rigidコホモロジー
概要
rigid コホモロジー（rigid cohomology）とは、標数 $p>0$ の体 $k$ 上の分離的な有限型スキーム $X$ に対し、$X$ を滑らかな形式スキームに埋め込み、生成ファイバーの中の管の上で過収束する微分形式の複体の超コホモロジーをとって得られる、標数 $0$ の体 $K$ 上の線形空間 $H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)$ である。埋め込みによらないことの証明は、開多重円板の上の de Rham 複体の非輪状性に基づく。滑らかな affine の $X$ では Monsky–Washnitzer コホモロジーと一致し、$k$ が完全体なら固有で滑らかな $X$ では結晶コホモロジーの $K$ への係数拡大とも一致する。$k$ が完全体で $K=W(k)[1/p]$ のときは有限次元性・Poincaré 双対・Künneth の公式が成り立つ。
前提知識: rigid解析空間, 形式スキーム, de Rhamコホモロジー, Monsky–Washnitzerコホモロジー, 超コホモロジー
標数 $p>0$ の体の上の代数多様体に、標数 $0$ の係数をもつコホモロジーを与える方法として、$\ell\ne p$ の ℓ進コホモロジー のほかに、$p$ 進数体の上の微分形式を使う方法がある。固有で滑らかな多様体には結晶コホモロジーが、滑らかな affine 多様体には Monsky–Washnitzerコホモロジー がある。rigid コホモロジーは Berthelot が導入したもので、任意の分離的な有限型スキームに対して定義され、この 2 つを特別な場合として含む。
作り方は標数 $0$ の代数的 de Rham コホモロジーにならう。多様体 $X$ を、標数 $0$ の完備離散付値環の上の滑らかな形式スキーム $P$ に埋め込み、$P$ の生成ファイバー（rigid解析空間）の中で $X$ に特殊化する点の集まりである管 $]X[$ をとる。その上の微分形式の複体の超コホモロジーをとり、$X$ が固有でないときは、無限遠の近くでも少し広く収束する（過収束する）形式だけを使う。
この記事では管を定義し、有理点の管が開多重円板であることと、開多重円板の上の de Rham 複体が非輪状であること（開多重円板の Poincaré の補題）を証明する。後者は、rigid コホモロジーが埋め込みの選び方によらないことの解析的な核心である。次に rigid コホモロジーを定義し、独立性・比較定理・有限性を引用で述べる。affine 直線のコンパクト台のコホモロジーを計算し、係数・滑らかさ・過収束の条件を外すと何が起きるかを例で確かめる。
設定と管
以下、$\mathcal{V}$ を標数 $0$ の完備離散付値環、$\pi$ をその素元、$K$ を商体、$k=\mathcal{V}/\pi$ を剰余体とし、$k$ の標数を $p>0$ とする。$K$ の絶対値 $|\cdot|$ は $|p|=p^{-1}$ と正規化する。形式スキームはすべて $\mathcal{V}$ 上分離的で有限型（$\mathcal{V}\{t_1,\dots,t_n\}$ の商の $\operatorname{Spf}$ で有限個覆われる）とする。
$\mathcal{V}$ 上の形式スキーム $P$ には、$K$ 上の rigid 解析空間 $P_K$（生成ファイバー）と特殊化写像 $\mathrm{sp}\colon P_K\to P$ が付随する。$P=\operatorname{Spf}A$（$A$ は $\mathcal{V}\{t_1,\dots,t_n\}$ の商）なら $P_K=\operatorname{Sp}(A\otimes_{\mathcal{V}}K)$ であり、点 $y$（極大イデアル）について、剰余体 $K(y)$ の整数環を $\mathcal{O}_{K(y)}$ とすると、$A\to\mathcal{O}_{K(y)}\to\mathcal{O}_{K(y)}/\mathfrak{m}_{K(y)}$ の核が定める $P$ の点が $\mathrm{sp}(y)$ である。この構成は貼り合う（Ber86 (1.1)、pp. 9–11。Ked06 Definition 4.1.1、p. 25）。$P=\widehat{\mathbb{A}}^d_{\mathcal{V}}=\operatorname{Spf}\mathcal{V}\{t_1,\dots,t_d\}$ なら $P_K$ は閉単位多重円板 $\mathbb{B}^d=\operatorname{Sp}K\langle t_1,\dots,t_d\rangle$ であり、$\widehat{\mathbb{P}}^d_{\mathcal{V}}$ の生成ファイバーは射影空間の解析化 $\mathbb{P}^{d,\mathrm{an}}_K$ である（Ber86 (1.1) の例）。
$P$ を形式スキーム、$X$ を $P$ の特殊ファイバー $P_k$ の局所閉部分スキームとする。$P_K$ の許容開集合
