Artin加群
概要
Artin加群（Artinian module）とは、部分加群の減少列 $M_1\supset M_2\supset\cdots$ がつねに有限回で止まる加群のことで、有限次元ベクトル空間、有限アーベル群、Prüfer 群 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ が例であり、$\mathbb{Z}$ は Noether 加群だが Artin 加群でない。短完全列の中央の加群が Artin であることは両端が Artin であることと同値で、Artin 加群の単射な自己準同型は自己同型になり、Noether 性も合わせると自己準同型の Fitting 分解が得られる。可換環の上では Artin 加群は二次加群の有限和に分解し、準素分解と対をなす。射影系の各項が Artin 加群なら Mittag-Leffler 条件が成り立つ。
部分加群をどこまでも小さくしていくことができない加群を Artin 加群 という。有限次元のベクトル空間では、真に小さい部分空間へ移るたびに次元が下がるので、部分空間の減少列は有限回で止まる。この「減少列が止まる」性質だけを取り出したものが Artin 性であり、増加列が止まる性質である Noether加群 の Noether 性と対をなす。
二つの性質は互いに独立である。整数全体 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ 加群として Noether 加群だが、$2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$ が止まらないので Artin 加群でない。逆に Prüfer群 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は Artin 加群だが Noether 加群でない。この記事では、Artin 加群を定義し、短完全列で Artin 性が保たれること、単射な自己準同型が自動的に全射になること、両方の鎖条件をもつ加群の自己準同型の Fitting 分解、可換環の上の Artin 加群が二次表現（secondary representation）をもつことを証明する。
定義
この記事では、環は乗法の単位元 $1$ をもつものとし（可換とは限らない）、加群は左加群とする。可換性を使うのは二次表現の節だけである。
$R$ を環、$M$ を $R$ 加群とする。$M$ の部分加群の減少列
$$
M_1\supset M_2\supset M_3\supset\cdots
$$
がつねに止まる、すなわちある $k$ があって $M_k=M_{k+1}=M_{k+2}=\cdots$ となるとき、$M$ を Artin 加群（Artinian module）という。この条件を部分加群の 降鎖条件（descending chain condition）という。
零加群は Artin 加群である。$R$ 自身を左 $R$ 加群とみたものの部分加群は左イデアルなので、$R$ が左 Artin 環であることは、$R$ が左 $R$ 加群として Artin 加群であることと同じである（可換環の場合は Artin環）。
降鎖条件は、次の「極小条件」と言い換えられる。証明ではこちらの形をよく使う。
$R$ 加群 $M$ について、次の 2 条件は同値である。
- $M$ は Artin 加群である。
- $M$ の部分加群からなる空でない集合 $\Sigma$ は、包含に関する極小元をもつ。
2 ⇒ 1：減少列 $M_1\supset M_2\supset\cdots$ に対し、$\{M_k\mid k\ge1\}$ の極小元 $M_k$ をとると、$j\ge k$ で $M_j\subset M_k$ と極小性から $M_j=M_k$ である。
1 ⇒ 2：$\Sigma$ が極小元をもたないとする。$N_1\in\Sigma$ をとり、$N_1$ が極小でないことから $N_2\subsetneq N_1$ となる $N_2\in\Sigma$ をとる。これを続けると（各段で 1 つずつ選ぶので従属選択を使う）止まらない減少列 $N_1\supsetneq N_2\supsetneq\cdots$ が得られ、1 に反する。$\square$
直感
Noether 性が「生成元を有限個で済ませられる」ことにつながるのに対し、Artin 性は「どこまで下っても底がある」ことを表す。$\mathbb{Z}$ には $0$ に向かって無限に続く階段 $2^k\mathbb{Z}$ があるが上には天井 $\mathbb{Z}$ があり、$\mathbb{Z}(p^\infty)$ には上に向かって無限に続く階段 $C_1\subsetneq C_2\subsetneq\cdots$ があるが下へは有限段しか降りられない。可換環の上では、二つの鎖条件をともにもつ加群は、上にも下にも有限段しかない加群、すなわち有限長の加群である（加群の長さ の命題「有限長と二つの鎖条件」）。
例と反例
- 体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ は Artin $K$ 加群である。真の包含 $W\subsetneq W'$ では $\dim W<\dim W'$ なので、真に減少する列は高々 $\dim V+1$ 項しかない。
- 有限集合である加群、たとえば有限アーベル群（$\mathbb{Z}$ 加群）は Artin 加群である。真に減少する列の各項は元の個数が真に減るからである。
