一般自由性定理

1：$F$ の基底 $(e_j)_{j\in J}$ を取り、各 $e_j$ の $\pi$ による逆像 $n_j\in N$ を $1$ つずつ選ぶ。自由加群の普遍性により $s(e_j)=n_j$ となる $R$ 線形写像 $s\colon F\to N$ がただ $1$ つあり、$\pi\circ s=\mathrm{id}_F$ である。$x\in N$ は $x=(x-s\pi(x))+s\pi(x)$ と分かれ、第 1 項は $\ker\pi=L$ に入る。また $L\cap s(F)=0$ である（$s(y)\in L$ なら $y=\pi s(y)=0$）。よって $N=L\oplus s(F)$、$s(F)\cong F$ である。$L$ の基底と $(n_j)$ を合わせたものが $N$ の基底になる。
2：$n$ についての帰納法。$n=0$ なら $N=0$ は自由である。$N_{n-1}$ が自由なら、完全列 $0\to N_{n-1}\to N\to N/N_{n-1}\to0$ に 1 を使えばよい。$\square$

Noether 環上の有限生成加群には素フィルトレーションがある（素フィルトレーション の記事の定理「有限Noether加群の素フィルトレーション」）。すなわち部分加群の列 $0=M_0\subset M_1\subset\cdots\subset M_n=M$ と素イデアル $\mathfrak p_i$ で $M_i/M_{i-1}\cong A/\mathfrak p_i$ となるものがある。$\mathfrak p_i\ne0$ となる各 $i$ について $0$ でない $a_i\in\mathfrak p_i$ を選び、それらの積を $a$ とする（そのような $i$ がなければ $a=1$）。$A$ は整域なので $a\ne0$ である。
局所化は完全なので、$M_a$ には列 $(M_i)_a$ があり、$(M_i)_a/(M_{i-1})_a\cong(A/\mathfrak p_i)_a$ である。$\mathfrak p_i=0$ ならこれは $A_a$ そのもので、階数 $1$ の自由加群である。$\mathfrak p_i\ne0$ なら $a\in\mathfrak p_i$ は $A/\mathfrak p_i$ に $0$ として作用するので、$a$ を可逆にすると $(A/\mathfrak p_i)_a=0$ である。lem-gf-extension の 2 により $M_a$ は自由で、その階数は $\mathfrak p_i=0$ となる $i$ の個数である。$\square$

$C/(c)$ の素イデアルの長さ $l$ の鎖は、$c$ を含む $C$ の素イデアルの鎖 $\mathfrak q_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak q_l$ に対応する。$c\ne0$ なので $\mathfrak q_0\ne0$ であり、$C$ は整域だから $0$ は素イデアルである。先頭に $0$ を付け加えると長さ $l+1$ の鎖になるので、$l+1\le\dim C=e$ である（Krull次元 の記事の定理「体上有限生成な環の次元」）。$C/(c)=0$ のときは次元 $-1$ で、やはり成り立つ。$\square$

