幾何的正則性

$a\notin\sqrt I$ とする。$I$ を含み積閉集合 $\{1,a,a^2,\ldots\}$ と交わらないイデアルを包含で並べる。鎖の和は再びこの条件を満たすので、Zornの補題で極大なもの $P$ がある。$uv\in P$、$u,v\notin P$ なら、$P+(u)$ と $P+(v)$ はそれぞれ積閉集合に交わる。等式 $a^i=p+cu$、$a^j=q+dv$ を掛けると $a^{i+j}\in P$ となり矛盾する。従って $P$ は素で、$I\subset P$、$a\notin P$。逆に $a$ の冪が $I$ に入れば、全ての該当素イデアルは $a$ を含む。これで交叉の等式を得る。

Noether環のスペクトルでは閉集合の下降列は停止する。閉集合 $V(J_n)$ の下降列は根基イデアルの上昇列に対応し、Noether条件で停止するからである。閉集合が有限個の既約閉集合の和として書けないと仮定し、そういう閉集合の極小なもの $Z$ を取る。$Z$ が既約なら既に一個で書ける。既約でなければ $Z=Z_1\cup Z_2$ と真の閉部分へ分かれ、極小性から両方は有限個で書けて矛盾する。

既約閉集合 $V(J)$ の根基は素である。$uv$ が根基に入ると $V(J)\subset V(u)\cup V(v)$、既約性により片方に含まれ、根基の交叉表示から $u$ または $v$ が根基に入る。逆に素イデアルの閉集合は、その素イデアル自身が属することを使うと既約である。従って $V(I)$ は有限個の素イデアル $P_i$ の閉集合の和となる。包含で冗長な成分を捨てれば、これらは $I$ 上の極小素に一致する。任意の点はこの和のどれかに属するので、最後の主張も得る。$\square$

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。

$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。

完全列による長さの加法性から $$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$ 第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で $$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$ となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、 $$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$ を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より $$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$ が十分大きい $n$ で成立する。

この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って $$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$ 各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。

この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

有限加群の完全列 $0\to\mathfrak m^n\to A\to A/\mathfrak m^n\to0$ に geom-poly-lem-fs-flat-foundation-completion を適用する。商は $\mathfrak m^n$ で零化されるため、その完成は自身である。よって座標射影 $\rho_n:C\to A/\mathfrak m^n$ は全射であり、核は $\widehat{\mathfrak m^n}\to C$ の像である。有限完成テンソル比較により、この像は $C\otimes_A\mathfrak m^n\to C$ の像、すなわち $\mathfrak m^nC$ である。純テンソル $c\otimes a$ の像が $ca$ となることが、このイデアルとの一致を示す。$J^n=\mathfrak m^nC$ なので所望の商同型を得る。この計算は $C$ のNoether性を使っていない。

同型は推移写像と積に両立する。従って $\varprojlim C/J^n$ は、定義による $\varprojlim A/\mathfrak m^n=C$ と座標ごとに同一視される。各座標が零の元は零であるから分離性が成立し、整合する列をそのまま $C$ の元とすることで完全性が成立する。

$n=1$ から $C/J=k\ne0$。$c\notin J$ の剰余を $a\in A\setminus\mathfrak m$ に持ち上げると、$a$ は $A$ で単元だから $C$ でも単元で、$c=a(1-z)$、$z\in J$ と書ける。$\sum_{i=0}^N z^i$ は $J$ 進Cauchy列で、完備性から極限をもつ。$(1-z)\sum_{i=0}^N z^i=1-z^{N+1}$ なので、分離性と積の連続性により極限は $1-z$ の逆である。従って $J$ 外の元は全て単元であり、$C$ は最大イデアル $J$ をもつ非零局所環となる。$\square$

まず、環 $R$ がイデアル $J$ に関して完備分離で、$\operatorname{gr}_J(R)$ が Noether であるとき、$R$ が Noether となることを証明する。$R$ 自身の Noether 性を途中で仮定しない。

$H\subset R$ を任意のイデアルとする。各次数 $n$ における $H\cap J^n$ の像を集めた $$ \operatorname{in}(H)=\bigoplus_{n\ge0} \frac{(H\cap J^n)+J^{n+1}}{J^{n+1}} \subset\operatorname{gr}_J(R) $$ は斉次イデアルである。実際、次数 $m$ の元を掛けると $H\cap J^n$ の代表は $H\cap J^{m+n}$ に移る。このイデアルは有限個の斉次元で生成される。有限生成元を斉次成分に分けても、各成分は斉次イデアルに属し、元の生成元もその和であるため、斉次生成元を選べる。

非零斉次生成元の次数を $d_i$ とし、代表 $h_i\in H\cap J^{d_i}$ を選ぶ。$h_i\notin J^{d_i+1}$ である。$\operatorname{in}(H)=0$ なら、任意の $h\in H$ の次数零から順に初項が零なので $h\in\bigcap_nJ^n=0$ となり、$H=0$ である。以下は有限個の $h_1,\ldots,h_s$ がある場合を考える。

任意の $h\in H$ に対して $r_0=h$ と置く。$r_n\in H\cap J^n$ ができたとする。その次数 $n$ の像は斉次生成元で表示できるので、$d_i\le n$ の各 $i$ について $a_{i,n}\in J^{n-d_i}$ を選んで $$ r_{n+1}=r_n-\sum_{d_i\le n}a_{i,n}h_i\in H\cap J^{n+1} $$ とできる。初項が零なら全係数を零としてよい。$d_i>n$ の場合も $a_{i,n}=0$ と約束する。この帰納は、$H$ が閉イデアルであるという未証明の条件を使わない。各有限段で引く元はすでに $H$ に属するからである。

固定した $i$ について、部分和 $b_{i,N}=\sum_{0\le n< N}a_{i,n}$ は $J$ 進 Cauchy 列である。実際、$N\ge d_i$ で、より先の有限和との差は $J^{N-d_i}$ に属する。完備性によって極限 $b_i\in R$ がある。一方 $$ h-\sum_i b_{i,N}h_i=r_N\in J^N. $$ 乗法の連続性と有限個の $i$ の和の連続性から、極限では $h=\sum_i b_i h_i$ となる。分離性はこの等式を確定するために使う。従って $H=(h_1,\ldots,h_s)$ であり、全イデアルが有限生成なので $R$ は Noether 環である。