$$
]X[_P:=\mathrm{sp}^{-1}(X)
$$
を $X$ の $P$ における管（tube）という。$P=\operatorname{Spf}A$ がアフィンで $X$ が閉部分スキームのとき、$X$ のイデアルを $\pi$ と $f_1,\dots,f_r\in A$ が生成するなら
$$
]X[_P=\{y\in P_K:\ |f_i(y)|<1\ (1\le i\le r)\}
$$
である（Ber86 (1.3)、p. 12。Ked06 Definition 4.1.2、p. 25）。
管は $X$ の「$P$ の中での無限小近傍」を解析的に太らせたものである。$X$ が $P_k$ 全体なら $]X[_P=P_K$ である。
$P=\widehat{\mathbb{A}}^d_{\mathcal{V}}$、$x=(\bar a_1,\dots,\bar a_d)\in k^d$ を $P_k=\mathbb{A}^d_k$ の有理点とし、$a_i\in\mathcal{V}$ を $\bar a_i$ の持ち上げとする。このとき
$$
]x[_P=\{y\in\mathbb{B}^d:\ |t_i(y)-a_i|<1\ (1\le i\le d)\}
$$
であり、座標 $t_i-a_i$ によって $]x[_P$ は開単位多重円板 $\mathbb{D}^d:=\{|t_i|<1\}$ と同型である。
点 $y\in\mathbb{B}^d$ について、$t_i(y)\in\mathcal{O}_{K(y)}$ であり、$\mathrm{sp}(y)$ は $t_i(y)$ の剰余類を座標とする $\mathbb{A}^d_k$ の点（の Galois 軌道）である。$\mathrm{sp}(y)=x$ は、すべての $i$ で $t_i(y)$ の剰余類が $\bar a_i$ に等しいこと、すなわち $t_i(y)-a_i\in\mathfrak{m}_{K(y)}$ と同値であり、これは $|t_i(y)-a_i|<1$ と同値である。平行移動 $t_i\mapsto t_i-a_i$ は $\mathcal{V}\{t\}$ の自己同型で $\mathbb{B}^d$ の自己同型を誘導し、$]x[_P$ を $\{|t_i|<1\}$ に写す。$\square$
一方、$\widehat{\mathbb{P}}^1_{\mathcal{V}}$ の中で、affine 直線 $\mathbb{A}^1_k=\{t\ne\infty\}$ の管は閉単位円板 $\{|t|\le1\}$、無限遠点の管は $\{|t|>1\}$ である（Ber86 (2.1)、p. 16 と §3 の例、p. 24）。閉単位円板の上の解析関数の環は Tate 代数 $K\langle t\rangle$ で、その de Rham コホモロジーは無限次元である（Monsky–Washnitzerコホモロジーの記事の命題「制限冪級数環の de Rham コホモロジーは大きすぎる」）。この違いが過収束の条件を必要とする理由である。
開多重円板の Poincaré の補題
開単位多重円板 $\mathbb{D}^d$ は閉多重円板 $\{|t_i|\le r\}$（$r<1$、$r\in|\bar{K}^\times|$）の増大和であり、その上の解析関数は、すべての $r<1$ で収束する冪級数である（$d=1$ は rigid解析空間の記事の例「開単位円板とその許容被覆」。$d$ 変数でも同じ）。そこで次のように定める。多重指数 $\alpha\in\mathbb{N}^d$ について $t^\alpha=t_1^{\alpha_1}\cdots t_d^{\alpha_d}$、$|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_d$ と書く。
$$
\mathcal{O}(\mathbb{D}^d):=\Bigl\{\sum_{\alpha}c_\alpha t^\alpha\in K[\![t_1,\dots,t_d]\!]:\ \text{任意の }0< r<1\text{ について }|c_\alpha|r^{|\alpha|}\to0\ (|\alpha|\to\infty)\Bigr\}
$$
とし、$\Omega^q(\mathbb{D}^d):=\bigoplus_{|I|=q}\mathcal{O}(\mathbb{D}^d)\,dt_I$（$I=\{i_1<\dots< i_q\}$、$dt_I=dt_{i_1}\wedge\dots\wedge dt_{i_q}$）、外微分 $d$ を項ごとの偏微分 $d(f\,dt_I)=\sum_j\partial_jf\,dt_j\wedge dt_I$ で定める。
$|\alpha_jc_\alpha|\le|c_\alpha|$ なので $\partial_j$ は $\mathcal{O}(\mathbb{D}^d)$ をそれ自身に写し、$\Omega^\bullet(\mathbb{D}^d)$ は複体である。
列
$$
