Hodge理論

同義語：ホッジ理論調和積分論Hodge theory

概要

前提知識: 調和形式, Hodgeの定理, Hodgeのスター作用素, de Rhamコホモロジー

Hodge理論（Hodge theory）とは、多様体のコホモロジーを、計量から決まる Laplace 型の楕円型作用素の核、すなわち調和形式の空間として表し、その表示を使って位相・複素構造・代数構造についての情報を引き出す理論である。出発点は、コンパクトで境界のない向き付けられた Riemann 多様体 $M$ の上の Hodgeの定理
$$ H^p_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathcal H^p(M)=\{\omega\in\Omega^p(M)\mid\Delta\omega=0\} $$
である。コホモロジー類の代わりに具体的な微分形式（調和形式）を扱えるので、計量から決まる各点の線形代数（Hodge のスター作用素 $*$ など）がコホモロジーに持ち込まれる。
コンパクト Kähler 多様体の上では、調和形式が複素構造に応じた型 $(p,q)$ に分かれ、Hodge 分解 $H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$、Hodge 対称性、Hard Lefschetz 定理、小平の消滅定理などが従う。これを複素 Hodge 理論といい、Riemann 多様体の上の部分を実 Hodge 理論ということがある。
この記事では、実 Hodge 理論の骨組みを示したうえで、その代表的な帰結として次の 3 つを証明し、最後に複素 Hodge 理論への地図を示す。

Poincaré 双対がスター作用素 $*$ で実現されること、とくに $b_p=b_{n-p}$。
$4k$ 次元の多様体の符号数が、自己双対な調和形式と反自己双対な調和形式の次元の差であること。
$4k+2$ 次元の多様体の中間次元の Betti 数が偶数であること。

実 Hodge 理論の骨組み

以下、$M$ は $n$ 次元のコンパクトで境界のない向き付けられた Riemann 多様体とし、$\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\int_M\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}$ を $L^2$ 内積、$b_p=\dim H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ を Betti 数とする。実 Hodge 理論は次の段を積み上げてできている。

段	内容	記事
位相の側	閉形式を完全形式で割る。特異コホモロジーと一致する	de Rhamコホモロジー、de Rhamの定理
計量から来る線形代数	スター作用素 $$、余微分 $d^=\pmd$、$L^2$ 内積	Hodgeのスター作用素
Laplace 作用素	$\Delta=dd^+d^d$ は非負・自己随伴・楕円型で、$\Delta\omega=0\iff d\omega=d^*\omega=0$	Laplace–de Rham作用素
楕円型作用素の解析	主表象、楕円正則性、コンパクト埋め込み、Gårding の不等式、Fredholm 性	楕円型作用素、楕円正則性、Rellichの定理、Gårdingの不等式、Fredholm作用素
調和表示	$\Omega^p=\mathcal H^p\oplus d\Omega^{p-1}\oplus d^*\Omega^{p+1}$、$\mathcal H^p\cong H^p_{\mathrm{dR}}$	調和形式、Hodgeの定理

この記事で使うのは、次の 3 つの事実である。

Hodgeの定理：$h\mapsto[h]$ は同型 $\mathcal H^p(M)\to H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ で、$\mathcal H^p(M)$ は有限次元である。
Laplace–de Rham作用素の命題「外微分・余微分・スター作用素との可換性」：$*$ は同型 $\mathcal H^p(M)\to\mathcal H^{n-p}(M)$ を与える。調和形式は閉形式である（同記事の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。
Hodgeのスター作用素の定理「スター作用素と内積」の 1 と定理「スター作用素の2回の合成」：$\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}$、$p$ 次形式の上で $**=(-1)^{p(n-p)}$。