この議論を $R=C$、$J=\mathfrak mC$ に適用する。直前の商同型について次数 $n+1$ から次数 $n$ への写像の核を取ると $$\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong J^n/J^{n+1}$$ が得られる。これらは積にも両立するので $\operatorname{gr}_{\mathfrak m}A\cong\operatorname{gr}_J C$ である。$\mathfrak m=(u_1,\ldots,u_t)$ と書くと、各次数の冪商は $u_i$ の単項式で生成され、 $$k[T_1,\ldots,T_t]\longrightarrow\operatorname{gr}_{\mathfrak m}A,\qquad T_i\longmapsto u_i\bmod\mathfrak m^2$$ は全射である。geom-poly-lem-fs-flat-foundation-completion により左辺はNoetherであり、その商もNoetherとなる。完成の完備分離性は直前の命題で得ているから、初項の議論を適用して $C$ のNoether性を得る。$t=0$ の場合も左辺は体 $k$ であり同じ議論に含まれる。$\square$

$J=\mathfrak mC$、$k=A/\mathfrak m=C/J$ とする。直前の二命題により $C$ は非零Noether局所環であり、各 $n\ge1$ について積と推移写像に両立する同型 $C/J^n\cong A/\mathfrak m^n$ がある。その連続する次数の核を取れば $$J^i/J^{i+1}\cong\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$$ を同じ体 $k$ 上の線形同型として得る。各層は有限次元である。層を一次元ずつ細分した有限組成列から $$\chi_A(n):=\ell_A(A/\mathfrak m^n)=\sum_{i=0}^{n-1}\dim_k(\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1})=\ell_C(C/J^n)=:\chi_C(n)$$ が従う。ここでは二つの環をまたいで長さを同一視したのではなく、共通の剰余体上の層の次元を数えている。

$D=\dim A$ とする。極大イデアルは有限生成なので、geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-local-bound により $D$ は有限である。geom-poly-fs-jgr-thm-ci-drop-existence で $D$ 元生成の $\mathfrak m$-primaryイデアル $Q\subset\mathfrak m$ を選ぶ。$D\ge1$ なら $Q^n\subset\mathfrak m^n$ と geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-growth-generator-growth の単項式上界により $$\chi_A(n)\le\ell_A(A/Q^n)\le\ell_A(A/Q)\binom{n+D-1}{D}.$$ $D=0$ なら空のパラメータ系のイデアルは零で、その根基は $\mathfrak m$ である。有限個の生成元がそれぞれ冪零なので $\mathfrak m^N=0$ となる $N$ があり、$A$ の有限な冪層から $\ell_A(A)<\infty$ を得る。従ってこの場合も $\chi_A(n)=O(1)$ である。

$C$ の長さ $h\ge1$ の任意の厳密素鎖について geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-growth-chain-growth を適用すると、十分大きな $n$ に対し $\chi_C(n)\ge c_hn^h$ となる正の定数 $c_h$ を得る。上の同じ長さ列の $O(n^D)$ 上界と比較すれば $h\le D$ である。従って $e=\dim C\le D$、特に $e$ は有限である。

今度は $C$ で $e$ 元のパラメータ系を選び、同じ単項式上界を適用する。$e=0$ の場合は先ほどと同じ冪零極大イデアルの議論を用い、いずれも $\chi_C(n)=O(n^e)$ を得る。$D\ge1$ なら有限な整数値 $D$ はある厳密素鎖の長さとして達成される。その鎖に成長下界を適用して $\chi_A(n)\ge c n^D$ を得るので、長さ列の一致から $D\le e$ である。$D=0$ では非零環 $C$ の次元は非負だから同じ不等式は自明である。以上で $D=e$ となる。特に $\mathfrak m=0$、すなわち $A$ が体の場合も $C=A$ であり含まれる。この証明はHilbert–Samuel多項式の次数と次元の一致や平坦射の鎖持上げを仮定していない。$\square$

有限Nakayamaと次数一生成。

極大イデアルは有限生成なので $d$ は有限。$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の任意の基底を持ち上げ $x_1,\ldots,x_d$ を取る。$\mathfrak m/(x)$ は有限であり、基底性から $\mathfrak m/(x)=\mathfrak m(\mathfrak m/(x))$。geom-poly-lem-fs-flat-foundation-completion の生成元行列式により零、従って $\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_d)$。$d=0$ では $\mathfrak m=0$、$R=k$ は体、空列は正則でCMである。

$d\ge1$ とする。$\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R=\bigoplus_{q\ge0}\mathfrak m^q/\mathfrak m^{q+1}$ の積は代表独立。$\mathfrak m^q$ は生成元の $q$ 個の積で生成されるので $P=k[X_1,\ldots,X_d]\to\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R$、$X_i\mapsto x_i\bmod\mathfrak m^2$ は斉次全射。次数零は $k$ の恒等である。各層は有限次元で $$\chi_R(n)=\ell_R(R/\mathfrak m^n)=\sum_{q=0}^{n-1}\dim_k(\mathfrak m^q/\mathfrak m^{q+1}).$$ これは冪層を一次元ずつ細分した組成列から従い、HS多項式は用いない。

核が非零なら成長次数が一つ低くなる。

核が非零なら斉次成分の一つから次数 $s\ge1$ の非零斉次 $f$ を取れる。多項式環 $P$ は整域である。例えば単項式に辞書順を入れ、有限多項式の最高単項式同士の積が最高単項式となり、体の非零係数の積が非零となることから従う。よって $f$ 倍は $P_{q-s}\to P_q$ の単射。$q\ge s$ の層には $$\dim_k(\mathfrak m^q/\mathfrak m^{q+1})\le\binom{q+d-1}{d-1}-\binom{q-s+d-1}{d-1}$$ が成り立つ。$q< s$ では第二項を零とし、通常の単項式数が上界。単項式は $d$ 個の非負指数の和が $q$ となるものだから、その数は区切りを入れる計数で $\binom{q+d-1}{d-1}$。Pascal則の有限望遠和で、$n>s$ に対し $$\chi_R(n)\le\binom{n+d-1}{d}-\binom{n-s+d-1}{d}=O(n^{d-1}).$$ $d\ge2$ では次数 $d$ の二多項式の先頭係数が一致して消える。$d=1$ では右辺は定数 $s$ であり、十分高い層は全て零。この計数に正値や次元を述べるHS定理を借りない。

