Borel階層

同義語：Borel hierarchyボレル階層

概要

前提知識: Borel集合, F_σ-集合, G_δ-集合, 距離化可能空間

Borel 階層（Borel hierarchy）とは、Borel集合を、開集合から出発して「可算個の和集合をとる」「可算個の共通部分をとる」操作を何回交互に使えば作れるかで分類した階層である。開集合の族を $\boldsymbol\Sigma^0_1$、閉集合の族を $\boldsymbol\Pi^0_1$ とし、$\boldsymbol\Pi^0_n$ の集合の可算個の和集合の族を $\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$、$\boldsymbol\Sigma^0_n$ の集合の可算個の共通部分の族を $\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ とする。第 2 段の $\boldsymbol\Sigma^0_2$・$\boldsymbol\Pi^0_2$ はそれぞれ F_σ-集合・G_δ-集合の族であり、その先に $G_{\delta\sigma}$-集合・$F_{\sigma\delta}$-集合などが続く。
この記事の主定理は、実数直線 $\mathbb R$ ではこの階層がどの有限の段でも真に増大することである。証明には、一つの集合の切り口として各段のすべての集合を並べる「普遍集合」を Cantor空間の上に作り、対角線論法（Cantorの対角線論法）と同じ形の議論で各段に入らない集合を作る。こうして得た集合を、$\mathbb R$ の中の Cantor集合を経由して $\mathbb R$ に移す。さらに、有限の段を全部合わせても Borel 集合は尽きないこと、可算順序数の段まで延長すれば Borel 集合全体が得られることも示す。

定義

以下、可算個の和集合・共通部分をとる操作では、可算選択公理を断りなく使う。空間は距離化可能空間とする（定義そのものは任意の位相空間で意味をもつが、基本的な包含関係には距離化可能性が要る。thm-borel-hierarchy-inclusions の後の注意を参照）。

有限の段の Borel 階層

$X$ を距離化可能空間とする。$X$ の部分集合の族 $\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$、$\boldsymbol\Pi^0_n(X)$（$n\ge1$）を次で帰納的に定める。

$\boldsymbol\Sigma^0_1(X)$ は $X$ の開集合全体、$\boldsymbol\Pi^0_1(X)$ は $X$ の閉集合全体である。
$\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}(X)$ は、$\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ の元の可算個の和集合 $\bigcup_{k\in\mathbb N}A_k$ 全体である。
$\boldsymbol\Pi^0_{n+1}(X)$ は、$\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ の元の可算個の共通部分 $\bigcap_{k\in\mathbb N}A_k$ 全体である。
さらに $\boldsymbol\Delta^0_n(X):=\boldsymbol\Sigma^0_n(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ とおく。$\boldsymbol\Delta^0_1(X)$ は開かつ閉な集合（開かつ閉集合）の全体である。

可算個の和集合には同じ集合を何度並べてもよい。とくに有限個の和集合、1 個だけの和集合も含まれる。

補集合による双対性

各 $n\ge1$ について、$A\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ であることと $X\setminus A\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ であることは同値である。

$n=1$ は閉集合の定義である。$n$ で成り立つとする。De Morganの法則 $X\setminus\bigcap_kA_k=\bigcup_k(X\setminus A_k)$ により、$A$ が $\boldsymbol\Sigma^0_n$ の集合 $A_k$ の可算個の共通部分であることと、$X\setminus A$ が $\boldsymbol\Pi^0_n$ の集合 $X\setminus A_k$（帰納法の仮定）の可算個の和集合であることは同値である。$\square$

古典的な名前との対応は次のとおりである。添字 $\sigma$ は可算個の和集合、$\delta$ は可算個の共通部分を表す。

段	$\boldsymbol\Sigma^0_n$	$\boldsymbol\Pi^0_n$
$n=1$	開集合	閉集合
$n=2$	$F_\sigma$-集合	$G_\delta$-集合
$n=3$	$G_{\delta\sigma}$-集合	$F_{\sigma\delta}$-集合
$n=4$	$F_{\sigma\delta\sigma}$-集合	$G_{\delta\sigma\delta}$-集合

直感

$A$ が $\boldsymbol\Sigma^0_3$ であることは、開集合 $G_{k,j}$ によって
$$x\in A\iff\text{ある }k\text{ について、すべての }j\text{ で }x\in G_{k,j}$$
と書けることである。一般に $\boldsymbol\Sigma^0_n$ は「存在する」から始まって「すべての」と交互に $n-1$ 回の自然数についての量化を、最後の量化が「すべての」なら開集合、「存在する」なら閉集合の前に置いた形の条件で定まる集合（$n=1$ では量化のない開集合）、$\boldsymbol\Pi^0_n$ は「すべての」から始まる同じ形の条件で定まる集合（$n=1$ では閉集合）である。段の番号は、集合を定める条件の量化の入れ子の深さを測っている。
たとえば連続関数の列 $f_k\colon\mathbb R\to\mathbb R$ が収束する点の集合は、「すべての $m$ について、ある $N$ があって、すべての $k,l\ge N$ で $|f_k(x)-f_l(x)|\le1/m$」という条件で定まる。最も内側の「すべての $k,l\ge N$」は閉集合の共通部分なので一つの閉集合にまとまり、条件は閉集合の前に $\forall\exists$ を置いた形になるので、$\boldsymbol\Pi^0_3$（$F_{\sigma\delta}$-集合）である（Borel集合の命題「連続関数の列が収束する点の集合」）。この条件から量化を一つ減らせるかどうか、つまり階層が本当に段ごとに大きくなるかどうかが、以下の主題である。