- 無限次元のベクトル空間 $V$ は Artin 加群でない。$V$ の基底から相異なる $v_1,v_2,\dots$ を選び、$W_k$ を基底の残りの元と $v_k,v_{k+1},\dots$ が張る部分空間とすると、$W_1\supsetneq W_2\supsetneq\cdots$ は止まらない。
素数 $p$ について $\mathbb{Z}(p^\infty)=\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$ とし、$C_n$ を $1/p^n$ の像が生成する位数 $p^n$ の巡回部分群とする。Prüfer群 の命題「部分群の決定」により、$\mathbb{Z}(p^\infty)$ の部分群は $\mathbb{Z}(p^\infty)$ 自身か $C_n$ のどれかである。減少列 $M_1\supset M_2\supset\cdots$ のある項が真の部分群 $C_n$ になれば、以降の項は有限群 $C_n$ の部分群なので列は止まる（ex-artinian-module-finite の 2）。どの項も真でなければ列は定数である。よって $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は Artin $\mathbb{Z}$ 加群である。一方、$C_1\subsetneq C_2\subsetneq\cdots$ が止まらないので Noether 加群でない。この例は「Artin 加群 $\Rightarrow$ Noether 加群」を破る。また $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は有限生成でない（有限生成の部分群は有限個の $C_n$ の和なので $C_n$ のどれかに含まれる）ので、「Artin 加群 $\Rightarrow$ 有限生成」も破る。
次の $\mathbb{Z}$ 加群はいずれも Artin 加群でない。
- $\mathbb{Z}$：$2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$ が止まらない。$\mathbb{Z}$ は Noether 加群であり有限生成なので、この例は「Noether 加群 $\Rightarrow$ Artin 加群」と「有限生成 $\Rightarrow$ Artin 加群」を破る。
- $\mathbb{Q}$：上の列は $\mathbb{Q}$ の中の列でもある。
- $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$：素数を小さい順に $p_1,p_2,\dots$ とし、$N_k$ を「位数が $p_1,\dots,p_k$ のどれとも互いに素」な元の全体とする。$N_k$ は部分群で $N_1\supset N_2\supset\cdots$ であり、$1/p_{k+1}$ の像は $N_k$ に属するが $N_{k+1}$ に属さないので、列は真に減少し続ける。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の $p$ 冪位数の元の全体は $\mathbb{Z}(p^\infty)$ と同型なので（Prüfer群 の例「有理数の剰余群の分解」）、この例は Artin 加群の無限個の直和が Artin とは限らないことも示している。
性質
部分加群・剰余加群・拡大
$R$ 加群の短完全列 $0\to M'\xrightarrow{\iota}M\xrightarrow{\pi}M''\to0$ について、$M$ が Artin 加群であることと、$M'$ と $M''$ がともに Artin 加群であることは同値である。
$\iota$ で $M'$ を $M$ の部分加群とみなす。
$M$ が Artin 加群なら、$M'$ の部分加群の減少列は $M$ の部分加群の減少列でもあるので止まる。$M''$ の部分加群の減少列 $L_1\supset L_2\supset\cdots$ に対しては、逆像の列 $\pi^{-1}(L_1)\supset\pi^{-1}(L_2)\supset\cdots$ が止まり、$\pi$ が全射なので $L_k=\pi(\pi^{-1}(L_k))$ も止まる。
逆に $M'$ と $M''$ が Artin 加群であるとし、$M$ の部分加群の減少列 $N_1\supset N_2\supset\cdots$ をとる。$N_k\cap M'$ は $M'$ の、$\pi(N_k)$ は $M''$ の部分加群の減少列なので、ある $k_0$ 以降はどちらも一定である。$k\ge k_0$ で $N_k=N_{k+1}$ を示す。$x\in N_k$ をとる。$\pi(x)\in\pi(N_k)=\pi(N_{k+1})$ なので $\pi(x)=\pi(y)$ となる $y\in N_{k+1}$ がある。$x-y\in\ker\pi=M'$ であり、$y\in N_{k+1}\subset N_k$ なので $x-y\in N_k\cap M'=N_{k+1}\cap M'$ である。よって $x=(x-y)+y\in N_{k+1}$ となり、$N_k\subset N_{k+1}$ が成り立つ。逆の包含は仮定である。$\square$
$R$ を環とする。
- Artin 加群の有限個の直和は Artin 加群である。