一方、有限な整数 $d=\dim R\ge1$ は厳密素鎖の長さとして達成される。もし全鎖が $d-1$ 以下なら上限も $d-1$ 以下になるからである。geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-growth-chain-growth をこの鎖へ適用すると、ある $C>0,n_0$ に対し $\chi_R(n)\ge Cn^d$、$n\ge n_0$。この下界と前の $O(n^{d-1})$ は大きい $n$ で矛盾する。従って核は零、$\operatorname{gr}_{\mathfrak m}R\cong P$。

ARと有限Nakayamaだけで分離し整域を得る。

$N=\bigcap_{n\ge1}\mathfrak m^n$ はイデアルで、Noether性により有限である。geom-poly-lem-fs-flat-foundation-completion を $N\subset R$ に適用し、ある $c\ge0$ について $$N\cap\mathfrak m^{c+1}=\mathfrak m(N\cap\mathfrak m^c)$$ を得る。$N$ は全冪に含まれるので左辺は $N$、括弧内も $N$（$c=0$ なら $\mathfrak m^0=R$）。従って $N=\mathfrak mN$、geom-poly-lem-fs-flat-foundation-completion で $N=0$。ARの零部分加群の場合は $c=0$ とし、この結論も自明。

非零 $a\in R$ は分離性から有限の位数 $u$ を持ち、$a\in\mathfrak m^u\setminus\mathfrak m^{u+1}$。同様に非零 $b$ の位数を $v$ とすれば、初項の積は次数 $u+v$ の $ab$ の像。最初の成長比較で得た次数環は整域なのでこの像は非零で $ab\ne0$。よって $R$ は整域。$u=0$ や $v=0$（単元）も同じ計算に含まれる。完成や交叉定理の外部引用は不要である。

各最小生成系の前半による商も正則。

$0\le j\le d$ とし $B_j=R/(x_1,\ldots,x_j)$、最大イデアル $\mathfrak n_j$ とする。生成イデアルは $\mathfrak m$ に含まれるから $B_j\ne0$、Noether局所環で剰余体は同じ $k$。分母や分離性はここでは不要。商の平方を計算すると $$\mathfrak n_j/\mathfrak n_j^2\cong\mathfrak m/(\mathfrak m^2+(x_1,\ldots,x_j)).$$ $(x_1,\ldots,x_j)$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像は $\bar x_1,\ldots,\bar x_j$ の $k$ 線形包である。係数の最大イデアル部分の積は $\mathfrak m^2$ に入るからである。従って埋め込み次元は $d-j$ で、残りの像は基底。

$e=\dim B_j$ は局所生成数上界により有限。geom-poly-fs-jgr-thm-ci-drop-existence により $B_j$ の $e$ 元のパラメータ系を取り、$R$ へ持ち上げ、前半の $j$ 元を加えると $R$ の最大イデアルを根基にもつイデアルを得る。これは商の根基の逆像の計算による。geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-local-bound で $d\le e+j$。一方 $\mathfrak n_j$ は残り $d-j$ 元で生成されるので同じ上界で $e\le d-j$。よって $e=d-j$、$B_j$ は正則局所環。$j=d$ では $\mathfrak n_j=0$、$B_j=k$、空SOPで両辺零。$j=0$ は元の環。ここでは前半が正則列であることを仮定していない。

全基底持上げが正則列となりCM。

各 $B_j$ は正則なので、ここまでの次数環と分離の議論をそれぞれの環へ適用して整域となる。$j< d$ のとき $x_{j+1}$ の像は $\mathfrak n_j/\mathfrak n_j^2$ の基底の一つ、従って $B_j$ 内の非零元である。整域上のこの元の乗法は単射。最終商は $k\ne0$ なので $x_1,\ldots,x_d$ は正則列である。

深さとCM性はgeom-poly-fs-jgr-def-ci-cm-module-depth の規約による。深さは最大イデアル内の正則列の最大長である。この列で深さは $d$ 以上。一方 geom-poly-fs-jgr-cor-ci-drop-regular-sequence の正則元商の次元降下を任意の列へ反復し、非零局所商の次元は非負なので全正則列の長さは $d$ 以下。従って深さは $d$、$R$ はCMである。CMの非混合性・高さ判定をこの上界にも使わず、循環しない。$d=0$ の体は空列で深さ零、$d=1$ では成長比較の有界長さの矛盾と整域性から唯一の生成元が非零因子となる。

$\square$

$R$ を Noether 環とし、$B=R[\![X]\!]$ の任意のイデアル $J$ を取る。各 $n\ge0$ に対し $$ J_n=\{[X^n]f\mid f\in J\cap X^nB\}\subset R $$ と定める。和と $R$ の定数倍で閉じるから $J_n$ は $R$ のイデアルである。また $f$ に $X$ を掛けると $J_{n+1}$ に同じ係数を与えるので $J_n\subset J_{n+1}$ となる。この昇鎖は、ある $N$ 以後一定となる。

$0\le n\le N$ ごとに $J_n$ の有限生成元 $a_{n,1},\dots,a_{n,t_n}$ を選び、それぞれを $X^n$ 係数に持つ $f_{n,j}\in J\cap X^nB$ を選ぶ。$J_n=0$ なら空族を取る。この有限個の級数で $J$ が生成されることを示す。

$f\in J$ に対し、次数零から順に係数を消去する。段 $n$ の残差 $r_n$ が $J\cap X^nB$ にあるとする。$n\le N$ なら、その次数 $n$ の係数は $J_n$ に入るから $a_{n,j}$ の $R$ 線型結合であり、同じ定数係数で $f_{n,j}$ を引けば残差は $J\cap X^{n+1}B$ に入る。$n>N$ なら $J_n=J_N$ なので、$a_{N,j}$ の線型結合を使い、$X^{n-N}f_{N,j}$ を引けばよい。この操作を全次数で繰り返す。

各 $f_{n,j}$、$n< N$ の係数はその段でだけ選ばれる。$f_{N,j}$ の係数は、段 $n\ge N$ で選んだ定数を $X^{n-N}$ 倍して加えた一つの形式的冪級数 $q_{N,j}\in B$ になる。各次数には一つの段しか寄与しないので、この和は係数ごとに定義できる。従って有限個の生成元に対する係数 $q_{n,j}\in B$ を得る。消去後の差 $f-\sum q_{n,j}f_{n,j}$ は任意の $X^mB$ に属し、全係数が零だから零である。よって $J$ は有限生成であり、$B$ は Noether 環である。

