Gottlieb群

開集合 $U\subset X$ について、$\operatorname{ev}_x^{-1}(U)$ は一点から値 $x$ をとる試験写像 $u$ による準開基の元 $W(u,U)$ であり（同記事の定義「$k$ 化した写像空間」）、$k$ 化は位相を細かくするので、$\operatorname{ev}_x$ は連続である。$I$ はコンパクト Hausdorff なので $X\times_kI=X\times I$ であり、同記事の定理「指数法則（$k$ 化した版）」により、連続写像 $F\colon X\times I\to X$ と連続写像 $\hat F\colon I\to\mathrm{Map}(X,X)$、$\hat F(t)=F(\cdot,t)$ は一対一に対応する（同記事の例「ホモトピーと道の空間」）。$F$ が恒等写像の巡回ホモトピーであることは、$\hat F$ が $\mathrm{id}_X$ を基点とするループであることと同じで、$\operatorname{ev}_x\circ\hat F=F(x,\cdot)$ である。$\square$

要点：巡回ホモトピーをつなぐと軌跡がつながる。中心に入ることは、恒等写像どうしのホモトピーが基点の取り替えを恒等写像にすることから、作用が自明なことは、球面の写像を巡回ホモトピーで動かすと基点がループを描くことから出る。

要点：1 は $(s,t)\mapsto F(C(s),t)$ という正方形の境界を読む。2 は、ホモトピー逆写像を挟んで巡回ホモトピーを $Y$ に移し、ずれを基点の取り替えで吸収する。

定義のホモトピー $R,L\colon X\times I\to X$（$R(y,0)=\mu(y,e)$、$R(y,1)=y$、$L(y,0)=\mu(e,y)$、$L(y,1)=y$、$R(e,t)=L(e,t)=e$）をとる。$e$ を基点とするループ $\alpha$ に対し、$t\in[0,\frac13]$ で $L(y,1-3t)$、$[\frac13,\frac23]$ で $\mu(\alpha(3t-1),y)$、$[\frac23,1]$ で $L(y,3t-2)$ とおくと、継ぎ目の値は $\mu(e,y)$ で一致し、両端は $y$ なので、恒等写像の巡回ホモトピー $F$ が得られる。$L(e,\cdot)=e$ なので、$F(e,\cdot)$ は定値道と $\mu(\alpha(\cdot),e)$ と定値道をつないだものであり、$\mu(\alpha(\cdot),e)$ と端点を止めてホモトピックである。$(s,u)\mapsto R(\alpha(s),u)$ は $\mu(\alpha(\cdot),e)$ から $\alpha$ への端点を止めたホモトピーである（$R(e,u)=e$）。よって $[\alpha]=[F(e,\cdot)]\in G_1(X,e)$ である。$\square$

prop-gg-invariance の 1 により、$\Phi_C$ は中心を中心に写す同型でもあるので、$x$ が $0$ 胞体の場合に示せばよい。包含 $G_1\subset Z$ は thm-gg-basic である。$z\in Z(\pi_1(X,x))$ をとる。$S^1\subset\mathbb{C}$ に $0$ 胞体 $1$ と $1$ 胞体 $1$ つの CW 構造を入れると、$X\times S^1$ は連結な CW 複体で（Hat02 Appendix, Theorem A.6, p. 524）、$(x,1)$ は $0$ 胞体である。基本群 の命題「直積の基本群」と定理「円周の基本群」により $\pi_1(X\times S^1,(x,1))\cong\pi_1(X,x)\times\mathbb{Z}$ で、$\mathbb{Z}$ の生成元はループ $t\mapsto(x,e^{2\pi it})$ の類である。$z$ は中心にあるので $\psi(a,k):=az^k$ は準同型であり、Hat02 §1.B Proposition 1B.9（p. 90）により、$\psi$ を誘導する基点付き写像 $Q\colon(X\times S^1,(x,1))\to(X,x)$ がある。$Q_0:=Q|_{X\times\{1\}}$ は $\pi_1(X,x)$ に恒等写像を誘導するので、同じ命題の一意性により $\mathrm{id}_X$ と $x$ を止めてホモトピックである。$X\times\{1\}$ は部分複体なので、CW 対のホモトピー拡張性質（コファイブレーション の例「CW 対と良い基点」）によりこのホモトピーを $X\times S^1$ 全体のホモトピー $Q_s$ に延ばせ、$Q_1|_{X\times\{1\}}=\mathrm{id}_X$ となる。どの $s$ でも $Q_s(x,1)=x$ なので、$(s,t)\mapsto Q_s(x,e^{2\pi it})$ は基点を止めたループのホモトピーであり、$[Q_1(x,e^{2\pi i\,\cdot})]=[Q(x,e^{2\pi i\,\cdot})]=\psi(1,1)=z$ である（$\psi(1,1)$ の第 1 成分は単位元、第 2 成分は $\mathbb{Z}$ の $1$）。$F(y,t):=Q_1(y,e^{2\pi it})$ は恒等写像の巡回ホモトピーで、$x$ での軌跡の類は $z$ である。よって $z\in G_1(X,x)$ である。$\square$

1：$n=2m-1$ のとき $S^n\subset\mathbb{C}^m$ とし、$F(p(v),t):=p(e^{\pi it}v)$ とおく。$p(-v)=p(v)$ と $e^{\pi it}(-v)=-(e^{\pi it}v)$ から矛盾なく定まり、$I$ は局所コンパクトなので $p\times\mathrm{id}_I$ は商写像で（Hat02 Appendix, Proposition A.17, p. 532）、$F$ は連続である。$F(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$F(p(v),1)=p(-v)=p(v)$ なので巡回ホモトピーであり、$x$ での軌跡は $e_0$ から $-e_0$ への道 $t\mapsto e^{\pi it}e_0$ の像なので、生成元を表す。
2：$n$ は偶数とする。$p$ は被覆写像なので $p_*\colon\pi_n(S^n,e_0)\to\pi_n(\mathbb{RP}^n,x)$ は同型で（ホモトピー群 の命題「被覆空間と$n$-単純性」）、$\pi_n(S^n,e_0)\cong\mathbb{Z}$ は写像度で与えられる（同記事の例「球面自身: $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$」）。写像度 $1$ の $a\colon(I^n,\partial I^n)\to(S^n,e_0)$ をとり、prf-gg-basic の記号で、$r(s)\le\frac12$ では $b(s):=A(a(c+2(s-c)))$（$A$ は対蹠写像）、$r(s)\ge\frac12$ では $b(s):=\lambda(2-2r(s))$ とおく。継ぎ目では $A(e_0)=-e_0=\lambda(1)$、外側では $\lambda(0)=e_0$ なので $b$ は $\pi_n(S^n,e_0)$ の元を代表し、$p\circ A=p$ より $p\circ b=T_\ell(p\circ a)$ である。殻を $\lambda(1-u(2r(s)-1))$（$u\in I$）として縮めると、$b$ は $I^n/\partial I^n\cong S^n$ からの写像として $A\circ a$ とホモトピックになる。写像度はホモトピー不変で合成について乗法的であり、$A$ の写像度は $(-1)^{n+1}=-1$ なので（写像度 の命題「写像度の基本性質」「直交変換の写像度」）、$\deg b=-1$ である。よって $\beta_\ell(p_*[a])=-p_*[a]\ne p_*[a]$ であり、thm-gg-basic の 2 から $[\ell]\notin G_1(\mathbb{RP}^n,x)$ である。$\square$