- 加群 $M$ の Artin 部分加群 $N_1,\dots,N_r$ の和 $N_1+\cdots+N_r$ は Artin 加群である。
- $R$ が左 Artin 環なら、有限生成な左 $R$ 加群は Artin 加群である。
1：$0\to M_1\to M_1\oplus M_2\to M_2\to0$ に thm-artinian-module-exact を当て、個数についての帰納法を使う。2：和は直和 $N_1\oplus\cdots\oplus N_r$ の全射 $(x_i)\mapsto\sum x_i$ による像であり、1 と thm-artinian-module-exact（剰余加群は Artin）による。3：$n$ 個の元で生成される加群は $R^n$ の剰余加群であり、$R^n$ は 1 により Artin 加群である。$\square$
3 の仮定「$R$ が左 Artin 環」は外せない。$\mathbb{Z}$ は有限生成な $\mathbb{Z}$ 加群だが Artin 加群でない（ex-artinian-module-integers）。可換な Artin 環は Noether 環でもあり、その上の有限生成加群は有限長である（Artin環 の命題「有限生成と有限長」）。
自己準同型
$M$ を Artin $R$ 加群、$f\colon M\to M$ を $R$ 準同型とする。
- ある $n\ge1$ があって、$m\ge n$ なら $f^m(M)=f^n(M)$ であり、$M=\ker f^n+f^n(M)$ が成り立つ。
- $f$ が単射なら、$f$ は全射であり、したがって自己同型である。
1：像の列 $M\supset f(M)\supset f^2(M)\supset\cdots$ は部分加群の減少列なので、ある $n\ge1$ 以降は一定である。とくに $f^n(M)=f^{2n}(M)$ である。$x\in M$ をとると、$f^n(x)\in f^n(M)=f^{2n}(M)$ なので $f^n(x)=f^{2n}(y)$ となる $y\in M$ がある。$f^n(x-f^n(y))=0$ なので
$$
x=\bigl(x-f^n(y)\bigr)+f^n(y)\in\ker f^n+f^n(M)
$$
である。
2：$f$ が単射なら $f^n$ も単射で $\ker f^n=0$ である。1 より $M=f^n(M)\subset f(M)$ となり、$f$ は全射である。$\square$
Noether 加群では向きが逆になり、全射な自己準同型が単射になる。核の増加列 $\ker f\subset\ker f^2\subset\cdots$ が $\ker f^n=\ker f^{n+1}$ で止まるとし、$f$ が全射で $x\in\ker f$ なら、$x=f^n(y)$ と書けて $f^{n+1}(y)=0$、よって $y\in\ker f^{n+1}=\ker f^n$ となり $x=0$ である。Artin 加群で全射から単射は出ない。$\mathbb{Z}(p^\infty)$ の $p$ 倍写像は全射だが、核 $C_1$ が $0$ でない。
1 の和は直和とは限らない（同じ例で $\ker p^n=C_n$、$p^n\mathbb{Z}(p^\infty)=\mathbb{Z}(p^\infty)$）。Noether 性も仮定すると直和になる。
$M$ を Artin 加群かつ Noether 加群である $R$ 加群、$f\colon M\to M$ を $R$ 準同型とする。十分大きい $n$ について
$$
M=\ker f^n\oplus f^n(M)
$$
であり、$f$ は $f^n(M)$ の上で自己同型、$\ker f^n$ の上で冪零である。とくに $M$ が $0$ でない 2 つの部分加群の直和に分解しないなら、$M$ のすべての自己準同型は冪零であるか自己同型である。
核の増加列は Noether 性から、像の減少列は Artin 性から止まるので、$n$ を十分大きくとれば $\ker f^n=\ker f^{2n}$ かつ thm-artinian-module-endomorphism の 1 が成り立つ。$x\in\ker f^n\cap f^n(M)$ とし、$x=f^n(y)$ と書くと $f^{2n}(y)=f^n(x)=0$ なので $y\in\ker f^{2n}=\ker f^n$、よって $x=0$ である。和は thm-artinian-module-endomorphism の 1 による。
$f(f^n(M))=f^{n+1}(M)=f^n(M)$ なので $f$ は $f^n(M)$ の上で全射であり、$\ker f\cap f^n(M)\subset\ker f^n\cap f^n(M)=0$ なので単射である。$\ker f^n$ の上で $f^n=0$ である。最後の主張は、直和の一方が $0$ であることから従う：$\ker f^n=0$ なら $f$ は単射なので thm-artinian-module-endomorphism の 2 により自己同型、$f^n(M)=0$ なら $f$ は冪零である。$\square$
可換環の上の二次表現
Noether 環のイデアルが準素イデアルの有限個の共通部分に分解する（準素分解）のと対をなして、可換環の上の Artin 加群は「二次加群」の有限和に分解する。この節では $R$ を可換環とする。