この証明では $J$ が閉イデアルであることを仮定していない。無限回引いた結果を $J$ の極限として回収したのではなく、初めに固定した有限個の $f_{n,j}$ の係数を級数へまとめ、最後に係数ごとに等式を検証した。

逆に $B$ が Noether なら、定数項写像による商 $B/(X)\cong R$ も Noether である。商環のイデアルは逆像を取って有限生成元の像で生成できるからである。

有限変数では $R[\![X_1,\dots,X_r]\!]\cong(R[\![X_1,\dots,X_{r-1}]\!])[\![X_r]\!]$ である。左辺の多重添字係数を $X_r$ の次数ごとにまとめれば右辺となり、積の各多重次数の有限和も一致する。変数数の帰納で主張を得る。$\square$

十分な入射対象の構成。 加法群 $\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除である。零イデアルからの写像は零写像に延長する。非零の整数イデアルは $n\ge1$ の $n\mathbb Z$ であり、そこからの写像は生成元の像を $n$ で割れば $\mathbb Z$ 全体へ延長できる。したがって上のBaer元計算により $\mathbb Q/\mathbb Z$ は整数上入射である。非零元 $m$ が生成する巡回部分群から非零写像を作れる。有限位数 $n$ なら $m\mapsto1/n+\mathbb Z$、無限位数なら例えば $m\mapsto1/2+\mathbb Z$ とする。入射性により全加法群へ延長でき、各非零元を検出する。

$J=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(A,\mathbb Q/\mathbb Z)$ に $(a\phi)(b)=\phi(ba)$ というA作用を入れる。評価1と $f\mapsto[m\mapsto(a\mapsto f(am))]$ は互いに逆であり $$\operatorname{Hom}_A(M,J)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)$$ となる。この同型を $\alpha(g)(m)=g(m)(1)$、$\beta(f)(m)(a)=f(am)$ と書くと、 $$\alpha\beta(f)(m)=f(m),\qquad\beta\alpha(g)(m)(a)=g(am)(1)=g(m)(a)$$ であり、両合成は恒等である。さらに $\beta(f)(cm)(a)=f(acm)=(c\beta(f)(m))(a)$ なので $\beta(f)$ は $A$ 線形である。右辺は単射に対する延長を許すので $J$ は $A$ 上入射である。全加法写像 $f:M\to\mathbb Q/\mathbb Z$ を添字とする積へ、$m\mapsto(a\mapsto f(am))_f$ と送ると、上の検出性から単射である。入射加群の任意積は各座標で延長して入射となる。従って任意Mは入射加群に埋め込め、その余核について反復すれば入射分解を得る。これで全加群上界に用いる入射分解の存在も示された。

$D_{i,j}=F_i\otimes_AK_j$、$i,j\ge0$ とし、全微分を $d_F\otimes1+(-1)^i1\otimes d_K$ とする。両微分の合成は符号が逆なので相殺し、全微分の平方は零である。次数 $n$ では $i+j=n$ の有限個の成分しかない。

左の増大は $j=0$ において $F_i\otimes K_0\to F_i\otimes N$、$j>0$ で零とする。各 $F_i$ は自由だから、固定 $i$ の増大列は完全である。左増大の核を $E$ とすると、その垂直列は、$j=0$ を増大の核に置き換えた完全列である。

次数 $n$ のサイクル $z\in E_n$ の最大の水平添字を $i$ とする。その成分 $z_{i,j}$ の垂直微分は零である。他の成分からこの位置の垂直微分の位置へ来る水平微分は、添字 $i+1$ の成分からだけであり、最大性により存在しないためである。$j=0$ では $z_{i,0}$ は増大核に属する。列の完全性で $w_{i,j+1}$ を取り $$(-1)^i(1\otimes d_K)w_{i,j+1}=z_{i,j}$$ とする。全境界 $dw$ を引くとこの成分は消え、新たな水平成分は $i-1$ にしか生じない。$i$ を下げる有限回の操作で全サイクルが零になり、$E$ は完全となる。増大は項別全射なので、核の完全性と短完全列の長完全列から左の比較が同型となる。

右増大については固定 $j$ の行が、$K_j$ の自由性により完全である。右増大の核のサイクルの最大垂直添字 $j$ を取ると、その成分の水平微分は零。行の完全性により $w_{i+1,j}$ を取り $(d_F\otimes1)w=z_{i,j}$ とする。全境界を引くと新成分は $j-1$ に生じ、その係数は $(-1)^{i+1}$ を伴うが、次の持上げでその係数を含めて解く。$j$ の有限降下で核が完全となる。これで右の比較も同型である。いずれも各総次数の有限対角で終わり、無限分解でも無限和を使わない。$M=0$ 又は $N=0$ も同じ完全な核計算に含まれる。

$L$ の自由分解 $P$ を取る。各自由項のHomは、基底の各像を持ち上げることで全射を保つので、$0\to\operatorname{Hom}(P,U)\to\operatorname{Hom}(P,V)\to\operatorname{Hom}(P,W)\to0$ は複体の短完全列である。$W$ の次数 $i$ のコサイクル $w$ を $V$ の $v$ に持ち上げると、$dv$ は $U$ に入りコサイクルになる。その類を接続写像とする。持上げ差は $U$ の微分を、代表の境界変更は $V$ の微分の持上げを加えるだけだから類は変わらない。

三位置の完全性を確認する。$V$ のコサイクルが $W$ で境界なら、その原像を $V$ に持ち上げて微分を引くと $U$ のコサイクルになる。$W$ のコサイクルの接続類が零なら $dv=du$ となる $U$ の元 $u$ を引き、$v-u$ が $V$ のコサイクル持上げとなる。$U$ のコサイクルが $V$ で境界 $dv$ なら、$v$ の $W$ での像はコサイクルで、その接続が元の類である。これらが長完全列を与える。

係数が入射 $E$ の場合、次数 $i>0$ のコサイクル $h:P_i\to E$ は $\operatorname{im}d_{i+1}=\ker d_i$ を零にする。従って $\operatorname{im}d_i\subset P_{i-1}$ からの写像に因数分解し、入射性で $P_{i-1}$ 全体へ延長する。その延長の微分が $h$ なのでコサイクルは境界である。自由分解の選択独立性は geom-poly-lem-fs-flat-tensor-tor の比較写像と鎖ホモトピーをHomへ施す同じ計算による。

