射影多様体の次数

1：一次の座標変換で $L=Z(x_{r+1},\dots,x_n)$ としてよく、$S(L)\cong k[x_0,\dots,x_r]$ である。$l\ge0$ で $\varphi(l)=\binom{l+r}{r}=\frac{(l+1)(l+2)\cdots(l+r)}{r!}$ なので、$z^r$ の係数は $1/r!$、$\deg L=1$ である。$r=n$ が $\mathbb{P}^n$ である。
2：$S$ は整域なので $f$ 倍は単射で、次数付き加群の完全列 $0\to S(-d)\xrightarrow{f}S\to S/(f)\to0$ がある。$l\ge d$ で
$$ \varphi_{S/(f)}(l)=\binom{l+n}{n}-\binom{l-d+n}{n}=\frac{1}{n!}\Bigl(\prod_{i=1}^n(l+i)-\prod_{i=1}^n(l-d+i)\Bigr) $$
であり、二つの積の $l^n$ の係数はともに $1$、$l^{n-1}$ の係数の差は $\sum_i i-\sum_i(i-d)=nd$ である。よって $P_{S/(f)}$ の $z^{n-1}$ の係数は $nd/n!=d/(n-1)!$ で、$\deg S/(f)=d$ である。$f$ が平方因子をもたなければ、$f=f_1\cdots f_s$（$f_i$ は相異なる既約多項式）であり、$g$ が $Z(f)$ 上で消えれば射影版の零点定理で $g^N\in(f)$ となり、各 $f_i$ が $g$ を割るので $f\mid g$ である。よって $I(H)=(f)$ である。
3：$v_d$ は $\mathbb{P}^n$ の点を $d$ 次単項式の値の組に送る。Veronese埋め込み の命題「核は斉次素イデアル」と定理「Veronese 埋め込みの像」により、$\theta\colon k[y_I]\to S$（$y_I\mapsto$ 単項式 $x^I$）の核 $\mathfrak{a}$ は斉次素イデアルで、像 $v_d(\mathbb{P}^n)$ は $Z(\mathfrak{a})$ である。$\mathfrak{a}$ は素イデアルなので零点定理により $I(v_d(\mathbb{P}^n))=\mathfrak{a}$ であり、斉次座標環の $m$ 次の部分は $\theta$ により $S_{dm}$ と同型である。よって $\varphi(m)=\binom{dm+n}{n}=\frac{d^nm^n}{n!}+(\text{低次})$ で、$\deg v_d(\mathbb{P}^n)=d^n$ である。$\square$

1 は節「定義」の最後の段落で示した。
2：$I_j:=I(Y_j)$ とおくと、$I(Y)=I_1\cap I_2$ である。次数付き $S$ 加群の完全列
$$ 0\longrightarrow S/(I_1\cap I_2)\longrightarrow S/I_1\oplus S/I_2\longrightarrow S/(I_1+I_2)\longrightarrow0 $$
（左の写像は対角、右の写像は差）があり、各次数で $\dim_k$ は加法的なので $P_Y=P_{Y_1}+P_{Y_2}-P_{S/(I_1+I_2)}$ である。$Z(I_1+I_2)=Y_1\cap Y_2$ の次元は $r$ 未満なので、Hilbert 多項式の次数と零点集合の次元の一致（Har77 I, Theorem 7.5）により、$P_{S/(I_1+I_2)}$ の次数は $r$ 未満である。よって $P_Y$ の $z^r$ の係数は $P_{Y_1}$ と $P_{Y_2}$ の $z^r$ の係数の和であり、$r!$ を掛けて $\deg Y=\deg Y_1+\deg Y_2$ を得る。
3：$s$ についての帰納法による。$s=1$ は自明である。$s\ge2$ なら $Y'=Y_2\cup\cdots\cup Y_s$ は純 $r$ 次元で、$Y_1\cap Y'=\bigcup_{j\ge2}(Y_1\cap Y_j)$ である。$j\ne1$ なら $Y_1\cap Y_j$ は既約な $Y_1$ の真の閉部分集合なので次元は $r$ 未満であり（$Y_j$ は $Y_1$ を含まない）、有限個の和の次元も $r$ 未満である。2 と帰納法の仮定から $\deg Y=\deg Y_1+\deg Y'=\sum_j\deg Y_j$ である。各 $\deg Y_j\ge1$ なので $\deg Y\ge s$ である。$\square$

