射影束のPicard群

1：射影束 の命題「標準可逆層の順像と対称冪」を $S=\operatorname{Spec}k$、$\mathcal{E}=k^{m+1}$ に当てると、$n\ge0$ では $H^0(\mathbb{P}^m_k,\mathcal{O}(n))$ は $k[x_0,\dots,x_m]$ の $n$ 次斉次部分で、その次元は $n$ 次単項式の個数 $\binom{n+m}{m}$ であり、$n<0$ では $0$ である。
2：$\mathbb{P}^m_k$ は Noether・整・分離的で、$D_+(x_i)\cong\mathbb{A}^m_k$ で覆われる。多項式環は一意分解整域で（同記事の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」）、その局所化も一意分解整域なので、Picard群 の定理「因子類群との比較（引用）」の 3 により、有理切断の因子の類をとる写像は同型 $\operatorname{Pic}\mathbb{P}^m_k\cong\operatorname{Cl}\mathbb{P}^m_k$ である。射影空間の因子類群 により、$\operatorname{Cl}\mathbb{P}^m_k$ は超平面 $H=V_+(x_0)$ の類で生成される無限巡回群である。$\mathcal{O}(1)$ の大域切断 $x_0$ の因子は $H$ なので（$D_+(x_i)$ の上で $\mathcal{O}(1)$ を $x_i$ で自明化すると $x_0$ は関数 $x_0/x_i$ になる）、$[\mathcal{O}(n)]$ は $n[H]$ に対応し、$n\mapsto[\mathcal{O}(n)]$ は同型である。$\square$

主張は $s$ の近傍の問題なので、$\mathcal{E}$ が自由になるアフィン開近傍 $V$ に $S$ を取り替えてよい。このとき $P\cong\mathbb{P}^{r-1}_V$ で、$\pi$ は Noether スキームの射影射である。$\pi$ は平坦で（射影束 の命題「局所自明性と構造射の性質」の 2）、$\mathcal{N}$ は局所自由なので、$\mathcal{N}$ は $S$ 上平坦である。
$r-1\ge1$ なので $H^1(P_s,\mathcal{N}_s)\cong H^1(\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)},\mathcal{O})=0$ である（層コホモロジー の定理「射影空間のコホモロジー」）。よって $\varphi^1(s)$ は全射で、rem-ppb-base-change の (a) により $R^1\pi_*\mathcal{N}\otimes\kappa(s)=0$ である。$R^1\pi_*\mathcal{N}$ は連接なので、中山の補題 と台が閉であることから、$s$ のある近傍で $R^1\pi_*\mathcal{N}=0$、とくに局所自由である。(b) を $i=1$ に当てると $\varphi^0(s)$ は全射、(a) により同型である。$\varphi^{-1}(s)$ は（値域が $0$ なので）全射だから、(b) を $i=0$ に当てると $\pi_*\mathcal{N}$ は $s$ の近傍で局所自由で、その階数は
$$ \dim_{\kappa(s)}\pi_*\mathcal{N}\otimes\kappa(s)=\dim_{\kappa(s)}H^0(P_s,\mathcal{N}_s)=\dim_{\kappa(s)}H^0(\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)},\mathcal{O})=1 $$
である（lem-ppb-field の 1）。
そこで $s$ の開近傍 $U$ を $\pi_*\mathcal{N}|_U\cong\mathcal{O}_U$ となるようにとり、生成元を $\sigma\in\Gamma(\pi^{-1}(U),\mathcal{N})$ とする。$\varphi^0(s)$ は同型なので、ファイバーへの制限 $\sigma_s$ は $H^0(P_s,\mathcal{N}_s)\cong H^0(P_s,\mathcal{O})=\kappa(s)$ の $0$ でない元、すなわち $0$ でない定数で、$P_s$ のどの点でも $\mathcal{N}_s$ を生成する。$\sigma\colon\mathcal{O}\to\mathcal{N}$ の余核の台を $Z\subset\pi^{-1}(U)$ とすると、$Z$ は閉集合で、中山の補題により $Z\cap P_s=\emptyset$ である。$\pi$ は固有なので $\pi(Z)$ は $s$ を含まない閉集合である。$U$ を $U\setminus\pi(Z)$ に縮めると、$\sigma\colon\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}\to\mathcal{N}|_{\pi^{-1}(U)}$ は可逆層の全射なので同型であり（局所的には $1$ の像が単元になる）、$\varepsilon$ は $\pi^*\pi_*\mathcal{N}|_U=\pi^*(\mathcal{O}_U\sigma)$ の上でこの $\sigma$ に一致するので同型である。$\square$