正則パラメータ。 geom-poly-fs-jgr-thm-ci-regular-local-cm-direct は、正則局所環の余接基底の持上げ $x_1,\ldots,x_d$ が極大イデアルを生成し、その全ての前半商が正則整域であることを証明している。従ってこれは正則列であり、最終商は $k$ である。この基礎は素鎖の成長とArtin–Reesから直接得られ、大域次元や正則局所化は入力ではない。$d=0$ は $R=k$ となる。

Koszul分解と下界。 この列の Koszul 複体は $K_j=\bigwedge^jR^d$、微分は $$ \partial(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_j})= \sum_{a=1}^j(-1)^{a-1}x_{i_a}e_{i_1}\wedge\cdots\widehat e_{i_a}\cdots\wedge e_{i_j}. $$ 二つの削除順の符号が逆なので $\partial^2=0$。一元を加えた複体は旧複体のその元倍のconeである。coneの長完全列から、旧正次数ホモロジーが零なら新 $H_1$ は旧 $H_0$ 上の掛算の核、新 $H_0$ は余核となる。正則列なのでこの核は零であり、帰納して $K_\bullet\to k$ は長さ $d$ の有限自由分解となる。$\operatorname{Hom}_R(K_\bullet,k)$ は全微分が零で最高項は $k$ だから $$\operatorname{Ext}^d_R(k,k)=k\ne0.$$ 従って $\operatorname{pd}_Rk=d$。空列では $K_0=R=k$ だけなので $d=0$ の下界も同じ式である。

有限生成加群の上界。 有限生成 $M$ の剰余基底を持ち上げて有限自由全射 $F_0\to M$ を作る。核は $\mathfrak mF_0$ に入り、Noether性により有限生成である。核の剰余基底を持ち上げる操作を反復すれば、各項が有限自由で全微分の係数が $\mathfrak m$ に入る分解 $F_\bullet$ を得る。従って $$H_i(F_\bullet\otimes_R k)=F_i\otimes_R k.$$

geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-double-comparison を $F_\bullet$ と $K_\bullet$ に適用すると $$H_i(F_\bullet\otimes_R k)\cong H_i(M\otimes_R K_\bullet)$$ を得る。

右側は $i>d$ で零なので $F_i\otimes_Rk=0$。有限自由項の階数が零となり $F_i=0$、ゆえに $\operatorname{pd}_RM\le d$。この段ではまだ有限生成加群だけを扱っている。

全加群への移行。 任意の加群 $N$ の入射分解を取り、$C_0=N$、$0\to C_j\to J^j\to C_{j+1}\to0$ とする。入射分解の存在は geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-enough-injectives、係数の長完全列は geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-coefficient-les による。入射項の正次数Extが零なので次数移動により、全イデアル $I$ に対して $$\operatorname{Ext}^1_R(R/I,C_d)=\operatorname{Ext}^{d+1}_R(R/I,N)=0.$$ 右側が零になるのは、$R/I$ が有限生成で前段を適用できるためである。

$0\to I\to R\to R/I\to0$ により全 $I\to C_d$ が $R\to C_d$ へ延長する。Baer判定の元計算は次の通りである。任意 $U\subset V$ の写像をZornで最大延長し、その定義域を $U'$ とする。$v\notin U'$ があれば $I=\{a:av\in U'\}$ と写像 $a\mapsto f(av)$ を作る。その延長を $a\mapsto ac$ と書くと、$u+av\mapsto f(u)+ac$ は $U'+Rv$ 上の写像である。表示の差では $a\in I$ が現れるためよく定義され、最大性に矛盾する。従って $C_d$ は入射的である。

これにより全 $L,N$ で $\operatorname{Ext}^{d+1}_R(L,N)=0$。任意 $L$ の自由分解を $d$ 段切った $d$ 回目のsyzygy $Z_d$ は、その尾のHom複体の核と像を geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-ext-criterion のように直接同定すれば、全 $N$ に対し $\operatorname{Ext}^1_R(Z_d,N)=0$ を満たす。自由全射 $P\to Z_d$ の核を係数 $N$ に使うとその拡大が分裂し、$Z_d$ は射影となる。ゆえに無限生成も含め全 $L$ で $\operatorname{pd}_RL\le d$。$d=0$ は $Z_0=L$、$C_0=N$ と読む。剰余体の下界と合わせて結論を得る。

最小分解の終端。

有限加群 $M$ の $M/\mathfrak mM$ の基底を持ち上げると有限自由全射を得る。その核は極大イデアル倍に入り、Noether性で有限である。反復して全微分の係数が $\mathfrak m$ に入る最小自由分解 $F$ を得る。係数 $k$ とのテンソル後は微分零だから $\operatorname{Tor}_i(M,k)=F_i\otimes k$。比較写像は射影性により次数順に持ち上げ、二比較の差は同じ次数順に $dh+hd$ として解くのでTorは分解によらない。有限射影次元なら長さ有限の射影分解を別に取り、射影性で各次数の比較写像を両方向に持ち上げる。比較の合成と恒等の差も次数順に鎖ホモトピーで解ける。テンソル後もこのホモトピーが残るので、有限射影分解に項のない高次数では最小分解のTorも零になる。最小分解の微分は剰余体とのテンソル後零だから、有限自由項の剰余が零なら項は零であり、最小分解は有限長で終わる。

$\operatorname{pd}_A k=r<\infty$ とする。$\mathfrak m\ne0$ なら $r\ne0$：geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-local-projective により $k$ が有限射影なら有限自由で、剰余階数一から $k\simeq A$、零化イデアルが零となる。従って $r\ge1$、$F_r\ne0$ の最高微分は単射である。もし $\mathfrak ma=0$ となる $a\ne0$ があれば $aF_r$ は最高微分の核となり矛盾する。従って $\mathfrak m\notin\operatorname{Ass}A$。深さ零の場合の矛盾はこのsocle計算であり、未証明の深さ公式を代用しない。

非零因子と最小生成元の両立。

有限Assと零因子の合併表示を使う。各最大零化イデアルが素であるのは、$abv=0,bv\ne0$ なら $\operatorname{Ann}(v)\subset\operatorname{Ann}(bv)$、極大性から等号となり $a\in\operatorname{Ann}(v)$ だからである。Noether性でこの操作と素巡回商の反復を有限素フィルトレーションにでき、Ass有限と零因子検出を得る。

