混合モチーフ

前提知識: モチーフ, 混合Hodge構造, Tate捻り, Ext関手

混合モチーフ（mixed motive）は、滑らかでも射影的でもない代数多様体まで含めて、そのコホモロジーの「共通の起源」となるべき対象である。滑らかな射影多様体の $i$ 次コホモロジーは重さ $i$ の純粋な構造をもち、その起源が純粋モチーフである（モチーフ）。ところが $\mathbb{C}^\times$ の $H^1$ は重さ $2$、節点をもつ 3 次曲線の $H^1$ は重さ $0$ であり（混合Hodge構造 の例「代数多様体のコホモロジー」）、一般の多様体のコホモロジーは重さの異なる純粋な部分を積み重ねた混合の構造をもつ。混合モチーフは、この積み重ね方、すなわち拡大の情報まで含めて持つことが期待される。
純粋モチーフと違い、混合モチーフでは拡大が主役になる。たとえば $x\in k^\times$ から作られる Kummer モチーフは、Tate モチーフ $\mathbb{Q}(0)$ の $\mathbb{Q}(1)$ による拡大であり、その周期には $\log x$ が現れる。数体の上の混合 Tate モチーフの圏では、$\mathbb{Q}(0)$ の $\mathbb{Q}(n)$（$n\ge1$）による拡大の全体（$\mathrm{Ext}^1$）が代数的 $K$ 群で記述される。
混合モチーフの圏に期待される性質（Deligne の整理）は、一般の体ではそのままの形では手に入らない。これに対し、数体の上の混合 Tate モチーフの圏は Voevodsky のモチーフの三角圏の中に構成されていて、その $\mathrm{Ext}$ 群が $K$ 群で記述される（Deligne–Goncharov）。この記事では、期待される枠組みと混合 Tate モチーフの圏の定義・既知の結果を出典つきで述べる（それらはこの記事では証明しない）。証明するのは、Hodge 実現の側での拡大の分類である。すなわち、混合 Hodge 構造の圏で $\mathbb{Q}(0)$ の $\mathbb{Q}(n)$ による拡大の全体が $\mathbb{C}/(2\pi i)^n\mathbb{Q}$ になることを示し、$\log$ が定める写像 $k^\times\otimes\mathbb{Q}\to\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Q}$ が単射であることを証明する（Kummer モチーフの Hodge 実現がこの中で $\log x$ に対応することは引用である）。

期待される枠組み

Deligne は、体 $k$ の上の（混合）モチーフの圏 $\mathcal{M}(k)$ に期待される性質を次のようにまとめている（Del94 §1.1、p. 145）。この記事ではこの圏の存在を仮定しない。

• $\mathcal{M}(k)$ は $\mathbb{Q}$ 線形なアーベル圏で、$\mathrm{Hom}$ は有限次元である。
• 各対象 $M$ は有限の増大フィルトレーション $W$（重さのフィルトレーション）をもち、$\mathrm{Gr}^W_nM$ は重さ $n$ の純粋モチーフである（純粋モチーフの圏は半単純であることが期待される）。
• $k$ 上の各代数多様体 $X$ に、モチーフ的コホモロジー $H^i_{\mathrm{mot}}(X)\in\mathcal{M}(k)$ がある。$X$ が射影的で滑らかなら、$H^i_{\mathrm{mot}}(X)$ は重さ $i$ の純粋モチーフである。
• 通常のコホモロジー理論 $H$（Betti・de Rham・$\ell$ 進）ごとに実現関手 $\mathrm{real}$ と同型 $H^i(X)=\mathrm{real}\,H^i_{\mathrm{mot}}(X)$ がある（実現関手(モチーフ)）。
• テンソル積があり、実現と両立する。
  $k\subset\mathbb{C}$ のとき、Betti 実現には混合 Hodge 構造が乗るはずであり（Hodge 実現）、$\mathcal{M}(k)$ の重さのフィルトレーションは混合 Hodge 構造の $W$ に写るはずである。三角圏の段階では、Voevodsky の幾何的モチーフの各対象のコホモロジーに、混合 Hodge 構造を与える混合 Hodge 複体が構成されている（LW12 Théorème 0.1）。