0\to K\to\mathcal{O}(\mathbb{D}^d)\xrightarrow{d}\Omega^1(\mathbb{D}^d)\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^d(\mathbb{D}^d)\to0
$$
は完全である。すなわち $df=0$ となる $f$ は定数であり、$q\ge1$ の閉形式はすべて完全である。
$\mathcal{O}(\mathbb{D}^d)\subset K[\![t]\!]$ であり、$\Omega^\bullet(\mathbb{D}^d)$ は $K[\![t]\!]$ の連続 de Rham 複体 $\widehat{\Omega}^\bullet$ の部分複体である。$\widehat{\Omega}^\bullet$ には、$q\ge1$、$|I|=q$ の単項式形式について
$$
h(t^\alpha\,dt_I):=\frac{1}{|\alpha|+q}\sum_{k=1}^{q}(-1)^{k-1}t_{i_k}t^\alpha\,dt_{I\setminus i_k}
$$
と定め、形式和に項ごとに延ばした $K$ 線形写像 $h\colon\widehat{\Omega}^q\to\widehat{\Omega}^{q-1}$（$q=0$ では $h=0$）があり、$q\ge1$ で $dh+hd=\mathrm{id}$、$q=0$ で $h(df)=f-f(0)$ が成り立つ（Poincaréの補題の記事の定理「形式 Poincaré の補題（標数 $0$）」の証明。$K$ は $\mathbb{Q}$ を含む）。したがって、$h$ が $\Omega^q(\mathbb{D}^d)$ を $\Omega^{q-1}(\mathbb{D}^d)$ に写すことを示せば、$\Omega^\bullet(\mathbb{D}^d)$ でも同じ恒等式が成り立ち、閉形式 $\omega$ は $\omega=d(h\omega)$、$df=0$ なら $f=f(0)\in K$ となって定理が従う。
$\omega=\sum_{I}\sum_\alpha c_{\alpha,I}t^\alpha dt_I\in\Omega^q(\mathbb{D}^d)$ とする。$h\omega$ の単項式形式 $t^\beta dt_J$（$|J|=q-1$）の係数は、$\beta=\alpha+e_j$、$J=I\setminus\{j\}$ となる高々 $d$ 個の組 $(\alpha,I)$ についての $\pm c_{\alpha,I}/(|\alpha|+q)$ の和である。正の整数 $N$ について $p^{v_p(N)}\le N$ なので
$$
\Bigl|\frac{1}{N}\Bigr|=p^{v_p(N)}\le N
$$
である。$0< r<1$ を与え、$r< r'<1$ をとる。$M:=\sup_{\alpha,I}|c_{\alpha,I}|r'^{|\alpha|}$ は有限なので（$r'$ での収束）、$|\beta|=|\alpha|+1$ に注意して
$$
|\text{係数}|\,r^{|\beta|}\le\max_{(\alpha,I)}\bigl(|\alpha|+q\bigr)|c_{\alpha,I}|\,r^{|\alpha|+1}\le(|\beta|+d)\Bigl(\frac{r}{r'}\Bigr)^{|\beta|-1}M
$$
となり、右辺は $|\beta|\to\infty$ で $0$ に収束する。よって $h\omega\in\Omega^{q-1}(\mathbb{D}^d)$ である。$\square$
Ber86 (1.4)（pp. 13–14）は、$X$ を 2 つの形式スキーム $P'\to P$ に埋め込み、$u\colon P'\to P$ が $X$ の近くで滑らかなら、$]X[_{P'}\to]X[_P$ が局所的に開単位多重円板との積になること（Lemme 1）を述べ、「開円板の上で大域的な原始関数が存在すること」と Kiehl の定理 B から、$\Omega^\bullet_{]X[_P}\to Ru_*\Omega^\bullet_{]X[_{P'}}$ がコホモロジー層の同型を与えること（Proposition 1）を導く。上の定理はこの「大域的な原始関数の存在」を多変数で確かめたものである。Lemme 1 と Proposition 1 はこの記事では証明しない。
アフィンな $P$ の中の管は準 Stein 空間であり（Ber86 (1.3)、p. 13）、準 Stein 空間の上では連接層の高次コホモロジーが消える（Kiehl の定理 B。Ked06 Proposition 4.1.4、p. 25。この記事では証明しない）。よって $\mathbb{D}^d$ の de Rham 複体の超コホモロジーは大域切断の複体 $\Omega^\bullet(\mathbb{D}^d)$ のコホモロジーに一致し（超コホモロジーの記事の命題「非輪状な項をもつ複体」）、thm-rig-poincare-open-disk は、有理点の管の de Rham コホモロジーが 1 点のそれ（次数 $0$ の $K$）に等しいことを述べている。