$s=\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2>0$ とする。有限Assの包含冗長な素を除く。全て真に $\mathfrak m$ に含まれ、$\mathfrak m^2$ もどの素に含まれない（含まれれば素性から $\mathfrak m$ が含まれる）。$y\in\mathfrak m\setminus\mathfrak m^2$ を取る。$y$ を含む各素 $\mathfrak p_i$ に対し、他の各素から $\mathfrak p_i$ の外の元と $\mathfrak m^2\setminus\mathfrak p_i$ の元の積 $b_i$ を作る。$b_i$ は他の素と $\mathfrak m^2$ に入り、自身の素を避ける。すると $x=y+\sum b_i$ は全Assと $\mathfrak m^2$ を避ける。剰余体の無限性は不要である。$x$ は非零因子で最小生成系の一員となる。

商へ移すのは極大イデアルの分解。

$B=A/xA$ とし $\mathfrak m=(x,x_2,\ldots,x_s)$、$\mathfrak b=(x_2,\ldots,x_s)$ と置く。有限長最小分解の次数零を除いて $\mathfrak m$ の有限自由分解を得る。$0\to A\xrightarrow{x}A\to B\to0$ と $x$ の $\mathfrak m$ 上の単射性から $\operatorname{Tor}_i^A(\mathfrak m,B)=0$（$i>0$）。geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-double-comparison の有限対角消去でこのTorを計算しても同じなので、分解を $B$ とテンソルすると $\mathfrak m/x\mathfrak m$ の有限自由分解になる。

$\mathfrak b\cap xA\subset x\mathfrak m$ を示す。$xa=\sum_{i\ge2}a_ix_i$ で $a$ が単元なら、剰余余接空間で $x$ の像が他の基底の線型結合となり矛盾する。従って $a\in\mathfrak m$。この包含により $$\mathfrak m/xA=\mathfrak b/(\mathfrak b\cap xA)\longrightarrow\mathfrak m/x\mathfrak m$$ が定まる。この写像は $B$ 線形である：$x$ は始域 $\mathfrak m/xA$ と終域 $\mathfrak m/x\mathfrak m$ を共に零化し、$A$ 線形な写像が両者の $B$ 作用に両立する。自然全射との合成は恒等となる。従って $\mathfrak m/xA$ は直和因子で有限射影次元を持つ。直和因子への有限pd移送は全係数Extの直和分解と次数移動で確認できる：高次Ext消滅から末尾syzygyの一次Extが全て零、自由全射に対する拡大を分裂させれば射影となる。最後に $\mathfrak m/xA$ の有限射影分解 $P_\bullet$ の増大を包含 $\mathfrak m/xA\hookrightarrow B$ と合成し、$\cdots\to P_1\to P_0\to B\to k\to0$ と置く。$P_0$ の核は元の増大核であり、$B$ での像は $\mathfrak m/xA$ だからこれは完全な有限射影分解となる。従って $\operatorname{pd}_B k<\infty$。

ここでは $\operatorname{pd}_B k=\operatorname{pd}_A k-1$ という別公式を仮定していない。必要なのは有限性の移送だけである。任意の正則元について商の有限pdが保たれることは使わない。$x\notin\mathfrak m^2$ が直和因子に必須である。

埋め込み次元帰納と次元。

$s=0$ は有限Nakayamaで $\mathfrak m=0$、体である。前の三段により $s>0$ では $B$ の埋め込み次元は $s-1$、その剰余体の射影次元は有限となる。帰納法で $B$ は正則、$\dim B=s-1$。

$B$ は正則で $\dim B=s-1$ なので、長さ $s-1$ の素鎖を取れる。その鎖を $A$ に戻し、初項の下に $A$ の極小素を置く。極小素はAssに含まれ、非零因子 $x$ を避けるので追加包含は真であり $\dim A\ge s$。一方 $\mathfrak m$ は $s$ 元生成で、$\mathfrak m$ 自身がこのイデアル上の極小素だからgeom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-local-bound の生成数上界より $\dim A=\operatorname{ht}\mathfrak m\le s$。従って $\dim A=s$、正則性を得る。

有限Assと極小素の補完。

任意の非零有限加群で非零元の零化イデアルの極大元を取ると前の積の計算で素となり、素巡回部分加群を得る。商で繰り返すと部分加群の真上昇列となり、Noether性により有限段で終了する。これで有限素フィルトレーションを得る。

$0\to U\to M\to V\to0$ で $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(w)$ が素なら、$Aw\cap U=0$ の場合は商の像の零化イデアルが $\mathfrak p$。交叉が非零なら $aw\ne0$ が交叉に入り、$a\notin\mathfrak p$ だから $\operatorname{Ann}(aw)=\mathfrak p$。従って $\operatorname{Ass}M\subset\operatorname{Ass}U\cup\operatorname{Ass}V$。素巡回加群 $A/\mathfrak p$ の非零元の零化イデアルは $\mathfrak p$ なので、フィルトレーションからAss有限となる。

元 $a$ が零因子なら $0\ne W=\{w:aw=0\}$ が有限加群であり、Wの最大零化イデアルは同じ積の論証で素で、$a$ を含むAssMの一元を得る。逆方向はAssの定義から即座に従う。従って零因子集合はAssの合併である。

極小素 $\mathfrak p$ がAssAに入ることも補う。$A_{\mathfrak p}$ は極大素しか持たないNoether局所環で、その極大イデアルは有限生成冪零である。実際各生成元は唯一の素に入るため冪零で、有限個の指数を足せば極大イデアルの冪が零となる。最後の非零冪の元（体なら1）がsocle元となる。その代表 $w/s$ の零化イデアルは局所で $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$。$\mathfrak p$ の有限生成元を全て $w$ 上零にする共通分母 $u\notin\mathfrak p$ を選べば $v=uw$ は局所で非零、$\mathfrak pv=0$。$cv=0$ なら局所で $c/1$ は極大イデアルに入るので $c\in\mathfrak p$。よって $\operatorname{Ann}_A(v)=\mathfrak p$。

