フィルトレーション

可換環 $A$ のイデアル $I$ と $A$ 加群 $M$ に対し、$p\ge0$ で $F^pM:=I^pM$、$p< 0$ で $F^pM:=M$ とおく。これは網羅的なフィルトレーションで、$A$ 自身については乗法的である。随伴次数付き環 $\operatorname{gr}_IA=\bigoplus_pI^p/I^{p+1}$ は随伴次数環であり、$I^pM/I^{p+1}M$ は $I^p/I^{p+1}$ と $M/IM$ の元の積で生成されるので、$\operatorname{gr}_IM$ は $\operatorname{gr}^0M=M/IM$ で生成され、$M$ が有限生成なら $\operatorname{gr}_IA$ 上有限生成である（AM69 Proposition 10.22, p. 111 は Noether 環上の安定なフィルトレーションに一般化している）。分離的であることは自明でなく、Noether 局所環の極大イデアルに含まれる $I$ と有限生成加群については Krullの交叉定理 が分離性を保証する。完備化 $\varprojlim M/I^pM$ がI進完備化である。$A=\mathbb{Z}$、$I=(p)$ では $\operatorname{gr}^r\mathbb{Z}=p^r\mathbb{Z}/p^{r+1}\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、完備化はp進整数環 $\mathbb{Z}_p$ である。

体 $k$ 上の多項式環 $P=k[y_1,\dots,y_n]$ の次数 $d$ 以下の多項式全体を $F_dP$ とすると、$F_dP\cdot F_eP\subset F_{d+e}P$ を満たす増大フィルトレーションで、$\operatorname{gr}P\cong P$（$\operatorname{gr}_dP$ は $d$ 次斉次多項式の空間）である。イデアル $I$ による商 $A=P/I$ には、像 $F_dA$ による増大フィルトレーションが誘導される。射影閉包の記事では、これから次数付き環 $\bigoplus_dF_dA\cdot T^d\subset A[T]$ を作り、アフィン多様体の射影閉包の斉次座標環を得ている。

可換環 $A$ 上の可換代数 $B$ の $n$ 階以下の微分作用素全体を $D^n_{B/A}$ とすると、合成について $D^m_{B/A}\cdot D^n_{B/A}\subset D^{m+n}_{B/A}$ を満たす増大フィルトレーションになる（微分作用素 の命題「合成と階数」）。微分作用素の環そのものは一般に非可換であり、随伴次数付き環の元は作用素の最高階の部分（主表象）を表す。

複体 $C^\bullet$ の部分複体の減少列 $(F^pC^\bullet)_p$ を複体のフィルトレーションという（スペクトル系列 の定義「フィルター付き複体」）。各 $\operatorname{gr}^pC^\bullet$ は複体であり、フィルトレーションが有界なら、そのコホモロジーから始まるスペクトル系列が $H^\bullet(C^\bullet)$ に収束する（スペクトル系列 の定理「収束定理」）。有界な二重複体（たとえば第 1 象限のもの）の全複体には、列の番号で切るものと行の番号で切るものの二つの有界なフィルトレーションがあり、二つのスペクトル系列を生む。代数的 de Rham コホモロジーでは、de Rham 複体の次数 $p$ 以上の項だけを残した部分複体 $\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet$ がフィルトレーションをなし、その超コホモロジーの像として Hodgeフィルトレーション が定まる。

組成列 $M=M_0\supset M_1\supset\cdots\supset M_m=0$ は、すべての $\operatorname{gr}$ が単純加群であるような有限フィルトレーションである。また、体上のベクトル空間（あるいはベクトル束）の短完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ に対し、外冪 $\bigwedge^nE$ には $\operatorname{gr}^i\cong\bigwedge^iE'\otimes\bigwedge^{n-i}E''$ となる有限フィルトレーションがあり（この記事では証明しない。λ環 の例「ベクトル束の $K$ 群」に所在がある）、λ環 の記事ではこれを使って $K$ 群の上に外冪の演算を定めている。

$M=N=\mathbb{Z}$ に、$F^pM=\mathbb{Z}$（$p\le0$）、$F^pM=0$（$p\ge1$）と、$F^pN=\mathbb{Z}$（$p\le1$）、$F^pN=0$（$p\ge2$）を与える。恒等写像 $f=\mathrm{id}$ はフィルター付き準同型で全単射だが、$f(F^1M)=0\ne\mathbb{Z}=f(M)\cap F^1N$ なので厳密でない。$\operatorname{gr}^0f\colon\mathbb{Z}\to0$ は単射でなく、$\operatorname{gr}^1f\colon0\to\mathbb{Z}$ は全射でない。フィルター付き準同型が全単射でも、逆写像はフィルター付きとは限らず、$\operatorname{gr}$ は同型にならない。

1・2 行目：どちらも各 $\operatorname{gr}^pM=0$ なので $\operatorname{gr}f$ は単射であるが、$f=0\colon\mathbb{Z}\to0$ は単射でない。1 行目のフィルトレーションは網羅的で分離的でなく、2 行目は分離的で網羅的でない。初項が存在しない元があると、$\operatorname{gr}$ はその元を見ることができない。
3 行目：$\mathbb{Z}$ の $p$ 進フィルトレーションは網羅的で分離的だが、$\varprojlim\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_p$ なので完備でない。$\mathbb{Z}_p$ の $p$ 進フィルトレーションは網羅的・分離的・完備である。$r\ge0$ で $\operatorname{gr}^rf\colon p^r\mathbb{Z}/p^{r+1}\mathbb{Z}\to p^r\mathbb{Z}_p/p^{r+1}\mathbb{Z}_p$ は、どちらも $p^r$ の類で生成される位数 $p$ の巡回群の間の写像で、生成元を生成元に写すので同型である（$r< 0$ では両辺 $0$）。しかし $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ は全射でない（p進整数）。thm-fil-gr-detect の 2 の証明で作った部分和 $s_q$ は $\mathbb{Z}$ の中で収束先をもたない。
4・5 行目：各 $\operatorname{gr}^pN=0$ なので $\operatorname{gr}f$ は全射であるが、$0\to\mathbb{Z}$ は全射でない。4 行目の $N$ は網羅的で分離的でなく、5 行目は分離的で網羅的でない。$M=0$ は完備である。
6 行目：$F^pA\cdot F^qA=(x^{p+q})\times k\subset F^{p+q}A$ であり（$p< 0$ では $F^pA=A$ とする）、$1\in F^0A=A$ なので乗法的なフィルトレーションで、網羅的である。$\operatorname{gr}^pA=(x^p)/(x^{p+1})\times(k/k)\cong k\cdot x^p$ なので $\operatorname{gr}A\cong k[t]$ は整域である。しかし $\bigcap_pF^pA=0\times k\ne0$ で分離的でなく、$(1,0)(0,1)=0$ なので $A$ は零因子をもつ。
7 行目：スペクトル系列 の例「反例：下に有界でないフィルター」の複体である。各 $\operatorname{gr}^pC$（$p\ge0$）は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{3}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で、$3$ 倍は恒等写像なので非輪状であり、$p< 0$ では $\operatorname{gr}^pC=0$ である。このフィルトレーションは網羅的で分離的だが、$F^pC\ne0$ がすべての $p$ で成り立ち有限でない。一方 $H^1(C)=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\ne0$ である。