rigid コホモロジーの定義
$X$ を $k$ 上分離的な有限型スキームとする。$X$ を開部分スキームとして含む $k$ 上固有なスキーム $Y$（Nagata の定理により存在する）と、$Y$ の閉埋め込み $Y\hookrightarrow P$ で、$P$ が $X$ の近くで $\mathcal{V}$ 上滑らかな形式スキームであるものをとる。$Z:=Y\setminus X$ とおく。
$P$ がアフィンで、$Z$ の $Y$ での方程式を持ち上げた $f_1,\dots,f_m\in\Gamma(P,\mathcal{O}_P)$ を選ぶ。$]Y[_P$ の許容開集合 $V$ が $]X[_P$ の狭義近傍（strict neighborhood）であるとは、$]X[_P\subset V$ で、$]Y[_P$ に含まれる任意の affinoid $W$ について、ある $\lambda< 1$ があって
$$
W\cap\{y\in]Y[_P:\ \max_i|f_i(y)|\ge\lambda\}\subset V
$$
となることをいう（一般の $P$ では局所的に同じ条件を課す）。$]Y[_P$ 上のアーベル群の層 $E$ について、狭義近傍 $V$ の包含 $j_V$ をわたる帰納極限
$$
j^\dagger E:=\varinjlim_Vj_{V*}j_V^{-1}E
$$
を、$]X[_P$ の近くでの $E$ の過収束切断の層という（Ber86 (2.2)、pp. 16–17 と (2.5) a)、p. 19。Ked06 Definition 4.2.2、p. 25）。
$H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)$ は、$Y$ と $P$ の選び方によらず標準的な同型を除いて定まる $K$ 線形空間であり、$X$ について反変的な関手である。
$P$ によらないことは Ber86 Théorème 1（(2.3)、p. 18）、$Y$ によらないことは同 Théorème 2（(2.4)、p. 18）とその後の段落（p. 19）にある。同論文は証明を別稿に譲っており、この記事でも証明しない。Théorème 1 の証明の出発点が、上の Lemme 1・Proposition 1 と、thm-rig-poincare-open-disk の「開円板の上の原始関数の存在」である。
$X$ が固有なら $Y=X$ ととれ、$j^\dagger$ は恒等的なので、$H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)=H^i(]X[_P,\Omega^\bullet)$ である（Ber86 (2.4)、p. 19）。さらに $\mathcal{V}$ が離散付値環で $k$ が完全体、$X$ が固有かつ滑らかなら、これは結晶コホモロジーに $K$ をテンソルしたものに一致する（Ber86 Proposition 2、p. 14）。$X$ が滑らかな affine スキームなら、$H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)$ は Monsky–Washnitzer コホモロジー $H^i_{MW}(X/K)$ に一致する（Ber86 (2.1)・(2.5) b)、pp. 15–16、20。Ked06 Remark 4.3.3、p. 27）。この段落の 2 つの比較定理は、この記事では証明しない。
例
$X=\operatorname{Spec}k$ なら $P=\operatorname{Spf}\mathcal{V}$ がとれ、$]X[_P=\operatorname{Sp}K$ は 1 点なので $H^0_{\mathrm{rig}}=K$、$i\ne0$ で $H^i_{\mathrm{rig}}=0$ である。
$X=\mathbb{A}^1_k$ は滑らかな affine なので、上の比較により $H^i_{\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)=H^i_{MW}(\mathbb{A}^1_k/K)$ である。$Y=\mathbb{P}^1_k$、$P=\widehat{\mathbb{P}}^1_{\mathcal{V}}$ ととると、$]X[_P$ の狭義近傍は閉円板 $\{|t|\le\rho\}$（$\rho>1$）の形のもので代表され（Ber86 (2.1)、p. 16）、過収束切断の大域切断は、半径 $1$ より大きいある円板で収束する冪級数の環 $K\langle t\rangle^\dagger$ になる。Monsky–Washnitzerコホモロジーの記事の命題「affine 直線の Monsky–Washnitzer コホモロジー」により、$H^0_{\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)=K$、$H^1_{\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)=0$ である。