全加群の量化。 $r=\operatorname{pd}_A k<\infty$ から有限Mへの上界を得るには、geom-poly-fs-jgr-lem-ci-gdl-double-comparison の二重自由分解の有限対角消去を、kの長さrの分解とMの最小分解に適用する。これで $\operatorname{Tor}_i(M,k)=0$（i>r）、最小自由項が消えて $\operatorname{pd}M\le r$。特に全イデアルIのA/Iにこの上界が成り立つ。geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-regular-local の入射分解とBaerの元計算により、無限生成も含む全加群の上界がrとなる。直和因子への有限pd移送は、geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-ext-criterion の全係数Ext消滅判定とExtの有限直和分解により行う。各加群の自由分解の有限直和は直和加群の自由分解となり、Homを施すと有限直和に分かれるため、このExtの分解が成立する。

正則から有限pdと値の一致は前の正則順方向で証明した。有限gldimなら定義から剰余体pdは有限であり、上の逆証明で正則となる。これで全同値と数値の一致を得る。

$A$ の極大イデアルは有限生成なので、geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-local-bound の生成数上界から $d=\dim A<\infty$。正則局所環の順方向により $\operatorname{gldim}A=d$ である。

任意の $A_{\mathfrak p}$ 加群 $M$ を $A$ 加群とみなし、長さ $d$ 以下の射影分解を取る。局所化の完全性を元で確かめる。完全列の二写像を $f,g$ とし、$b/s$ が局所化した $g$ の核に入れば、ある $t\notin\mathfrak p$ で $tg(b)=0$。従って $tb\in\ker g=\operatorname{im}f$ なので $tb=f(a)$ と書け、 $$\frac b s=f\left(\frac a{ts}\right).$$ 逆包含は合成零から従う。単射保存も、局所化後零なら一分母を掛けて元の核へ戻す同じ計算で得られ、全射保存は代表の持上げによる。これで分解の完全性は保たれる。

射影加群は自由の直和因子である。分裂の二写像を局所化すれば合成恒等は保存され、自由加群の局所化は同じ基底の自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群となる。従って射影項は局所化後も射影である。$M$ は既に $A_{\mathfrak p}$ 加群なので、自然写像 $M\to M_{\mathfrak p}$ は同型。逆写像は $m/s\mapsto s^{-1}m$ であり、分母の釣合いが well-defined 性を保証する。

局所化が非零Noether局所環である根拠も確認する。$1=0$ が $A_{\mathfrak p}$ で成立すれば、ある $s\notin\mathfrak p$ に対し $s\cdot1=0$、すなわち $s=0\in\mathfrak p$ となり矛盾する。局所化のイデアル $J$ は $J=(\{a\in A:a/1\in J\})A_{\mathfrak p}$ である。実際 $a/s\in J$ なら分母が単元なので $a/1\in J$、逆に収縮の元を分母で割っても $J$ に留まる。収縮はNoether環 $A$ の有限生成イデアルだから、同じ有限生成元が $J$ を生成し、局所化もNoetherとなる。$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の商は整域 $A/\mathfrak p$ の非零元を反転した体なので、このイデアルは真である。$a/s$ が $a\notin\mathfrak p$ を満たせば逆元は $s/a$、$a\in\mathfrak p$ なら真イデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ に属して非単元となる。従って非単元はちょうどこのイデアルに集まり、唯一の極大イデアルである。

従って局所化後の列は $M$ 自身の長さ $d$ 以下の射影分解である。任意の $M$ を量化したから $\operatorname{gldim}A_{\mathfrak p}\le d$。$A_{\mathfrak p}$ は非零Noether局所環であり、その剰余体の射影次元も有限となる。前の逆判定で正則性を得る。正則性の局所化を逆判定の証明に使用しておらず、ここは完成した順・逆判定の後の帰結なので循環しない。

完成の定義。 $\widehat R=\varprojlim_nR/J^n$、$\widehat M=\varprojlim_nM/J^nM$ とし、自然写像は $x\mapsto(x\bmod J^nM)_n$ である。$\widehat R$ の $\widehat M$ への作用は各商での積の両立列で定める。

有限 Nakayama と Hilbert。 有限生成 $M=JM$、$J\subset\operatorname{Jac}(R)$ なら、生成関係 $m_i=\sum a_{ij}m_j$ の行列 $1-(a_{ij})$ に余因子行列を掛ける。行列式は $1-b$、$b\in J$ で単元なので $M=0$。Noether 環 $R$ の $R[t]$ は Noether：零イデアルは空族で生成されるので先に分離する。非零イデアルについて、イデアルの次数高々 $n$ の最高係数イデアルは上昇して停止する。停止までの有限個の最高係数生成元を持つ多項式を選び、任意の元の最高次数をその $t$ 冪倍で消して次数を下げると有限生成となる。変数数の帰納と商・局所化で有限型環も Noether である。

Artin–Rees。 有限加群 $M$、イデアル $J$、$L\subset M$ に対し、Rees 環 $R[Jt]$ と加群 $\bigoplus J^nMt^n$ は有限生成で Noether。その部分加群 $\bigoplus(J^nM\cap L)t^n$ も有限斉次生成を持つ。$L=0$ は $c=0$ とし、他は生成次数の最大 $c$ を取ると $J^nM\cap L=J^{n-c}(J^cM\cap L)$（$n\ge c$）。$T=\bigcap J^nM$ にこれを適用すると $T=JT$。$J$ が Jacobson 根基内なら有限 Nakayama で $T=0$。

有限完成の完全性。 $0\to L\to M\to N\to0$ の各商は $0\to L/(L\cap J^nM)\to M/J^nM\to N/J^nN\to0$。左の遷移は全射なので、$N$ の両立代表を $M$ に逐次持ち上げ、前段との差を $L$ の元で補正できる。この帰納で逆極限は右でも全射となる。Artin–Rees は $L\cap J^nM$ と $J^nL$ が同じ位相を定めるから左端は $\widehat L$ であり、完成列は完全である。有限表示 $R^s\to R^r\to M\to0$ に適用し、有限自由完成 $\widehat R^r$ と tensor の右完全性を並べると $\widehat M\simeq\widehat R\otimes_RM$。特に有限 ideal $I\subset R$ の単射は tensor 後も単射となる。局所 $J=\mathfrak m$ の有限商 $R/\mathfrak m^r$ の完成は同じ商なので、この比較から $\widehat R/\mathfrak m^r\widehat R\cong R/\mathfrak m^r$ も得る。

