孤立点

$p$ が $A$ の孤立点で $U\cap A=\{p\}$ なら、$U\cap(A\cap W)=\{p\}$ である。逆に $U\cap(A\cap W)=\{p\}$ となる開集合 $U\ni p$ があれば、$U\cap W$ は $p$ を含む開集合で $(U\cap W)\cap A=\{p\}$ である。$\square$

$\{B_0,B_1,B_2,\dots\}$ を $X$ の高々可算な開基とする（開基が有限なら添字は有限個でよい）。$p\in\operatorname{Iso}(A)$ とし、$U\cap A=\{p\}$ となる開集合 $U\ni p$ をとる。開基の定義により $p\in B_k\subset U$ となる $k$ があり、このとき $B_k\cap A=\{p\}$ である（$p\in B_k\cap A\subset U\cap A=\{p\}$）。そこで
$$ k(p):=\min\{k\mid B_k\cap A=\{p\}\} $$
と定める。$k(p)=k(q)=k$ なら $\{p\}=B_k\cap A=\{q\}$ なので $p=q$ である。よって $p\mapsto k(p)$ は $\operatorname{Iso}(A)$ から自然数全体への単射であり、$\operatorname{Iso}(A)$ は高々可算である。$\square$

$W$ を $X$ の空でない開集合とし、$W$ が孤立点を含むことを示す。$W$ に相対位相を入れると、Baireのカテゴリー定理 の記事の命題「開部分空間への遺伝」により $W$ は空でない Baire 空間である。$W$ は高々可算なので、点を並べて $W=\{w_1,w_2,\dots\}$ と書ける（有限なら同じ点をくり返す）。各 $\{w_n\}$ は $X$ の閉集合なので $W$ の閉集合でもある。Baireのカテゴリー定理 の記事の系「閉集合による可算被覆」を $W=\bigcup_n\{w_n\}$ に適用すると、ある $n$ について $\{w_n\}$ の $W$ での内部は空でない。すなわち $\{w_n\}$ は $W$ の開集合であり、$W$ が $X$ の開集合なので $\{w_n\}$ は $X$ の開集合である。よって $w_n\in W$ は $X$ の孤立点である。$\square$

構成。長さ $n$ の列 $s$ ごとに、$x_s\in X$ と $0< r_s\le2^{-n}$ を、次の 2 条件を満たすように帰納的に選ぶ。

• (a) $i=0,1$ について $\overline{B}(x_{si},r_{si})\subset B(x_s,r_s)$（$si$ は $s$ の後ろに $i$ を付けた列）。
• (b) $\overline{B}(x_{s0},r_{s0})\cap\overline{B}(x_{s1},r_{s1})=\emptyset$。
  空列には任意の点 $x_\emptyset$ と $r_\emptyset=1$ をあてる。$x_s,r_s$ が決まったとき、$x_s$ は孤立点でないので、開球 $B(x_s,r_s)$ は $x_s$ と異なる点 $y$ を含む。$\delta:=d(x_s,y)$ とおくと $0<\delta< r_s$ である。
  $$ x_{s0}:=x_s,\qquad x_{s1}:=y,\qquad r_{s0}=r_{s1}:=\min\Bigl\{\frac{\delta}{3},\ \frac{r_s-\delta}{2},\ 2^{-n-1}\Bigr\} $$
  とおく。$d(z,x_s)\le r_{s0}$ なら $d(z,x_s)\le\delta/3< r_s$、$d(z,y)\le r_{s1}$ なら $d(z,x_s)\le r_{s1}+\delta\le(r_s-\delta)/2+\delta< r_s$ なので (a) が成り立つ。$z$ が二つの閉球の両方に入れば $\delta\le d(x_s,z)+d(z,y)\le 2\delta/3$ となり矛盾するので (b) が成り立つ。