コンパクト台の rigid コホモロジー $H^i_{c,\mathrm{rig}}(X/K)$ は、$\Omega^\bullet$ の過収束切断の代わりに、$]Z[_P$ の外に台をもつ切断（$E\to i_*i^{-1}E$ の核、$i\colon]Z[_P\to]Y[_P$）の導来関手で作られる（Ber86 §3、pp. 21–23。Ked06 Definition 4.3.4、p. 27。この記事では定義の詳細を述べない）。
$X=\mathbb{A}^1_k$ について、$H^0_{c,\mathrm{rig}}=H^1_{c,\mathrm{rig}}=0$、$H^2_{c,\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)\cong K$ である。
Ber86 §3 の例（p. 24）によれば、$H^\ast_{c,\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)$ は、円環 $C=\{|t|>1\}$ 上の関数を affine 直線全体の関数で割った空間
$$
M:=\Bigl\{\sum_{n\ge1}b_nt^{-n}:\ \text{任意の }\eta< 1\text{ について }|b_n|\eta^n\to0\Bigr\}
$$
を次数 $1$ に、同様の 1 次形式の空間 $M\,dt=\{\sum_{n\ge1}c_nt^{-n}dt\}$ を次数 $2$ に置いた複体 $M\xrightarrow{d}M\,dt$ のコホモロジーである。この記述はこの記事では証明しない。そのうえで計算する。$d(\sum b_nt^{-n})=\sum_{n\ge1}(-nb_n)t^{-n-1}dt$ なので、$df=0$ は $nb_n=0$、すなわち $f=0$ と同値で、$H^1_{c,\mathrm{rig}}=0$ である。$d$ の像は $t^{-1}dt$ の係数 $c_1$ が $0$ の形式からなる。実際、$c_1=0$ の形式 $\sum_{n\ge2}c_nt^{-n}dt$ に対し $b_n:=-c_{n+1}/n$ とおくと、$\eta<\eta'<1$ をとると $M':=\sup_n|c_{n+1}|\eta'^{n+1}$ は有限で、$|1/n|\le n$ より $|b_n|\eta^n\le n|c_{n+1}|\eta^n\le(n/\eta')(\eta/\eta')^nM'\to0$ なので $\sum b_nt^{-n}\in M$ で、その $d$ がもとの形式である。よって $\omega\mapsto c_1$（留数）は同型 $H^2_{c,\mathrm{rig}}(\mathbb{A}^1_k/K)\cong K$ を与える。$H^0_{\mathrm{rig}}=K$ と $H^2_{c,\mathrm{rig}}=K$ が対をなすことは、次の Poincaré 双対の最も簡単な場合である。
性質
$k$ を完全体、$\mathcal{V}=W(k)$、$K=W(k)[1/p]$ とする。
- $k$ 上分離的な有限型スキーム $X$ について、$H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)$ と $H^i_{c,\mathrm{rig}}(X/K)$ は有限次元 $K$ 線形空間である。
- $X$ が $k$ 上滑らかで純 $d$ 次元なら、完全な対 $H^i_{\mathrm{rig}}(X/K)\otimes_KH^{2d-i}_{c,\mathrm{rig}}(X/K)\to K$ がある。
- $X_1,X_2$ について $\bigoplus_{j+l=i}H^j_{c,\mathrm{rig}}(X_1/K)\otimes_KH^l_{c,\mathrm{rig}}(X_2/K)\cong H^i_{c,\mathrm{rig}}(X_1\times_kX_2/K)$ である。
Ked06 Theorem 1.2.1–1.2.4（pp. 3–4）を、係数を自明な過収束 $F$ アイソクリスタルにとって述べたものである。同論文は、$K$ 上に剰余体の Frobenius を持ち上げる自己準同型を固定する設定で証明しており、$k$ が完全で $K=W(k)[1/p]$ ならその自己準同型が存在する（同 §2 冒頭、p. 8）。滑らかな $X$ の場合の 1 は Berthelot が先に証明している（同 §1.3、p. 4）。この記事では証明しない。素朴な類似（過収束させない管の de Rham コホモロジー）では 1 が成り立たない（次節）。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 過収束（狭義近傍の上の切断をとる） | $\mathbb{A}^1_k$ を $\widehat{\mathbb{A}}^1_{\mathcal{V}}$ に埋め込み、管 $\{\lvert t\rvert\le1\}$ の de Rham コホモロジーをとる | thm-rig-finiteness の 1（有限次元性） |