$R$ 加群 $M$ が 二次加群（secondary module）であるとは、$M\ne0$ であり、各 $a\in R$ について $a$ 倍写像 $M\to M$、$x\mapsto ax$ が全射であるか冪零であることをいう。$M$ の二次部分加群の有限個の和 $M=N_1+\cdots+N_r$ を $M$ の 二次表現（secondary representation）という。また $M$ が 和既約 であるとは、$M\ne0$ であり、$M$ の真の部分加群 2 つの和として $M=U+V$ と書けないことをいう。
$M$ が二次加群なら $\mathfrak{p}:=\sqrt{\operatorname{ann}M}$（$a$ 倍写像が冪零となる $a$ の全体）は素イデアルである。$M\ne0$ なので $1\notin\mathfrak{p}$ であり、$ab\in\mathfrak{p}$、$a\notin\mathfrak{p}$ なら $a$ 倍は全射なので $a^k$ 倍も全射で、$(ab)^kM=0$ となる $k$ について $b^kM=b^k(a^kM)=(ab)^kM=0$ となり $b\in\mathfrak{p}$ である。このとき $M$ を $\mathfrak{p}$ 二次加群 という。
- 素数 $p$ と $n\ge1$ について、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は $(p)$ 二次加群である。$a\in\mathbb{Z}$ が $p$ で割り切れれば $a^n$ 倍は $0$ であり、割り切れなければ $a$ は $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ で可逆なので $a$ 倍は全射である。
- $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は $(0)$ 二次加群である。$a\ne0$ を $a=p^km$（$p\nmid m$）と書く。$p$ 倍写像は全射である（$1/p^j$ の像は $1/p^{j+1}$ の像の $p$ 倍）。$C_j$ の上で $m$ 倍は可逆なので、$m$ 倍も全射である。よって $a$ 倍は全射であり、$\operatorname{ann}\mathbb{Z}(p^\infty)=0$ である。
- $\mathbb{Z}$ の $0$ でない部分加群 $c\mathbb{Z}$ は二次加群でない。$2$ 倍写像は $c\mathbb{Z}\to c\mathbb{Z}$ で全射でなく（像 $2c\mathbb{Z}$）、冪零でもない。したがって $\mathbb{Z}$ は二次表現をもたない。
$R$ を可換環、$M$ を $0$ でない Artin $R$ 加群とする。
- $M$ が和既約なら、$M$ は二次加群である。
- $M$ は有限個の和既約な部分加群の和である。
- $M$ は二次表現 $M=N_1+\cdots+N_r$（$r\ge1$）をもつ。
1：$a\in R$ をとる。$R$ は可換なので $a$ 倍写像は $R$ 準同型であり、thm-artinian-module-endomorphism の 1 から、ある $n$ について $M=\ker a^n+a^nM$ である。和既約性により $\ker a^n=M$ か $a^nM=M$ のどちらかが成り立つ。前者なら $a$ 倍は冪零である。後者なら $M=a^nM\subset aM$ なので $a$ 倍は全射である。
2：$M$ の部分加群 $N$ が「有限個（$0$ 個も許し、$0$ 個の和は $0$ とする）の和既約な部分加群の和」と書けないとき、$N$ を悪いと呼ぶ。悪い部分加群があると仮定すると、prop-artinian-module-minimal により悪い部分加群のうち極小なもの $N$ がある。$N\ne0$ であり、$N$ は和既約でない（和既約なら 1 個の和である）。よって $N=U+V$ と、$N$ の真の部分加群 $U,V$ の和に書ける。$U,V$ は $N$ より真に小さいので悪くなく、それぞれ有限個の和既約な部分加群の和である。それらを合わせると $N$ も同じ形に書け、矛盾する。よって $M$ 自身も悪くない。$M\ne0$ なので和の項は 1 個以上である。
3：2 の各項は Artin 加群 $M$ の部分加群なので Artin 加群であり（thm-artinian-module-exact）、和既約なので 1 により二次加群である。$\square$
二次表現から、素イデアルが相異なり余分な項を含まないもの（極小表現）を選ぶと、現れる素イデアルの集合は表現によらない。この集合を $\operatorname{Att}(M)$ と書き、その元を $M$ の attached 素イデアル（attached prime ideal）という（Mat86 Appendix to §6, Theorem 6.9, p. 43。この記事では証明しない）。$\operatorname{Att}(M)$ は 付随素イデアル の集合 $\operatorname{Ass}(M)$ と双対の役割を果たし、局所コホモロジーの研究で使われる（同書 p. 42）。
射影系の Mittag-Leffler 条件