Poincaré 双対とスター作用素

スター作用素による Poincaré 双対

$M$ を上のとおりとし、$0\le p\le n$ とする。
$$ P\colon H^p_{\mathrm{dR}}(M)\times H^{n-p}_{\mathrm{dR}}(M)\longrightarrow\mathbb R,\qquad P([\alpha],[\beta]):=\int_M\alpha\wedge\beta $$
は矛盾なく定まる双線形形式で、非退化である。すなわち $[\alpha]\mapsto P([\alpha],\cdot)$ は同型 $H^p_{\mathrm{dR}}(M)\to H^{n-p}_{\mathrm{dR}}(M)^*$ である。調和形式による代表では
$$ P([h],[h'])=(-1)^{p(n-p)}\langle\!\langle h,*h'\rangle\!\rangle\qquad(h\in\mathcal H^p(M),\ h'\in\mathcal H^{n-p}(M)) $$
であり、$0$ でない $h\in\mathcal H^p(M)$ について $P([h],[*h])=\|h\|^2>0$ である。とくに $b_p(M)=b_{n-p}(M)$ である。

矛盾なく定まること．$\alpha$ を閉 $p$ 形式、$\gamma$ を $(n-p-1)$ 次形式とすると、$d(\alpha\wedge\gamma)=d\alpha\wedge\gamma+(-1)^p\alpha\wedge d\gamma=(-1)^p\alpha\wedge d\gamma$ なので、Stokesの定理の系「閉多様体上の積分と完全形式」の 1 により $\int_M\alpha\wedge d\gamma=(-1)^p\int_Md(\alpha\wedge\gamma)=0$ である。よって $\int_M\alpha\wedge\beta$ は閉形式 $\beta$ の類だけで決まる。同様に $\int_Md\gamma'\wedge\beta=\int_Md(\gamma'\wedge\beta)=0$（$\beta$ は閉）から、$\alpha$ の類だけで決まる。双線形性は明らかである。
調和形式による式．Hodgeのスター作用素の定理「スター作用素と内積」の 4 により、$h\in\Omega^p$、$h'\in\Omega^{n-p}$ について $h\wedge h'=(-1)^{p(n-p)}\langle h,*h'\rangle\,\mathrm{vol}$ で、積分すると式を得る。また同じ定理の 1 から $h\wedge*h=\langle h,h\rangle\,\mathrm{vol}$ なので、$*h\in\mathcal H^{n-p}(M)$ について $P([h],[*h])=\int_Mh\wedge*h=\|h\|^2$ である。
非退化性．$a\in H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ が $0$ でないとする。Hodgeの定理により $a=[h]$ となる $0$ でない調和形式 $h$ があり、$*h$ は $(n-p)$ 次の調和形式なので閉形式で、$P(a,[*h])=\|h\|^2>0$ である。よって $H^p_{\mathrm{dR}}\to(H^{n-p}_{\mathrm{dR}})^*$ は単射である。$p$ と $n-p$ の役割を入れ替えた同じ議論（$P([\alpha],[\beta])=(-1)^{p(n-p)}\int_M\beta\wedge\alpha$ に注意する）により $H^{n-p}_{\mathrm{dR}}\to(H^p_{\mathrm{dR}})^*$ も単射である。どちらも有限次元なので $b_p\le b_{n-p}\le b_p$ となり、次元が一致して、単射な線形写像は同型である。$\square$

Poincaré双対の記事は、特異ホモロジーの基本類とキャップ積による Poincaré 双対を証明し、de Rham コホモロジーの形（定理「de Rham コホモロジーの双対」）は文献を引いて述べている。thm-hodgetheory-poincare は、コンパクトな場合のその形を、調和形式と $*$ によって証明したものである。証明の要点は、「$0$ でない類 $a$ に対して、$P(a,b)\ne0$ となる相手 $b$ を明示できる」ことであり、その相手が $a$ の調和代表のスター $*h$ である。
$M$ が連結なら $b_0=1$ なので $b_n=1$ で、$H^n_{\mathrm{dR}}(M)$ は $[\mathrm{vol}]=[*1]$ で張られ、$P([1],[\mathrm{vol}])=\int_M\mathrm{vol}>0$ である。

