直交行列

1・3・5・6 の同値は 回転・鏡映と行列の群 の定理「長さを保つ 1 次変換」である（3 は「列が長さ $1$ で互いに直交する」と同じで、$n$ 個の正規直交系は基底である）。
1 ⇒ 2：$Q^{\top}$ は $Q$ の左逆行列なので、正方行列では右逆行列でもあり（正則行列 の記事の定理「片側の逆行列で十分であること」）、$QQ^{\top}=I_n$ である。同じ理由で 2 ⇒ 1 も成り立つ。
2 ⇔ 4：$QQ^{\top}$ の $(i,j)$ 成分は $Q$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行の内積なので、1 ⇔ 3 と同じ理由による。
2 ⇔ 8：$(Q^{\top})^{\top}Q^{\top}=QQ^{\top}$ だからである。
3 ⇒ 7：$f_k=e_k$ ととれば、$Qe_k$ は $Q$ の第 $k$ 列である。
7 ⇒ 1：$f_1,\dots,f_n$ を列とする行列を $F$ とする。$F$ の列は正規直交基底なので、3 ⇒ 1 と 1 ⇒ 2 により $F^{\top}F=FF^{\top}=I_n$ である。$QF$ の列 $Qf_1,\dots,Qf_n$ も正規直交基底なので $(QF)^{\top}(QF)=F^{\top}(Q^{\top}Q)F=I_n$ である。左から $F$、右から $F^{\top}$ を掛けると $Q^{\top}Q=FF^{\top}=I_n$ を得る。$\square$

1：$\det Q^{\top}=\det Q$ と積の行列式の公式（行列式 の記事の命題「転置と行列式」、定理「積の行列式」）により $(\det Q)^2=\det(Q^{\top}Q)=1$ である。
2：$z\in\mathbb{C}^n$、$z\ne0$、$Qz=\lambda z$ とし、$\|z\|^2:=\bar z^{\top}z=\sum_i|z_i|^2>0$ とおく。$Q$ は実行列なので $\overline{Qz}=Q\bar z$ であり
$$ |\lambda|^2\|z\|^2=\overline{Qz}^{\top}Qz=\bar z^{\top}Q^{\top}Qz=\|z\|^2 $$
となるから $|\lambda|=1$ である。固有多項式 $\det(xI-Q)$ は実数係数なので、根 $\lambda$ の複素共役 $\bar\lambda$ も同じ重複度の根であり、$|\lambda|=1$ から $\bar\lambda=\lambda^{-1}$ である。
3・4：$Q^{\top}=Q^{-1}$ を使うと
$$ \det(Q-I)=\det\bigl(Q(I-Q^{\top})\bigr)=\det Q\cdot\det\bigl((I-Q)^{\top}\bigr)=\det Q\cdot(-1)^n\det(Q-I), $$
$$ \det(Q+I)=\det\bigl(Q(I+Q^{\top})\bigr)=\det Q\cdot\det(I+Q) $$
である。$\det Q=-1$ なら第 2 式から $\det(Q+I)=-\det(Q+I)$、すなわち $\det(Q+I)=0$ であり、$-1$ は固有値である。$\det Q=1$ で $n$ が奇数なら第 1 式から $\det(Q-I)=-\det(Q-I)$、すなわち $\det(Q-I)=0$ であり、$1$ は固有値である。$\square$

$Q$ は正則なので $Q|_W\colon W\to W$ は単射であり、$W$ は有限次元なので全射である。よって $Q(W)=W$ である。$v\in W^{\perp}$、$w\in W$ とする。$w=Qw'$ となる $w'\in W$ があるので、thm-orth-equivalent の 5 により $Qv\cdot w=Qv\cdot Qw'=v\cdot w'=0$ である。よって $Qv\in W^{\perp}$ である。$\square$

代数学の基本定理により、$A$ は複素数の固有値 $\lambda=a+ib$（$a,b\in\mathbb{R}$）をもち、仮定により $b\ne0$ である。固有ベクトル $z\in\mathbb{C}^n$ を $z=x+iy$（$x,y\in\mathbb{R}^n$）と書く。$Az=\lambda z$ の実部と虚部を比べると
$$ Ax=ax-by,\qquad Ay=bx+ay $$
である。よって $W:=\operatorname{span}\{x,y\}$ は $A(W)\subset W$ を満たし、$z\ne0$ なので $W\ne\{0\}$ である。$\dim W=1$ と仮定すると、$W=\mathbb{R}w$ と書け、$A$ は $W$ の上で実数 $\mu$ 倍として働く。$x=\alpha w$、$y=\beta w$ と書けば $z=(\alpha+i\beta)w$ で $Az=\mu z$ となり、$\lambda=\mu$ が実数であることになって矛盾する。よって $\dim W=2$ である。$\square$