混合 Tate モチーフ

$k$ を標数 $0$ の体とし、$\mathrm{DM}(k)_{\mathbb{Q}}$ を Voevodsky の三角圏のモチーフの圏を $\mathbb{Q}$ 係数にしたもの、$\mathbb{Q}(n)$（$n\in\mathbb{Z}$）をその Tate 対象とする。$\mathrm{Hom}^j(A,B):=\mathrm{Hom}(A,B[j])$ と書く。

$x\in k^\times$ の $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Q}(0),\mathbb{Q}(1))$ における類をもつ拡大を Kummer モチーフ $K(x)$ という（DG05 1.8 の証明 (b)、p. 10）。$\mathbb{Q}(0)$ と $\mathbb{Q}(1)$ の間には $0$ 以外の射がないので、拡大は類によって一意的な同型を除いて決まる（同所）。

Hodge 実現での拡大の分類

拡大と Ext

アーベル圏 $\mathcal{A}$ の対象 $A,B$ について、$B$ による $A$ の拡大とは完全列 $0\to B\xrightarrow{i}E\xrightarrow{\pi}A\to0$ のことである。二つの拡大 $E,E'$ は、$i,\pi$ と両立する同型 $E\to E'$ があるとき同値という。同値類の集合を $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{A}}(A,B)$ と書く。これは Baer 和で群になる（Yoneda の $\mathrm{Ext}$。Ext関手）。Baer 和 $E+E'$ は、$E\oplus E'\to A\oplus A$ を対角 $A\to A\oplus A$ で引き戻し、和 $B\oplus B\to B$ で押し出したものである。分裂する拡大 $A\oplus B$ の類が $0$ である。
以下 $\mathcal{A}=\mathrm{MHS}_{\mathbb{Q}}$ を有理混合 Hodge 構造の圏とする（混合Hodge構造。アーベル圏であることは同記事の定理「混合 Hodge 構造の圏はアーベル圏」）。$\mathbb{Q}(n)$ は $\mathbb{Q}$ ベクトル空間 $(2\pi i)^n\mathbb{Q}\subset\mathbb{C}$ に、重さ $-2n$、型 $(-n,-n)$ の Hodge 構造を与えたものである（Hodge構造 の例「Tate 構造」）。すなわち $W_{-2n-1}=0$、$W_{-2n}=$ 全体、$F^{-n}=\mathbb{C}$、$F^{-n+1}=0$ である。

$\mathrm{Gr}^W_{-2n}=\mathbb{C}$ の上では、$p>-n$ のとき $F^p\cap W_{-2n}=\mathbb{C}(e-a)\cap\mathbb{C}=0$ なので、誘導されるフィルトレーションは $\mathbb{Q}(n)$ のものである。$\mathrm{Gr}^W_0=\mathbb{C}e$ の上では $F^0$ の像が全体、$F^1=0$ なので型 $(0,0)$ である。よって $E_a$ は混合 Hodge 構造で、包含 $\mathbb{Q}(n)\to E_a$ と $e\mapsto1$ による $E_a\to\mathbb{Q}(0)$ は射であり、$E_a$ は $\mathbb{Q}(n)$ による $\mathbb{Q}(0)$ の拡大である。$E_a$ の $\mathbb{Q}$ 基底 $\{(2\pi i)^n,e\}$ を、$\mathbb{C}$ 基底 $\{1,e-a\}$（$W$ と $F$ に合った基底）で書くと
$$ \begin{pmatrix}(2\pi i)^n&a\\0&1\end{pmatrix} $$
となる。$n=1$、$a=\log 2$ のこの行列は、周期(代数多様体) の例「$\log 2$ と相対コホモロジー」の周期行列と同じ形である。

