\mathfrak p$ を次数付き環として最高次の成分を比べた段が、$S/I$ に次数付けがないため働かない（$x^2-1$ の成分 $x^2$ は $I$ に入らず、成分判定の条件 2 を破る）。
- 例「斉次でないイデアル」：$J=(x+y^2)$ は斉次元で生成されず、$x+y^2\in J$ の一次成分 $x$ が $J$ に入らないので成分判定の条件 2 を破る。定理「商環の次数付け」により、$S/J$ には $S_d$ の像による直和次数付けが定まらない。実際 $x$ と $-y^2$ の像は一致し、次数 $1$ と $2$ の像が重なる。
- 例「素イデアルと素でない斉次イデアル」：$(xy)$ は斉次だが、斉次元 $x,y$ がどちらも入らず積が入るので素でない。したがって $\operatorname{Proj}k[x,y]$ の点ではない。「斉次生成 $\Rightarrow$ 素」は成り立たない。
- 例「斉次性が必要な理由」：$x-y^2$ は斉次でなく、同じ点 $[1:1]$ の代表元 $(1,1)$ と $(2,2)$ で零かどうかが変わる。
- 例「同じ点集合でも異なる方程式」：$(x^2)$ は根基イデアルでなく（$x\in\sqrt{(x^2)}$ だが $x\notin(x^2)$）、$V_+((x^2))=V_+((x))$ なのに $D_+(y)$ 上の座標環が $k[t]/(t^2)$ と $k$ で異なる。
関連項目
参考文献
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