中間次元の交叉形式

$n=2m$ を偶数とする。$H^m_{\mathrm{dR}}(M)$ の上の双線形形式
$$ Q(a,b):=P(a,b)=\int_M\alpha\wedge\beta\qquad(a=[\alpha],\ b=[\beta]) $$
を $M$ の交叉形式という。$\alpha\wedge\beta=(-1)^{m^2}\beta\wedge\alpha=(-1)^m\beta\wedge\alpha$ なので、$Q$ は $m$ が偶数なら対称、奇数なら交代であり、thm-hodgetheory-poincare により非退化である。
有限次元の実ベクトル空間 $V$ の上の対称双線形形式 $Q$ について、$Q$ が正定値になる部分空間の次元の最大値を $n_+$、負定値になる部分空間の次元の最大値を $n_-$ とし、$\sigma(Q):=n_+-n_-$ を $Q$ の符号数という。$n=4k$ のとき、交叉形式 $Q$ の符号数を $M$ の符号数（signature）といい $\sigma(M)$ と書く。

直交分解と符号数

$V=V_+\oplus V_-$ で、$Q$ が $V_+$ の上で正定値、$V_-$ の上で負定値、$Q(V_+,V_-)=0$ なら、$n_+=\dim V_+$、$n_-=\dim V_-$ である。

$W$ を $Q$ が正定値になる部分空間とする。$w\in W\cap V_-$ なら $Q(w,w)\ge0$ かつ（$w\ne0$ なら）$Q(w,w)<0$ なので $w=0$ であり、$W\cap V_-=0$ である。よって $\dim W\le\dim V-\dim V_-=\dim V_+$ で、$V_+$ 自身が正定値なので $n_+=\dim V_+$ である。$n_-$ も同様である。$\square$

符号数と自己双対な調和形式

$n=4k$ とし、$m=2k$ とする。$m$ 次形式の上で $**=1$ であり、
$$ \mathcal H^m_\pm(M):=\{h\in\mathcal H^m(M)\mid *h=\pm h\} $$
とおくと $\mathcal H^m(M)=\mathcal H^m_+(M)\oplus\mathcal H^m_-(M)$ である。交叉形式は $\mathcal H^m_+$ の上で正定値、$\mathcal H^m_-$ の上で負定値で、$Q(\mathcal H^m_+,\mathcal H^m_-)=0$ である（$\mathcal H^m$ を Hodge の同型で $H^m_{\mathrm{dR}}$ と同一視する）。したがって
$$ \sigma(M)=\dim\mathcal H^m_+(M)-\dim\mathcal H^m_-(M) $$
である。$\mathcal H^m_+$ の元を自己双対な調和形式、$\mathcal H^m_-$ の元を反自己双対な調和形式という。

$**=(-1)^{m(n-m)}=(-1)^{4k^2}=1$ である。$*$ は $\mathcal H^m(M)$ をそれ自身に写すので、$h\in\mathcal H^m(M)$ は $h=\frac12(h+*h)+\frac12(h-*h)$ と $\mathcal H^m_+$ と $\mathcal H^m_-$ の元の和に書け、$\mathcal H^m_+\cap\mathcal H^m_-=0$（$h=*h=-h$）なので直和である。
$h\in\mathcal H^m(M)$ と $h'\in\mathcal H^m_\pm(M)$ について、$h'=\pm*h'$ と Hodgeのスター作用素の定理「スター作用素と内積」の 1 から
$$ Q([h],[h'])=\int_Mh\wedge h'=\pm\int_Mh\wedge*h'=\pm\langle\!\langle h,h'\rangle\!\rangle $$
である。$h=h'\ne0$ とおくと、$Q$ は $\mathcal H^m_+$ の上で $\|h\|^2>0$、$\mathcal H^m_-$ の上で $-\|h\|^2<0$ となる。$h\in\mathcal H^m_+$、$h'\in\mathcal H^m_-$ なら、上の式から $Q([h],[h'])=-\langle\!\langle h,h'\rangle\!\rangle$ であり、$Q$ の対称性と、$h$ を第 2 成分に置いた式から $Q([h],[h'])=Q([h'],[h])=\langle\!\langle h',h\rangle\!\rangle$ でもある。よって $\langle\!\langle h,h'\rangle\!\rangle=0$ で、$Q([h],[h'])=0$ である。lem-hodgetheory-inertia から符号数の式を得る。$\square$