$P_M$ の $z^{r-1}$ の係数を 2 通りに計算する。
左辺の側。$Y$ は既約なので $I(Y)$ は素イデアルで、$S(Y)=S/I(Y)$ は整域である。$Y\not\subset H$ なので $f\notin I(Y)$ であり、$S(Y)$ 上の $f$ 倍は単射である。よって次数付き加群の完全列
$$ 0\longrightarrow S(Y)(-d)\xrightarrow{\ f\ }S(Y)\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
があり、各次数で $\dim_k$ は加法的なので $P_M(z)=P_Y(z)-P_Y(z-d)$ である。$P_Y(z)=\frac{\deg Y}{r!}z^r+cz^{r-1}+(\text{低次})$ と書くと、$z^r$ の項と $cz^{r-1}$ の項は差で消え、$(z-d)^r$ の $z^{r-1}$ の係数は $-rd$ なので
$$ P_M(z)=\frac{\deg Y}{r!}\,rd\,z^{r-1}+(\text{低次})=\frac{d\deg Y}{(r-1)!}z^{r-1}+(\text{低次}) $$
である。
右辺の側。$M$ は次数付き部分加群の列 $0=M^0\subset M^1\subset\cdots\subset M^q=M$ で、各商が $M^i/M^{i-1}\cong(S/\mathfrak{q}_i)(l_i)$（$\mathfrak{q}_i$ は斉次素イデアル、$l_i\in\mathbb{Z}$）となるものをもち、$M$ の各極小素イデアル $\mathfrak{p}$ が $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_q$ の中に現れる回数は $\ell_{S_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})$ に等しい（Har77 I, Proposition 7.4、p. 50。この記事では証明しない）。$\mathfrak{q}_i=\operatorname{Ann}(M^i/M^{i-1})\supset\operatorname{Ann}M=I(Y)+(f)$ なので $Z(\mathfrak{q}_i)\subset Y\cap H$ であり、$Z(\mathfrak{q}_i)$ の次元は $r-1$ 以下である（$\mathfrak{q}_i=S_+$ なら $Z(\mathfrak{q}_i)=\emptyset$）。各次数で $\dim_k$ は加法的なので
$$ P_M(z)=\sum_{i=1}^qP_{S/\mathfrak{q}_i}(z+l_i) $$
であり、Hilbert 多項式の次数と零点集合の次元の一致により $P_{S/\mathfrak{q}_i}$ の次数は $\dim Z(\mathfrak{q}_i)\le r-1$ である。したがって $z^{r-1}$ の係数に寄与するのは $\dim Z(\mathfrak{q}_i)=r-1$ となる $i$ だけである。そのような $i$ について、$Z(\mathfrak{q}_i)$ は $Y\cap H$ の $r-1$ 次元の既約閉集合なので、それを含む既約成分 $Z_j$（次元 $r-1$）に一致する。$\mathfrak{q}_i$ は $S_+$ を含まない斉次素イデアルなので、射影版の零点定理により $\mathfrak{q}_i=I(Z(\mathfrak{q}_i))=\mathfrak{p}_j$ であり、$P_{S/\mathfrak{q}_i}=P_{Z_j}$ である。平行移動 $z\mapsto z+l_i$ は最高次の係数を変えないので、その寄与は $\deg Z_j/(r-1)!$ である。$\mathfrak{p}_j$ が $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_q$ に現れる回数は $\ell(M_{\mathfrak{p}_j})=i(Y,H;Z_j)$ なので
$$ \frac{d\deg Y}{(r-1)!}=\sum_{j=1}^si(Y,H;Z_j)\,\frac{\deg Z_j}{(r-1)!} $$
である。$(r-1)!$ を掛けて主張を得る。$\square$

thm-deg-pv-hypersurface の左辺の各項は $i(Y,H;Z_j)\ge1$、$\deg Z_j\ge1$（thm-deg-pv-additive の 1）により $1$ 以上なので、項の個数 $s$ は右辺 $d\deg Y$ 以下である。曲線（$r=1$）なら $Z_j$ は点である。$\square$

線型部分空間の次数が $1$ であることは prop-deg-pv-basic の 1 で示した。逆を $r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら、0 次元の既約閉集合 $Y$ は 1 点であり、線型部分空間である。
$r\ge1$ とし、$r-1$ 次元までは主張が正しいとする。まず、$Y$ の相異なる 2 点 $P,Q$ を結ぶ直線 $\overline{PQ}$ は $Y$ に含まれることを示す。$Y\subset\overline{PQ}$ なら、$Y$ は直線の 1 次元以上の既約閉集合なので直線全体であり、主張は成り立つ。そうでなければ $R\in Y\setminus\overline{PQ}$ がとれる。$P,Q,R$ の斉次座標を $p,q,\rho\in k^{n+1}$ とすると、$\rho$ は $p,q$ の張る平面に入らないので、$p,q$ で消えて $\rho$ で消えない一次形式 $h$ がある。$H:=Z(h)$ は $P,Q$ を通り $R$ を通らない超平面で、$Y\not\subset H$ である。thm-deg-pv-hypersurface を $d=1$ で使うと
$$ \sum_ji(Y,H;Z_j)\deg Z_j=\deg Y=1 $$
であり、左辺の各項は $1$ 以上なので、$Y\cap H$ はただ一つの既約成分 $Z$ からなり、$\deg Z=1$ である。$Z$ は $r-1$ 次元の射影多様体なので、帰納法の仮定により線型部分空間である。$P,Q\in Y\cap H=Z$ で、線型部分空間は 2 点を結ぶ直線を含むので $\overline{PQ}\subset Z\subset Y$ である（$r=1$ のときは $Z$ が 1 点になって $P\ne Q$ に反するので、この場合は起こらず、前の場合に当たる）。
次に、$Y$ の錐 $C:=\{0\}\cup\{v\in k^{n+1}\setminus\{0\}\mid[v]\in Y\}$ が $k^{n+1}$ の線型部分空間であることを示す。$C$ はスカラー倍で閉じている。$v,w\in C$ とする。$v,w$ が一次従属なら $v+w$ は $v$ か $w$ のスカラー倍なので $C$ に入る。一次独立なら $[v]\ne[w]$ であり、直線 $\overline{[v][w]}=\{[av+bw]\mid(a,b)\ne(0,0)\}$ は上で示したことから $Y$ に含まれるので、$v+w\in C$ である。よって $C$ は線型部分空間で、$Y$ はその射影化、すなわち線型部分空間である。$\square$

thm-deg-pv-additive の 3 から、$\deg Y=1$ なら既約成分は 1 個で、$Y$ は射影多様体である。あとは thm-deg-pv-degree-one による。$\square$