| 係数の $p$ を可逆にする | 開単位円板上の $\mathcal{V}$ 係数の冪級数 $\mathcal{V}[\![t]\!]$ | thm-rig-poincare-open-disk の $H^1=0$ |
| $P$ が $X$ の近くで滑らか | $\operatorname{Spf}\mathcal{V}\{x,y\}/(xy-\pi)$ の結節点の管 | prop-rig-tube-point の「管は開円板」と、管の de Rham $H^1=0$ |
1 行目。$\widehat{\mathbb{A}}^1_{\mathcal{V}}$ の生成ファイバー全体が $\mathbb{A}^1_k$ の管で、閉単位円板 $\operatorname{Sp}K\langle t\rangle$ である。affinoid なので de Rham 複体の超コホモロジーは $K\langle t\rangle\to K\langle t\rangle dt$ のコホモロジーであり、その $H^1$ は $K$ 上無限次元である（Monsky–Washnitzerコホモロジーの記事の命題「制限冪級数環の de Rham コホモロジーは大きすぎる」。Ber86 Proposition 2 の後の注意、p. 15）。
2 行目。$\mathcal{V}[\![t]\!]\subset\mathcal{O}(\mathbb{D}^1)$ であり、$d$ は $\mathcal{V}[\![t]\!]$ を $\mathcal{V}[\![t]\!]dt$ に写す。$t^{p-1}dt$ の $K[\![t]\!]$ での原始関数は $t^p/p+c$（$c\in K$）に限られ、$1/p\notin\mathcal{V}$ なので $\mathcal{V}[\![t]\!]$ の中に原始関数はない。一方 $p\cdot t^{p-1}dt=d(t^p)$ である。よって $H^1(\mathcal{V}[\![t]\!]\to\mathcal{V}[\![t]\!]dt)$ は $0$ でない $p$ 捩れ元をもち、$K$ をテンソルして初めて消える。過収束級数の環でも同じ現象が起きる（Monsky–Washnitzerコホモロジーの記事の命題「affine 直線の Monsky–Washnitzer コホモロジー」の 3）。
3 行目。$P=\operatorname{Spf}\mathcal{V}\{x,y\}/(xy-\pi)$ の特殊ファイバーは 2 本の直線 $xy=0$ で、原点 $x_0$ で交わり、$P$ は $x_0$ の近くで滑らかでない。$P_K=\{(x,y)\in\mathbb{B}^2:xy=\pi\}$ は $y=\pi/x$ により円環 $\{|\pi|\le|x|\le1\}$ と同型で、$x_0$ のイデアルは $\pi,x,y$ で生成されるので、def-rig-tube の式により $]x_0[_P=\{|\pi|<|x|<1\}$（開円環）である。これは開円板と同型でない。実際、開円環上で $x^{-1}dx=df$ となる関数 $f$ があれば、係数を $K':=K(\varpi)$（$\varpi^2=\pi$）に広げても同じ等式が成り立つ。$K'$ は $\varpi$ を素元とする完備離散付値体で、$|\pi|<|\varpi|<1$ である。$K'$ 上で $T:=x/\varpi$ とおくと、$\{|x|=|\varpi|\}=\{|T|=1\}$ は開円環に含まれ、rigid解析空間の記事の例「閉単位円板と閉多重円板」（$K'$ 上で $m=0$ とした Laurent 部分領域）により、その上の関数は $\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nT^n$（$n\to\pm\infty$ で $|a_n|\to0$）と書ける。$d$ は項ごとに働くので、$d(\sum a_nT^n)$ の $T^{-1}dT=x^{-1}dx$ の係数は $0\cdot a_0=0$ であり、$1$ にならず矛盾する。よって $x^{-1}dx$ は開円環上で完全でなく、管の de Rham $H^1$ は $0$ でない。開円板なら thm-rig-poincare-open-disk により $H^1=0$ なので、管は開円板と同型でない。
関連項目
- 前提: rigid解析空間, 形式スキーム, de Rhamコホモロジー, 超コホモロジー, Poincaréの補題
- 比較: Monsky–Washnitzerコホモロジー, 結晶コホモロジー, ℓ進コホモロジー
- 応用: 合同ゼータ関数, Weil予想, 実現関手(モチーフ)
- 発展: 過収束級数, Wittベクトル
参考文献
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