整数 $\delta\ge-1$ について、次の主張 $(\mathrm{P}_\delta)$ を $\delta$ についての帰納法で示す。
$(\mathrm{P}_\delta)$：$\dim B_K\le\delta$ となる任意の有限生成 $A$ 代数 $B$ と、任意の有限生成 $B$ 加群 $M$ について、$0$ でない $a\in A$ で $M_a$ が自由 $A_a$ 加群となるものがある。
$B_K$ の次元は有限なので、すべての $\delta$ で示せば定理が従う。
段 1（$\delta=-1$）．$B_K=0$ なら、$1\in B$ の像が $0$ なので、ある $s\in S$ で $s\cdot1=0$ が $B$ で成り立つ。すると $B_s=0$、$M_s=0$ であり、零加群は自由である。
以下 $\delta\ge0$ とし、$(\mathrm{P}_{\delta-1})$ を仮定する。$\dim B_K\le\delta$ とする。
段 2（整域の場合への帰着）．$B$ は Noether 環 $A$ 上有限生成なので Noether 環であり、$M$ には $B$ 加群としての素フィルトレーション $0=M_0\subset\cdots\subset M_n=M$、$M_i/M_{i-1}\cong B/\mathfrak q_i$ がある。各 $i$ について $0\ne a_i\in A$ で $(B/\mathfrak q_i)_{a_i}$ が $A_{a_i}$ 上自由なものが見つかれば、$a=a_1\cdots a_n$ について各 $(M_i/M_{i-1})_a$ は自由な $A_{a_i}$ 加群をさらに局所化したものなので自由であり、lem-gf-extension の 2 から $M_a$ は自由になる。$(B/\mathfrak q_i)_K$ は $B_K$ の剰余環なので、その次元は $\delta$ 以下である。したがって、$B$ が整域で $M=B$ の場合を示せばよい。さらに $A\to B$ が単射でなければ、核の $0$ でない元 $a$ で $B_a=0$ となるので、$A\subset B$ と仮定してよい。
段 3（正規化と分母の払い）．$B_K$ は $K$ 上有限生成な整域で $0$ でない。正規化の定理により、$K$ 上代数的独立な $z_1,\dots,z_e\in B_K$ で、$B_K$ が $K[z_1,\dots,z_e]$ 上有限になるものがあり、$e=\dim B_K\le\delta$ である。$z_i=b_i/s_i$（$b_i\in B$、$s_i\in S$）と書くと、$s_i$ は $K$ の単元なので $K[z]=K[b]$ である。そこで $z_i$ を $b_i$ に取り替え、$z_i\in B$ としてよい。$B=A[x_1,\dots,x_m]$ と生成元を取る。各 $x_j$ は $K[z]$ 上整なので、$K[z]$ に係数をもつモニック多項式の根である。これらの係数（有限個）に現れる分母をすべて掛けた元を $a\in S$ とする。$B$ は整域で $A\subset B$ だから $S$ の元は $B$ の零因子でなく、$B_a\subset B_K$ とみなせるので、モニック多項式の関係式は $B_a$ の中でも成り立つ。したがって各 $x_j$ は $C:=A_a[z_1,\dots,z_e]$ 上整になり、$B_a=C[x_1,\dots,x_m]$ は $C$ 上有限生成な加群になる（整拡大 の記事の系「有限生成と有限性」）。$z_i$ は $A_a\subset K$ 上でも代数的独立なので、$C$ は $A_a$ 上の多項式環であり、単項式全体を基底とする自由 $A_a$ 加群である。
段 4（自由な部分と余り）．$L=K(z_1,\dots,z_e)$ を $C$ の商体とし、$V=B_a\otimes_CL$ とおく。$V$ は $L$ 上有限次元のベクトル空間で、$B_a$ の元の像で張られる。分母を払えば、$B_a$ の元 $w_1,\dots,w_r$ でその像が $V$ の基底となるものが取れる。写像
$$ \varphi\colon C^r\to B_a,\qquad(c_1,\dots,c_r)\mapsto\sum_ic_iw_i $$
は単射である。実際 $\sum c_iw_i=0$ なら $V$ での一次関係になるので、$L$ の元として $c_i=0$ である。余核 $N=B_a/\varphi(C^r)$ は有限生成 $C$ 加群で、$N\otimes_CL=V/V=0$ である。よって $N$ の各生成元は $0$ でない $C$ の元で消され、それらの積 $c\ne0$ について $cN=0$ となる。
段 5（帰納法）．$N$ は $C/(c)=A_a[z]/(c)$ 上の有限生成加群であり、$A_a\cong A[t]/(at-1)$ なので $C/(c)$ は有限生成 $A$ 代数である。その生成ファイバーは $(C/(c))_K=K[z]/(c)$ で、$c$ は $K[z]$ の $0$ でない元だから、lem-gf-dimension-cut によりその次元は $e-1\le\delta-1$ 以下である。帰納法の仮定 $(\mathrm{P}_{\delta-1})$ により、$0\ne a'\in A$ で $N_{a'}$ が自由 $A_{a'}$ 加群となるものがある。$a$ はすでに $N$ 上可逆なので、$N_{a'}=N_{aa'}$ は自由 $A_{aa'}$ 加群である。完全列
$$ 0\to C^r_{a'}\to(B_a)_{a'}=B_{aa'}\to N_{a'}\to0 $$
で、左の項 $(A_{aa'}[z])^r$ は自由 $A_{aa'}$ 加群、右の項も自由だから、lem-gf-extension の 1 により $B_{aa'}$ は自由 $A_{aa'}$ 加群である。$aa'\ne0$ なので $(\mathrm{P}_\delta)$ が示された。$\square$

自由加群は平坦であり、$A_a$ は $A$ 上平坦だから、$M_a$ は $A$ 上平坦である。$a\notin\mathfrak Q$ なら $M_{\mathfrak Q}$ は $B_a$ 加群 $M_a$ を $B\setminus\mathfrak Q$ で局所化したものである。$A$ 加群の単射 $X\to Y$ について、$X\otimes_AM_{\mathfrak Q}$ は $X\otimes_AM_a$ の局所化であり、局所化は完全なので単射性が保たれる。よって $M_{\mathfrak Q}$ も $A$ 上平坦である。$\mathfrak Q\cap A=0$ なら $a\ne0$ は $\mathfrak Q$ に入らない。$\square$

thm-gf-main を $M=B$ に使い、$B_a$ が自由 $A_a$ 加群となる $a\ne0$ を取る。$A\subset B$ と局所化の完全性から $A_a\subset B_a$ であり、$A_a\ne0$ なので $B_a\ne0$、つまり基底は空でない。$\mathfrak p\in D(a)$ を取る。$B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)=B_a\otimes_{A_a}\kappa(\mathfrak p)$ は $\kappa(\mathfrak p)$ 上の $0$ でないベクトル空間なので $0$ でない環であり、極大イデアルをもつ。この環は $B/\mathfrak pB$ を $A\setminus\mathfrak p$ で局所化したものだから、その素イデアルは $\mathfrak pB$ を含み $A\setminus\mathfrak p$ と交わらない $B$ の素イデアル $\mathfrak Q$ に対応し、$\mathfrak Q\cap A=\mathfrak p$ となる。$\square$