$(A_n,\psi_{mn})$ を $\mathbb{N}$ 上の $R$ 加群の射影系とし、各 $A_n$ が Artin 加群であるとする。各 $n$ について、像 $\psi_{mn}(A_m)$（$m\ge n$）は $A_n$ の部分加群の減少列なので止まる。これは射影系が Mittag-Leffler 条件をみたすことにほかならず（Mittag-Leffler条件 の命題「Mittag-Leffler条件の十分条件」）、同じ記事の定理「Mittag-Leffler条件のもとでの消滅」により $\varprojlim^1A_n=0$ である。有限群や有限次元ベクトル空間の射影系がこの場合にあたり、$\ell$ 進コホモロジーで有限係数から $\ell$ 進係数へ移るときに使われる。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Artin 性（thm-artinian-module-endomorphism の 2） | $\mathbb{Z}$ と $2$ 倍写像 | 単射なのに全射でない |
| Noether 性（cor-artinian-module-fitting） | $\mathbb{Z}(p^\infty)$ と $p$ 倍写像 | $\ker f^n\oplus f^n(M)$ への分解。分解しない加群なのに、冪零でも自己同型でもない |
| Artin 性（thm-artinian-module-secondary の 3） | $\mathbb{Z}$ | 二次表現をもつこと |
| $R$ が左 Artin 環（cor-artinian-module-sums の 3） | $\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}$ | 有限生成なのに Artin でない |
| 直和が有限個（cor-artinian-module-sums の 1） | $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ | Artin 加群 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ の無限直和なのに Artin でない |
各行の加群は、左の列の条件以外の仮定をみたしている。
確かめを開く
1 行目：$2$ 倍写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は単射で、像 $2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ でない。$\mathbb{Z}$ が Artin でないことは ex-artinian-module-integers の 1。
2 行目：$\mathbb{Z}(p^\infty)$ は Artin 加群である（ex-artinian-module-prufer）。$f$ を $p$ 倍写像とすると、$\ker f^n=C_n\ne0$ で $f^n(M)=M$（$p$ 倍は全射、ex-artinian-module-secondary の 2）なので、$\ker f^n\cap f^n(M)=C_n\ne0$ であり、どの $n$ でも直和にならない。$0$ でない部分群はすべて $C_1$ を含む（Prüfer群 の命題「部分群の決定」）ので、$0$ でない 2 つの部分群の和が直和になることはなく、$\mathbb{Z}(p^\infty)$ は分解しない。$f$ は全射だが単射でないので自己同型でなく、$f^n(1/p^{n+1}\text{ の像})=1/p\text{ の像}\ne0$ なので冪零でもない。
3 行目：$\mathbb{Z}$ の $0$ でない部分加群はどれも二次加群でない（ex-artinian-module-secondary の 3）ので、$\mathbb{Z}$ は二次部分加群の和に書けない。
4 行目：$\mathbb{Z}$ は $1$ で生成され、Artin でない（ex-artinian-module-integers の 1）。$\mathbb{Z}$ は Artin 環でない。
5 行目：$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は各素数 $p$ の $\mathbb{Z}(p^\infty)$ の直和に同型であり（Prüfer群 の例「有理数の剰余群の分解」）、各項は Artin 加群だが、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は Artin でない（ex-artinian-module-integers の 3）。
補足
Artin 加群の定義、短完全列での遺伝（Theorem 3.1）、Artin 環上の有限生成加群が Artin であること、$\mathbb{Z}$ と $W/\mathbb{Z}$（$W$ は分母が $p$ の冪の有理数の全体）の例、二つの鎖条件と有限長の同値は Mat86 §3（pp. 14–15）にある。二次加群・二次表現・和既約の定義、和既約な Artin 加群が二次加群であること（Lemma）、Artin 加群が二次表現をもつこと（Theorem 6.11）は同書 Appendix to §6（pp. 42–44）にあり、Theorem 6.11 の証明は同書では「Theorem 6.8 (iii) と同様」とされている。この記事のほかの命題・定理は、引用した記事の定理を除いて記事の中で証明した。
関連項目
参考文献
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