段 1（主張の言い換え）：$P$ の列を $p_1,\dots,p_n$ とすると、$P^{\top}QP=P^{-1}QP$ が上の形であることは、正規直交基底 $p_1,\dots,p_n$ について、$Qp_{2j-1}=\cos\theta_jp_{2j-1}+\sin\theta_jp_{2j}$、$Qp_{2j}=-\sin\theta_jp_{2j-1}+\cos\theta_jp_{2j}$（$j\le k$）、残りの $p_l$ が $Qp_l=\pm p_l$ を満たすことと同じである。そこで次を部分空間の次元 $m$ についての帰納法で示す。「$Q(V)\subset V$ を満たす $m$ 次元の部分空間 $V$ は正規直交基底をもち、その基底は互いに直交する 1 次元か 2 次元の部分空間の基底に分かれ、各 1 次元部分 $\mathbb{R}w$ では $Qw=\pm w$、各 2 次元部分 $(w,w')$ では $Q$ が $R(\theta)$（$0< \theta< \pi$）で表される」。$V=\mathbb{R}^n$ の場合に基底の順序を並べ替えれば定理の存在部分になる（並べ替えた正規直交基底を列とする $P$ は直交行列である）。
段 2（帰納法）：$m=0$ なら空の基底でよい。$m\ge1$ とする。$V$ の正規直交基底 $v_1,\dots,v_m$ で $Q|_V$ を表した行列を $M\in M_m(\mathbb{R})$ とする。$M$ の第 $j$ 列は $Qv_j$ の座標であり、正規直交基底による座標は内積を保つ（正規直交基底 の記事の定理「正規直交基底による座標とParsevalの等式」）ので、$M$ の列は正規直交であり、$M$ は直交行列である。
(a) $Q|_V$ が実の固有値 $\mu$ をもつとき：固有ベクトル $w\in V$、$|w|=1$ をとる。$|\mu|=|Qw|=|w|=1$ なので $\mu=\pm1$ であり、$W:=\mathbb{R}w$ とおく。
(b) 実の固有値をもたないとき：lem-orth-small-invariant を $M$ に使い、座標を $V$ に戻して、$Q(W)\subset W$ となる 2 次元の $W\subset V$ をとる。$W$ の正規直交基底 $w,w'$ に関する $Q|_W$ の行列 $N$ は、上と同じ理由で 2 次の直交行列なので、回転・鏡映と行列の群 の定理「2 次の直交行列の分類」により $N=R(\theta)$ か $N=S(\theta)$ である。鏡映 $S(\theta)$ は固有値 $1$ の固有ベクトルをもち、$R(\theta)$ も $\theta$ が $\pi$ の整数倍なら $\pm I_2$ なので、(b) の仮定によりどちらも起こらない。よって $N=R(\theta)$ で、$\theta$ は $0< \theta< 2\pi$、$\theta\ne\pi$ にとれる。$\pi< \theta< 2\pi$ なら、基底を $w,-w'$ に替えると行列は $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}R(\theta)\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=R(-\theta)=R(2\pi-\theta)$ になり、$0< 2\pi-\theta< \pi$ である。
どちらの場合も $V':=V\cap W^{\perp}$ は、$V$ と $W^{\perp}$ がともに $Q$ で保たれる（lem-orth-invariant）ので $Q$ で保たれ、$W\subset V$ から $V=W\oplus V'$、$\dim V'=m-\dim W< m$ である。帰納法の仮定により $V'$ は求める正規直交基底をもち、それに $W$ の基底を加えたものが $V$ の求める基底である。
段 3（一意性と固有値）：ブロック対角行列の固有多項式から $\theta_j$ と $p,q$ が読み取れる。

段 1（鏡映で 1 本を戻す）：$v\in\mathbb{R}^n$ で $Qv\ne v$ とし、$u:=Qv-v$ とおく。$|Qv|=|v|$ なので $(Qv+v)\cdot u=|Qv|^2-|v|^2=0$ である。$Qv=\frac12(Qv+v)+\frac12u$ と分けると、$H_u$ は $u^{\perp}$ の元 $\frac12(Qv+v)$ を動かさず $u$ を $-u$ に移すので、$H_uQv=\frac12(Qv+v)-\frac12u=v$ である。
段 2（帰納法）：1 を、次の主張の $V=\mathbb{R}^n$ の場合として示す。「$V$ を $m$ 次元の部分空間とし、$Q\in\mathrm{O}(n)$ が $V^{\perp}$ のすべての元を動かさないとする。このとき $Q$ は、$V$ に属するベクトル $u_i$ による高々 $m$ 個の鏡映 $H_{u_i}$ の積である」。$m$ についての帰納法による。$Q=I_n$ なら $k=0$ でよいので（$m=0$ なら $V^{\perp}=\mathbb{R}^n$ でこの場合になる）、$Q\ne I_n$ とする。
$Q$ は $V^{\perp}$ を保つので、lem-orth-invariant により $V=(V^{\perp})^{\perp}$ も保つ。$Qv\ne v$ となる $v$ を $v=v_1+v_2$（$v_1\in V$、$v_2\in V^{\perp}$）と分けると $Qv-v=Qv_1-v_1$ なので、はじめから $v\in V$ としてよい。段 1 の $u=Qv-v$ は $V$ に属し、$Q':=H_uQ$ は $Q'v=v$ を満たす。$u\in V$ なので $H_u$ は $V^{\perp}\subset u^{\perp}$ の元を動かさず、$Q'$ も $V^{\perp}$ の元を動かさない。よって $Q'$ は $V^{\perp}+\mathbb{R}v$ の元をすべて動かさない。$V':=V\cap v^{\perp}$ は $m-1$ 次元の部分空間で、$(V')^{\perp}=V^{\perp}+\mathbb{R}v$ である。