交叉形式は位相的に定まる（計量によらない）が、分解 $\mathcal H^m_+\oplus\mathcal H^m_-$ そのものは計量に依存する。定理は、その次元だけが位相で決まることを主張している。

$4k+2$ 次元の中間 Betti 数

$n=4k+2$ とし、$m=2k+1$ とする。$m$ 次形式の上で $**=-1$ であり、$*$ は $\mathcal H^m(M)$ の上の複素構造（$J^2=-1$ を満たす線形写像 $J$）を与える。とくに $b_m(M)$ は偶数である。

$**=(-1)^{m(n-m)}=(-1)^{m^2}=-1$（$m$ は奇数）である。$*$ は $\mathcal H^m(M)$ をそれ自身に写すので、$J:=*|_{\mathcal H^m}$ は $J^2=-1$ を満たす。有限次元の実ベクトル空間 $V$ の上に $J^2=-1$ となる線形写像があれば、$(\det J)^2=\det(J^2)=\det(-1_V)=(-1)^{\dim V}$ で、左辺は正の実数（$J$ は可逆）なので $\dim V$ は偶数である。Hodgeの定理により $b_m=\dim\mathcal H^m(M)$ なので $b_m$ は偶数である。$\square$

$n=2$（$k=0$）では、向き付け可能な閉曲面の $b_1$ が偶数であることになる。種数 $g$ の閉曲面では $b_1=2g$ である（Betti数の例「基本的な空間の Betti 数」）。Riemann 面では、$*$ による複素構造が正則 1 形式の空間の複素構造と一致する（調和形式の系「正則 1 形式の空間の次元」の後の注意）。$n=4k+2$ で $m$ が奇数のとき、交叉形式 $Q$ は交代で非退化なので、そこからも $b_m$ が偶数であることが分かる（Nic26 Corollary 7.2.13、p. 276）。prop-hodgetheory-middle-odd は、それを調和形式の上の $*$ で見たものである。

例

$S^2\times S^2$ の符号数

$S^2$ に標準の計量と向きを入れ、その面積形式を $\nu$ とする。$M=S^2\times S^2$ に積の計量と積の向きを入れ、$\omega_1:=\mathrm{pr}_1^*\nu$、$\omega_2:=\mathrm{pr}_2^*\nu$ とおく。各因子の正の向きの正規直交余枠 $e^1,e^2$ と $e^3,e^4$ をとると $\omega_1=e^1\wedge e^2$、$\omega_2=e^3\wedge e^4$、$\mathrm{vol}=e^1\wedge e^2\wedge e^3\wedge e^4$ で、スター作用素の公式から
$$ *\omega_1=\omega_2,\qquad *\omega_2=\omega_1 $$
である（置換 $(1,2,3,4)$ と $(3,4,1,2)$ はともに偶置換）。$\omega_1,\omega_2$ は 2 次元の多様体の 2 次形式の引き戻しなので閉であり、$d^*\omega_1=\pm*d*\omega_1=\pm*d\omega_2=0$、同様に $d^*\omega_2=0$ なので、ともに調和形式である。$\omega_1\wedge\omega_1=0$、$\omega_2\wedge\omega_2=0$、$\int_M\omega_1\wedge\omega_2=(4\pi)^2$ なので、$[\omega_1],[\omega_2]$ に関する交叉形式の行列は $\begin{pmatrix}0&16\pi^2\\16\pi^2&0\end{pmatrix}$ で、非退化だから $[\omega_1],[\omega_2]$ は一次独立である。Künnethの公式の例「球面の積」により Poincaré 多項式は $(1+t^2)^2$ で $b_2(M)=2$ なので、$\mathcal H^2(M)$ は $\omega_1,\omega_2$ で張られ、
$$ \mathcal H^2_+=\mathbb R(\omega_1+\omega_2),\qquad\mathcal H^2_-=\mathbb R(\omega_1-\omega_2),\qquad\sigma(S^2\times S^2)=1-1=0 $$
である。$Q(\omega_1\pm\omega_2,\omega_1\pm\omega_2)=\pm2\cdot16\pi^2$ で、thm-hodgetheory-signature の符号と合っている。