全加群の平坦判定。 全有限 ideal に対する $I\otimes T\to T$ 単射から平坦性を示す。$U\subset R^r$ では最後の座標像 $I$ と核 $U_0\subset R^{r-1}$ を取り、右完全な $U_0\otimes T\to U\otimes T\to I\otimes T\to0$ により、$U\otimes T\to R^r\otimes T$ の核は $U_0\otimes T$ から来る。座標帰納でそれは零である。任意 ideal についても個々の tensor 元は有限個の元の生成 ideal から来るため同じ単射検出ができる。任意自由直和の部分加群では個々の tensor 元を有限台部分自由に置けば同じ証明となる。

任意単射 $L\to N$ に自由全射 $F\to N$ を選び、$H=\ker(F\to N)$、$G$ を $L$ の逆像とする。$L\otimes T\to N\otimes T$ の核元 $z$ を $G\otimes T$ の元 $y$ に持ち上げる。$y$ の $F\otimes T$ への像は右完全性により $H\otimes T$ の元 $h$ の像。$y-h$ は $G\otimes T\to F\otimes T$ の核に属するので零。$H$ は $L$ に零を送るから $z=0$。これで全任意加群の平坦性を得る。

忠実性。 局所 $R$ の極大イデアルを $\mathfrak m$ とすると完成の $\mathfrak m$ 商は $R/\mathfrak m$。任意真 ideal $I$ は $\mathfrak m$ に含まれ、$\widehat R/I\widehat R$ はこの体へ全射するので非零。非零任意 $M$ の非零元が張る $R/I\subset M$ に平坦 tensor を適用すると非零部分加群が残る。従って完成は忠実である。無限加群に Nakayama を使っていない。

証明を三段に分ける。全て任意の体 $k$ で行い、$k$ が無限という仮定を使わない。

第一段：有限個の分母を払う。 生成元 $b_1,\ldots,b_m$ の中から、$k$ 上代数的独立な極大の部分集合 $t_1,\ldots,t_d$ を選び、残りを $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ と書く。$F=k(t_1,\ldots,t_d)$ と置くと各 $\alpha_j$ は $F$ 上代数的である。そうでなければ $t_1,\ldots,t_d,\alpha_j$ が代数的独立となり、極大性に反する。

各 $\alpha_j$ に対し、$F$ 係数のモニック関係 $$ \alpha_j^{e_j}+a_{j,e_j-1}\alpha_j^{e_j-1}+\cdots+a_{j,0}=0 $$ を取る。ここに現れる係数は有限個であり、それぞれ多項式の比である。全ての分母の積を $0\ne h\in k[t_1,\ldots,t_d]$ とし $$ R=k[t_1,\ldots,t_d][1/h] $$ と置けば、全 $a_{j,i}$ は $R$ に属し、$\alpha_j$ は $R$ 上整である。$R$ は体 $K$ の部分環である。また $R[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]$ は元の全生成元を含み、逆に $K$ に含まれるから $$ K=R[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]. $$ モニック関係で高い冪を下げれば、$0\le i_j< e_j$ の有限個の単項式 $\alpha_1^{i_1}\cdots\alpha_s^{i_s}$ で $K$ が $R$ 加群として生成される。$s=0$ では単項式 $1$ だけを使う。

第二段：体を有限加群として含む部分環は体。 任意の $0\ne r\in R$ を取る。$K$ が体なので $u=1/r\in K$ である。有限 $R$ 加群 $K$ の生成元 $v_1,\ldots,v_N$ に対し $uv_j=\sum_i a_{ij}v_i$、$a_{ij}\in R$ と書く。$TI-(a_{ij})$ の余因子行列を掛ける行列式の恒等式から、そのモニック行列式多項式 $\chi(T)\in R[T]$ は $T=u$ で全 $v_i$ を消す。生成元が基底である必要はない。この恒等式は生成関係に掛けて得られるだけである。

$1\in K$ は $v_i$ の $R$ 線型結合なので $\chi(u)=0$ が体 $K$ 内で成立する。ある $c_i\in R$ によって $$ u^N+c_{N-1}u^{N-1}+\cdots+c_0=0 $$ と書ける。$u=1/r$ を代入して $r^{N-1}$ を掛けると $$ 1/r=-c_{N-1}-c_{N-2}r-\cdots-c_0r^{N-1}\in R. $$ 従って $R$ の全非零元は $R$ 内で逆元を持ち、$R$ は体である。

第三段：$d>0$ ならこの局所化は体でない。 まず任意の体 $k$ に対し、$k[T]$ には同伴でないモニック既約多項式が無限個あることを示す。非定数多項式は、可約なら二つの低次数因子に分ける操作を繰り返すことで既約因子を持つ。もしモニック既約が有限個 $p_1,\ldots,p_l$ しかなければ、非定数多項式 $p_1\cdots p_l+1$ の既約因子はそのどれかである。しかしその $p_i$ は積と積に $1$ を加えた多項式の両方を割ることになり、$1$ を割る矛盾となる。既約が一つもない場合も $T$ が既約なので不可能である。この議論は有限体にもそのまま通る。

$d\ge1$ と仮定し、$h$ を $t_2,\ldots,t_d$ の多項式として書く。その非零係数の一つ $c(t_1)\in k[t_1]$ を取る。$c$ は有限個の既約因子しか持たないので、$c$ を割らないモニック既約 $p(t_1)$ を選べる。すると $p$ は $h$ を割らない。実際 $p$ が $h$ を割れば、$t_2,\ldots,t_d$ に関する全係数も $p$ の倍となるからである。$d=1$ では $c=h$ と読めばよい。

$k[t_1]/(p)$ は体である。これは一変数の除法算法から、$p$ と互いに素な非零剰余類が Bézout の等式によって逆元を持つためである。従って $$ k[t_1,\ldots,t_d]/(p) \cong(k[t_1]/(p))[t_2,\ldots,t_d] $$ は整域であり、$p$ は多変数環でも素元である。もし $p$ が $R$ の単元なら、ある $q\in k[t_1,\ldots,t_d]$ と $N\ge0$ について $p(q/h^N)=1$、すなわち $pq=h^N$ となる。素性により $p\mid h$ となって選び方に反する。よって $p$ は体 $R$ の非零非単元であり矛盾する。

従って $d=0$ である。全生成元が $k$ 上代数的となり、第一段の有限単項式生成を $R=k$ に適用すれば $K$ は有限次元 $k$ ベクトル空間となる。$m=0$ なら最初から $K=k$ であり、同じ結論である。