第 1 段：準同型で単射であること。 $\pi^*$ とテンソル積は同型類の積を保つので $\Phi$ は準同型である。$\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(n)\cong\mathcal{O}_P$ とする。点 $s$ の上のファイバーに引き戻すと $\pi^*\mathcal{L}$ は自明になる（$\operatorname{Spec}\kappa(s)$ 上の可逆層の引き戻し）ので、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)}}(n)\cong\mathcal{O}$ である。lem-ppb-field の 2 により $n=0$ である。次に、射影公式(加群層) の定理「射影公式」と $\pi_*\mathcal{O}_P=\mathcal{O}_S$（射影束 の命題「標準可逆層の順像と対称冪」）により
$$ \mathcal{L}\cong\mathcal{L}\otimes\pi_*\mathcal{O}_P\cong\pi_*\pi^*\mathcal{L}\cong\pi_*\mathcal{O}_P=\mathcal{O}_S $$
である。よって $\Phi$ の核は自明である。
第 2 段：ファイバー次数は局所定数。 $\mathcal{M}$ を $P$ 上の可逆層とする。各 $s\in S$ について、lem-ppb-field の 2 により $\mathcal{M}_s\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)}}(n(s))$ となる整数 $n(s)$ がただ 1 つある。$s$ を固定し、$\mathcal{N}:=\mathcal{M}(-n(s))$ とおくと $\mathcal{N}_s\cong\mathcal{O}_{P_s}$ である。lem-ppb-trivial-fiber により $s$ の開近傍 $U$ と $U$ 上の可逆層 $\mathcal{L}_U:=\pi_*\mathcal{N}|_U$ があって $\mathcal{N}|_{\pi^{-1}(U)}\cong\pi^*\mathcal{L}_U$ である。$s'\in U$ の上のファイバーに引き戻すと $\mathcal{N}_{s'}$ は自明だから、$\mathcal{M}_{s'}\cong\mathcal{O}(n(s))$ であり、一意性により $n(s')=n(s)$ である。よって $s\mapsto n(s)$ は局所定数で、$S$ は連結だから定数 $n$ である。
第 3 段：全射であること。 第 2 段の $n$ について $\mathcal{N}:=\mathcal{M}(-n)$ とおくと、すべての $s\in S$ で $\mathcal{N}_s\cong\mathcal{O}_{P_s}$ である。lem-ppb-trivial-fiber を各点に当てると、$\mathcal{L}:=\pi_*\mathcal{N}$ は $S$ 上の可逆層で、$\varepsilon\colon\pi^*\mathcal{L}\to\mathcal{N}$ は $P$ 全体で同型である。すなわち $\mathcal{M}\cong\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(n)=\Phi(\mathcal{L},n)$ であり、$\Phi$ は全射である。
以上で 1 が示された。2 のファイバー次数の存在と一意性は第 2 段、$\pi_*(\mathcal{M}(-n))$ が可逆であることと逆写像の式は第 3 段による。$\square$

$\mathcal{L}$ を可逆層とすると、$\mathbb{P}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong\mathbb{P}(\mathcal{E})$ である（射影束 の命題「可逆層によるひねりと射影束」）。逆に $\psi\colon P=\mathbb{P}(\mathcal{E})\to P'=\mathbb{P}(\mathcal{E}')$ を $S$ 同型とし、$\pi'\colon P'\to S$ を構造射とする。$S$ は Noether なので、有限個の連結成分 $S_1,\dots,S_c$（それぞれ開かつ閉）の非交和である。各 $S_k$ の上で thm-ppb-main を当てると、$\pi^{-1}(S_k)$ の上で
$$ \psi^*\mathcal{O}_{P'}(1)\cong\pi^*\mathcal{L}_k\otimes\mathcal{O}_P(m_k) $$
となる $S_k$ 上の可逆層 $\mathcal{L}_k$ と整数 $m_k$ がある。$s\in S_k$ の上のファイバーに引き戻すと、$\psi$ は $\kappa(s)$ スキームの同型 $P_s\to P'_s$ を誘導し、$\mathcal{O}_{P_s}(m_k)$ は $\mathcal{O}_{P'_s}(1)$ の引き戻しになる。同型による引き戻しは大域切断の次元を変えないので、$\dim_{\kappa(s)}H^0(P_s,\mathcal{O}_{P_s}(m_k))=\dim_{\kappa(s)}H^0(P'_s,\mathcal{O}_{P'_s}(1))=r$ である。lem-ppb-field の 1 により左辺は、$m_k<0$ なら $0$、$m_k=0$ なら $1$、$m_k\ge2$ なら $\binom{m_k+r-1}{r-1}\ge\binom{r+1}{2}>r$ なので、$r\ge2$ のもとで $m_k=1$ である。$\mathcal{L}_k$ を並べた $S$ 上の可逆層を $\mathcal{L}$ とすると $\psi^*\mathcal{O}_{P'}(1)\cong\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}_P(1)$ であり、射影束 の命題「標準可逆層の順像と対称冪」、$\pi=\pi'\circ\psi$、射影公式により
$$ \mathcal{E}'\cong\pi'_*\mathcal{O}_{P'}(1)\cong\pi_*\psi^*\mathcal{O}_{P'}(1)\cong\pi_*(\pi^*\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}_P(1))\cong\mathcal{L}\otimes\pi_*\mathcal{O}_P(1)\cong\mathcal{E}\otimes\mathcal{L} $$
を得る。2 つ目の同型は $\psi$ が同型であることによる。$\square$