複素射影平面の符号数と向き

複素射影平面 $\mathbb{CP}^2$ は 4 次元のコンパクトな向き付けられた多様体で、$b_2=1$ である（Betti数の例「基本的な空間の Betti 数」）。$\mathbb{CP}^2$ は Fubini–Study 計量によりコンパクト Kähler 多様体であり（Hodge分解の例「複素射影空間の Hodge 数」）、その Kähler 形式 $\omega$ は閉 2 形式で $\int\omega\wedge\omega>0$ である（同記事の命題「Hodge 数の関係」の 4 の証明で、$\int_X\omega^n=n!\operatorname{vol}(X)>0$ が示されている）。したがって $Q([\omega],[\omega])>0$ で、$H^2_{\mathrm{dR}}$ は 1 次元なので $Q$ は正定値であり、$\sigma(\mathbb{CP}^2)=1$ である。thm-hodgetheory-signature により、$\mathbb{CP}^2$ にどんな計量を入れても、その 2 次の調和形式はすべて自己双対である。
向きを逆にすると積分の符号が変わるので $Q$ は $-Q$ になり、符号数は $-1$ になる。一方、微分同相写像 $\varphi\colon M\to M$ が向きを逆にするなら、閉形式について $\int_M\varphi^*(\alpha\wedge\beta)=-\int_M\alpha\wedge\beta$ であり、$\varphi^*$ は $H^m_{\mathrm{dR}}$ の同型で $Q(\varphi^*a,\varphi^*b)=-Q(a,b)$ を満たすので、$Q$ と $-Q$ の符号数が等しく $\sigma(M)=-\sigma(M)=0$ となる。よって $\mathbb{CP}^2$ には向きを逆にする微分同相写像がない。$S^2\times S^2$ では $\sigma=0$ で、実際 $(x,y)\mapsto(y,x)$ は（2 次形式どうしの入れ替えなので）向きを保つが、一方の因子の鏡映 $(x,y)\mapsto(r(x),y)$ は向きを逆にする。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
向き付け可能	実射影平面 $\mathbb{RP}^2$	$b_0=b_2$（thm-hodgetheory-poincare）
コンパクト性	$\mathbb R^n$（$n\ge1$）	$b_0=b_n$
境界がないこと	閉区間 $[0,1]$	$b_0=b_1$
コンパクト性（中間次元）	$\mathbb R^2\setminus\{0\}$	$b_1$ が偶数（prop-hodgetheory-middle-odd）

1 行目：$\mathbb{RP}^2$ はコンパクトで境界のない滑らかな多様体だが向き付け可能でない。Betti数の例「基本的な空間の Betti 数」により $b_0=1$、$b_2=0$ である。向きがないので積分 $\int_M$ と $*$ が定まらず、証明の出発点が崩れる。2 行目：de Rhamコホモロジーの系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」により $H^0_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=\mathbb R$、$H^n_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=0$ である。$\mathbb R^n$ では $\mathcal H^p$ と $H^p_{\mathrm{dR}}$ が一致しないこと（Hodgeの定理の反例の表）が、証明の非退化性の段を崩す。3 行目：$[0,1]$ は可縮なので $b_0=1$、$b_1=0$ である。4 行目：de Rhamの定理の例「原点を除いた Euclid 空間」により $b_1(\mathbb R^2\setminus\{0\})=1$ は奇数である。どの行でも、満たさない仮定が破る含意は「$M$ 上で Hodge の同型と $*$ による双対が成り立つ」である。