極限点。$\alpha=(\alpha_0,\alpha_1,\dots)\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ について、最初の $n$ 項からなる列を $\alpha|n$ と書く。(a) により閉球 $\overline{B}(x_{\alpha|n},r_{\alpha|n})$ は $n$ について縮小していくので、$m\ge n$ なら $x_{\alpha|m}\in\overline{B}(x_{\alpha|n},r_{\alpha|n})$、すなわち $d(x_{\alpha|m},x_{\alpha|n})\le2^{-n}$ である。よって $(x_{\alpha|n})_n$ は Cauchy列であり、完備性から極限 $f(\alpha)\in X$ をもつ。閉球は閉集合なので、すべての $n$ について $f(\alpha)\in\overline{B}(x_{\alpha|n},r_{\alpha|n})$ である。
単射。$\alpha\ne\beta$ とし、初めて異なる項を第 $n$ 項とすると、$s:=\alpha|n=\beta|n$ で、$\alpha|(n+1)$ と $\beta|(n+1)$ は $s0$ と $s1$ である。$f(\alpha)$ と $f(\beta)$ は (b) の交わらない二つの閉球に別々に入るので $f(\alpha)\ne f(\beta)$ である。
連続性。$\alpha$ と $\varepsilon>0$ を与え、$2^{1-n}<\varepsilon$ となる $n$ をとる。最初の $n$ 項が $\alpha$ と一致する列の全体 $U$ は、$n$ 個の準開基の元 $\{\beta\mid\beta_i=\alpha_i\}$（$i< n$）の共通部分なので、直積位相の開集合である。$\beta\in U$ なら $f(\alpha),f(\beta)\in\overline{B}(x_{\alpha|n},r_{\alpha|n})$ なので $d(f(\alpha),f(\beta))\le2\cdot2^{-n}<\varepsilon$ である。よって $f$ は $\alpha$ で連続である。
像への同相。$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ は Cantor 集合と同相であり（Cantor集合 の記事の命題「直積空間との同相」）、したがってコンパクトである。コンパクト空間の閉集合はコンパクトで、その連続像はコンパクトであり、距離空間のコンパクト集合は閉集合である（コンパクト空間 の記事の命題「保存と閉性」）。よって $f$ は閉集合を閉集合に写し、連続な単射なので像への同相写像である。$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ の濃度は $2^{\aleph_0}$ である。$\square$

$\{B_0,B_1,\dots\}$ を $X$ の高々可算な開基とする。
1：$P\subset F$ で $P$ は閉集合。$x\notin F$ なら、開集合 $X\setminus F$ は $x$ を含み $F$ と交わらないので $x\notin P$ である。$x\notin P$ なら、$x$ を含む開集合 $U$ で $U\cap F$ が高々可算なものがあり、$U$ の各点 $y$ にとっても $U$ は $y$ を含む開集合なので $y\notin P$ である。よって $X\setminus P$ は開集合である。
$C$ は高々可算。$y\in C$ なら、$y$ を含む開集合 $U$ で $U\cap F$ が高々可算なものがあり、$y\in B_k\subset U$ となる $k$ について $B_k\cap F$ も高々可算である。したがって $K:=\{k\mid B_k\cap F\text{ は高々可算}\}$ とおくと $C\subset\bigcup_{k\in K}(B_k\cap F)$ であり、右辺は高々可算個の高々可算集合の和集合なので高々可算である（各 $B_k\cap F$ の数え上げを選ぶところで可算選択公理を使う）。
$P$ は孤立点をもたない。$x\in P$ と $x$ を含む開集合 $U$ をとる。$U\cap F$ は非可算で、$U\cap C$ は高々可算なので、$U\cap P=(U\cap F)\setminus(U\cap C)$ は非可算である。とくに $U\cap P$ は $x$ 以外の点を含み、$x$ は $P$ の孤立点でない。以上で 1 が示された。
2：$X$ を完備距離空間とし、$F=P'\sqcup C'$ を 1 の形の分解とする。
$P'\subset P$。$x\in P'$ と $x$ を含む開集合 $U$ をとる。$P'$ は完備距離空間 $X$ の閉集合なので、それ自身完備距離空間であり、Baire 空間である。$U\cap P'$ は $P'$ の開集合なので Baire 空間であり（Baireのカテゴリー定理 の記事の命題「開部分空間への遺伝」）、$x$ を含むので空でなく、lem-iso-open により孤立点をもたない。一点集合は閉集合である。よって thm-iso-baire により $U\cap P'$ は非可算であり、$U\cap F$ も非可算である。したがって $x\in P$ である。
$P\subset P'$。$x\in P\setminus P'$ があったとする。$P'$ は閉集合なので $U:=X\setminus P'$ は $x$ を含む開集合であり、$U\cap F\subset C'$ は高々可算である。これは $x$ が凝縮点であることに反する。
よって $P=P'$、$C=F\setminus P=C'$ である。$F$ が非可算なら、$C$ が高々可算なので $P\ne\emptyset$ である。$P$ は完備距離空間の閉集合で、相対位相で孤立点をもたないので、thm-iso-cantor-scheme により Cantor 集合と同相な部分集合を含む。$\square$