Moore空間

要点：$S^n$ に $N:=\sum_\alpha|d_\alpha|$ 個の小さな円板をとり、円板の外を基点に送り、各円板を一つの球面へ写像度 $\pm1$ で送る。

段 1：自由表示。 $G$ の生成系（たとえば $G$ の元全体）を基底とする自由アーベル群 $F$ から $G$ への全射 $F\to G$ をとり、その核を $K$ とする。自由アーベル群の部分群は自由なので（自由アーベル群 の記事の定理「自由アーベル群の部分群は自由」）、$K$ も自由アーベル群である。$F$ の基底 $(x_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}$ と $K$ の基底 $(y_\beta)_{\beta\in\Lambda'}$ をとり、
$$ y_\beta=\sum_{\alpha\in\Lambda}d_{\beta\alpha}x_\alpha\qquad(d_{\beta\alpha}\in\mathbb{Z},\ \text{各 }\beta\text{ で有限個を除いて }0) $$
と書く。
段 2：胞体を貼る。 $X^n:=\bigvee_{\alpha\in\Lambda}S^n_\alpha$ とする（$\Lambda=\emptyset$ なら一点）。これは $0$ 胞体 1 個と $n$ 胞体 $e^n_\alpha$ からなる CW 複体である。各 $\beta$ について lem-moore-pinch で $\varphi_\beta\colon S^n\to X^n$ を $\deg(q_\alpha\circ\varphi_\beta)=d_{\beta\alpha}$ となるようにとり、$\varphi_\beta$ を接着写像として $(n+1)$ 胞体 $e^{n+1}_\beta$ を貼った空間を $X$ とする。接着写像は $n$ 骨格 $X^n$ に値をもつので、$X$ は CW 複体である。
段 3：ホモロジー。 胞体ホモロジー で計算する。胞体鎖群は $C_0=\mathbb{Z}$、$C_n=\bigoplus_\alpha\mathbb{Z}e^n_\alpha$、$C_{n+1}=\bigoplus_\beta\mathbb{Z}e^{n+1}_\beta$ で、ほかは $0$ である。$n+1\ge2$ なので、胞体境界公式（胞体ホモロジー の記事の定理「胞体境界公式」）により
$$ d_{n+1}(e^{n+1}_\beta)=\sum_\alpha\deg(q_\alpha\circ\varphi_\beta)\,e^n_\alpha=\sum_\alpha d_{\beta\alpha}e^n_\alpha $$
である。$e^n_\alpha\mapsto x_\alpha$ で $C_n\cong F$ と同一視すると、$e^{n+1}_\beta\mapsto y_\beta$ による同型 $C_{n+1}\cong K$ のもとで $d_{n+1}$ は包含 $K\hookrightarrow F$ になる。$d_n\colon C_n\to C_{n-1}$ は $0$ である（$n\ge2$ なら $C_{n-1}=0$、$n=1$ なら $1$ 胞体の両端は同じ $0$ 胞体）。したがって
$$ H_n(X)\cong F/K\cong G,\qquad H_{n+1}(X)=\ker(K\hookrightarrow F)=0,\qquad H_0(X)\cong\mathbb{Z} $$
で、ほかの次数は $0$ である（胞体ホモロジーと特異ホモロジーは同型。同記事の定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」）。$X$ は連結なので $\tilde H_0(X)=0$ であり、条件 1 が成り立つ。
段 4：単連結性。 $n\ge2$ なら $X$ の $1$ 骨格は一点なので、胞体近似定理 の記事の系「低い次元の情報」の 2 により $\pi_1(X)$ は一点の基本群の像で、$0$ である。$\square$

thm-moore-existence の $M(G_n,n)$ を $0$ 胞体で一点和にした $X:=\bigvee_nM(G_n,n)$ をとる。CW 複体と $0$ 胞体の対は良い対なので（Hat02 Proposition A.5, p. 523）、良い対 の記事の定理「ウェッジ和の被約ホモロジー」により $\tilde H_k(X)\cong\bigoplus_n\tilde H_k(M(G_n,n))=G_k$ である。$\square$

$\tilde H_*(X)$ は次数 $n$ の $\mathbb{Z}/m$ だけで、$\tilde H_*(S^{n+1})$ は次数 $n+1$ の $\mathbb{Z}$ だけなので、$q_*$ はどの次数でも $0$ である。普遍係数定理と $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/m$（同記事の命題「Ext の計算」）により、$H^{n+1}(X)\cong\mathbb{Z}/m\ne0$、$H^n(X)\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),\mathbb{Z})=0$ である（$H_{n-1}(X)$ は $0$ または $H_0=\mathbb{Z}$ で自由）。
1 の後半：$(X,S^n)$ は CW 対なので良い対で（Hat02 Proposition A.5, p. 523）、$q\colon(X,S^n)\to(S^{n+1},*)$ は相対ホモロジーの同型を誘導する（良い対 の記事の定理「良い対の相対ホモロジー」）。相対特異鎖複体は自由鎖複体なので、普遍係数定理 の記事の系「ホモロジー同型とコホモロジー」により $q^*\colon H^{n+1}(S^{n+1},*)\to H^{n+1}(X,S^n)$ も同型である。対 $(X,S^n)$ のコホモロジーの長完全列（特異コホモロジー の記事の定理「対の長完全列」）の
$$ H^{n+1}(X,S^n)\to H^{n+1}(X)\to H^{n+1}(S^n)=0 $$
から、$H^{n+1}(X,S^n)\to H^{n+1}(X)$ は全射である。対の写像の可換性から、$q^*\colon H^{n+1}(S^{n+1})\to H^{n+1}(X)$ は「同型 $H^{n+1}(S^{n+1})\cong H^{n+1}(S^{n+1},*)$、同型 $q^*$、この全射」の合成に等しく、像は $H^{n+1}(X)\cong\mathbb{Z}/m\ne0$ 全体である。
2：$\tilde H^*(S^n)$ は次数 $n$ にしかなく、$H^n(X)=0$ なので $j^*$ は $0$ である。写像錐(位相) の記事の定理「写像錐のホモロジー完全列」の $H_n(S^n)\xrightarrow{m}H_n(S^n)\xrightarrow{j_*}H_n(X)\to\tilde H_{n-1}(S^n)=0$ から、$j_*$ は全射 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\ne0$ である。$\square$

そのような分裂があれば、$q^*\colon H^{n+1}(S^{n+1})\to H^{n+1}(X)$ は $\operatorname{Ext}(q_*,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Hom}(q_*,\mathbb{Z})$ と一致する。prop-moore-two-maps の 1 により $H_n$ と $H_{n+1}$ の $q_*$ は $0$ なので、$q^*=0$ となり、同命題に反する。$\square$