複素 Hodge 理論への地図

複素多様体 $X$（複素次元 $n$）の上では、微分形式が $dz_j$ と $d\bar z_j$ の個数で型 $(p,q)$ に分かれ、$d=\partial+\bar\partial$ と分かれる。$\bar\partial$ についても $\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\bar\partial$ を作ると、実 Hodge 理論と同じ論法（Hodgeの定理の論法は楕円型複体一般に通用する）で、Dolbeault コホモロジーが $\Delta_{\bar\partial}$ の調和形式で表される。Kähler 多様体では Kähler の恒等式から $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ となり、2 つの調和理論が一致する。ここから次の結果が順に導かれる。いずれもこの記事では証明しない。

段	主な結果	記事	所在
複素構造と計量	概複素構造、Hermite 計量、Kähler 形式 $d\omega=0$	概複素構造、エルミート計量、Kähler形式、Kähler多様体	Dem12 Ch. VIII §11（p. 397、概複素構造）、Ch. VI §4–5（pp. 296–304）
Dolbeault 側の Hodge 理論	層コホモロジーとの同型、$\Delta_{\bar\partial}$ の調和形式	Dolbeaultの定理、Dolbeaultコホモロジー	Dem12 Ch. IV (6.13)（p. 216）、Ch. V (11.7)（p. 268）、Ch. VI (7.2)（p. 309）
Kähler の恒等式	$[\bar\partial^*,L]=i\partial$ などの交換関係、$\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$	Kählerの恒等式	Dem12 Ch. VI Theorem (6.4)（p. 305）
Hodge 分解	$H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}$、$\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}$	Hodge分解、Hodge対称性、Hodge数	Dem12 Ch. VI (8.5)（p. 311）
双対と Lefschetz	Serre 双対性、Hard Lefschetz 定理	Serre双対性、Hard Lefschetz定理、Hodge–Riemann双線形関係	Dem12 Ch. VI (7.3)（p. 310）、(8.17)（p. 313）
正値性と消滅	Bochner の方法、小平（–中野）の消滅定理、小平の埋め込み定理	Bochnerの方法、小平の消滅定理、小平の埋め込み定理	Dem12 Ch. VII (1.2)（p. 330）、(3.3)（p. 334）、(13.1)・(14.1)（pp. 358–359）

実 Hodge 理論のこの記事の結果との関係を 2 つ挙げる。

prop-hodgetheory-middle-odd の「$*$ が複素構造を与えるので中間次元の Betti 数が偶数」は、コンパクト Kähler 多様体では「奇数次の Betti 数 $b_{2j+1}=2\sum_{p\le j}h^{p,2j+1-p}$ がすべて偶数」に強まる（Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」の 2）。これは Hodge 対称性 $h^{p,q}=h^{q,p}$ の帰結で、Kähler でない複素曲面（Hopf 曲面、$b_1=1$）では成り立たない（同記事の例「反例：Hopf 曲面」）。
thm-hodgetheory-signature の自己双対・反自己双対への分解は、Kähler 曲面では型 $(p,q)$ と Kähler 形式を使って具体的に書け、符号数を Hodge 数で表す Hodge 指数定理につながる（Hodge–Riemann 双線形関係の記事で扱う）。
Hodge 分解の成分から Hodge 構造（Hodge構造）という線形代数的な対象が得られ、どの類が代数的サイクルから来るかという問題が Hodge予想である。$p$ 進体の上の類似は p進Hodge理論である。

文献

実 Hodge 理論の骨組みは Dem12 Ch. VI §3（pp. 291–296。(3.16)・(3.17) が Hodge の定理、(3.18) が Poincaré 双対）、Nic26 §10.4.3（pp. 525–529。Corollary 10.4.33 が $*$ による調和形式の同型、Proposition 10.4.34 が Poincaré 双対と $*$ の一致）、Gil84 §1.5（pp. 38–41）に従う。符号数を自己双対・反自己双対な調和形式の次元の差で書くことは Gil84 §3.1（pp. 151–152）にある。交叉形式と符号数の定義は Nic26 §7.2（p. 276）に従う。