主定理

整数混合 Hodge 構造の圏でも、$\pi(\tilde e)=1$ となる $\tilde e$ を $E_{\mathbb{Z}}$ からとり、単射の部分の $r$ を $(2\pi i)^n\mathbb{Z}$ の元として同じ議論をたどれば $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}(0),\mathbb{Z}(n))\cong\mathbb{C}/(2\pi i)^n\mathbb{Z}$ となり、$n=1$ では指数関数により $\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}\cong\mathbb{C}^\times$ である。Deligne–Goncharov も、$n>0$ のとき $\mathbb{C}/(2\pi i)^n\mathbb{Q}$ が混合 Hodge 構造の圏での $\mathbb{Q}(0)$ の $\mathbb{Q}(n)$ による拡大の群であることを述べている（DG05 p. 9）。

これは thm-mm-mt-properties の 2（$m\le n$ で $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Q}(n),\mathbb{Q}(m))=0$）の Hodge 実現での対応物である。Tate 構造どうしの間では、非自明な拡大は、部分の重さが商の重さより小さいときにだけ起こる。

Kummer モチーフの実現

$k$ を数体とし、埋め込み $k\subset\mathbb{C}$ を一つ固定する。Kummer モチーフ $K(x)$ の Hodge 実現は、thm-mm-ext-hodge の同型のもとで $\log x\bmod2\pi i\mathbb{Q}$ に対応する（DG05 Proposition 2.14 の直後の説明、p. 16。この記事では証明しない）。この写像は単射である。

$K(x)$ の $\ell$ 進実現は、$\mathbb{Z}_\ell$ の $\mathbb{Z}_\ell(1)$ による Galois 加群の拡大 $K_\ell(x)$ を $\mathbb{Q}_\ell$ 係数にしたものである。$K_\ell(x)$ の $\pi^{-1}(1)$ は $x$ の $\ell^n$ 乗根の整合的な系の全体（$\mathbb{Z}_\ell(1)$ 上の torsor）である（DG05 1.8 の証明 (b)、p. 10。Tate捻り）。$K_\ell(x)$ が $\mathbb{Z}_\ell$ 上の Galois 加群の拡大として分裂することは、$\pi^{-1}(1)$ に Galois 群で固定される点があること、すなわち $x$ の $\ell^n$ 乗根の整合的な系がすべて $k$ の中にとれることと同値である（分裂 $s$ に対して $s(1)$ が固定点、固定点 $e$ に対して $c\mapsto ce$ が分裂）。

反例

thm-mm-ext-hodge は次の条件のどれを外しても成り立たない。各行は 1 つの条件だけを外している。

2 行目の写像は $F^0$ の生成元 $e$ を $e-a$ に写すが、$\mathbb{Q}$ 構造 $\mathbb{Q}e$ を保たない。3 行目の写像は $\mathbb{Q}$ 上の混合 Hodge 構造の同型だが、$\mathbb{Q}(n)$ の上で恒等写像でない。

周期と多重ゼータ値

拡大 $E_a$ の行列に $(2\pi i)^n$ と $a$ が並ぶように、混合モチーフの実現を比べる行列の成分は周期である（周期(代数多様体)）。Kummer モチーフでは $\log x$ が、$\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$ の基本群から作られる混合 Tate モチーフでは多重ゼータ値が周期として現れる（反復積分、多重ゼータ値）。Brown は、$\mathbb{Z}$ 上不分岐な混合 Tate モチーフの周期が、$n_i\in\{2,3\}$ の多重ゼータ値 $\zeta(n_1,\dots,n_r)$ の $\mathbb{Q}[\frac1{2\pi i}]$ 係数の一次結合であることを示した（Bro11 Corollary 1.2）。この記事ではこれを証明しない。

関連項目

• 前提: モチーフ, 混合Hodge構造, Tate捻り, Ext関手
• 比較: 実現関手(モチーフ), 周期(代数多様体), Kummer理論
• 直後に読む: モチーフ的Galois群, 代数的K理論
• 発展: 多重ゼータ値, 反復積分, Picard–Fuchs方程式