基本性質

閉包性・連続写像・部分空間

$X,Y$ を距離化可能空間とし、$n\ge1$ とする。

$\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ は可算個の和集合と有限個の共通部分で閉じている。$\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ は可算個の共通部分と有限個の和集合で閉じている。$\boldsymbol\Delta^0_n(X)$ は補集合・有限個の和集合・有限個の共通部分で閉じている。
$f\colon Y\to X$ が連続なら、$A\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ について $f^{-1}(A)\in\boldsymbol\Sigma^0_n(Y)$ であり、$\boldsymbol\Pi^0_n$ についても同様である。とくに同相写像は各段を保つ。
$Y\subset X$ を部分空間とする。$\boldsymbol\Sigma^0_n(Y)=\{Y\cap B\mid B\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)\}$ であり、$\boldsymbol\Pi^0_n$ についても同様である。

証明を開く

どれも $n$ についての帰納法による。

1. $n=1$ では、開集合は任意個の和集合と有限個の共通部分で閉じ、閉集合はその双対である。$n$ で成り立つとする。$\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ の集合の可算個の和集合は、$\boldsymbol\Pi^0_n$ の集合の可算個の可算個の和集合であり、$\mathbb N\times\mathbb N$ が可算なので $\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ に属する。二つの $\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ の集合の共通部分は $\bigl(\bigcup_iA_i\bigr)\cap\bigl(\bigcup_jB_j\bigr)=\bigcup_{i,j}(A_i\cap B_j)$ であり、帰納法の仮定から $A_i\cap B_j\in\boldsymbol\Pi^0_n$ なので、$\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ に属する。$\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ については prop-borel-hierarchy-duality で補集合をとればよい。$\boldsymbol\Delta^0_n$ については、$\boldsymbol\Sigma^0_n$ と $\boldsymbol\Pi^0_n$ の両方の閉包性と双対性からわかる。

2. $n=1$ は連続性の定義である。逆像は補集合・和集合・共通部分と交換するので、帰納法が進む。

3. $n=1$ は相対位相の定義（と閉集合についてはその補集合）である。$n$ で成り立つとする。$A=\bigcup_kA_k$、$A_k\in\boldsymbol\Pi^0_n(Y)$ なら、帰納法の仮定から $A_k=Y\cap B_k$、$B_k\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ と書け、$A=Y\cap\bigcup_kB_k$ である。逆に $Y\cap\bigcup_kB_k=\bigcup_k(Y\cap B_k)$ である。$\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ については $Y\setminus(Y\cap B)=Y\cap(X\setminus B)$ と双対性による。$\square$

段の包含関係

$X$ を距離化可能空間とする。すべての $n\ge1$ について
$$\boldsymbol\Sigma^0_n(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_n(X)\subset\boldsymbol\Delta^0_{n+1}(X)$$
である。したがって $\boldsymbol\Sigma^0_n\subset\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$、$\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$、$\boldsymbol\Sigma^0_n\subset\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$、$\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ が成り立つ。

$\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ と $\boldsymbol\Sigma^0_n\subset\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ は、同じ集合だけを並べた和集合・共通部分を考えれば定義から従う。残りの $\boldsymbol\Sigma^0_n\subset\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ を帰納法で示す（$\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ は補集合をとればよい）。
$n=1$：距離化可能空間の閉集合は $G_\delta$-集合である（G_δ-集合の命題「距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合」）。補集合をとれば、開集合は閉集合の可算個の和集合、すなわち $\boldsymbol\Sigma^0_2$ の集合である。
$n\ge2$：$\boldsymbol\Pi^0_{n-1}\subset\boldsymbol\Pi^0_n$ が成り立っていれば、$\boldsymbol\Sigma^0_n$ の元（$\boldsymbol\Pi^0_{n-1}$ の元の可算和）は $\boldsymbol\Pi^0_n$ の元の可算和なので $\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ に属する。$\square$

距離化可能性を外すと $n=1$ の段から崩れる。開集合が $F_\sigma$-集合にならない空間がある（F_σ-集合の注意「反例：開集合が $F_\sigma$-集合でない空間」）。そのような空間では $\boldsymbol\Sigma^0_1\not\subset\boldsymbol\Sigma^0_2$ であり、段の番号が単調に増大する階層にならない。

普遍集合と対角線論法

以下、Cantor空間 $\mathcal C=\{0,1\}^{\mathbb N}$ を使う。$\mathcal C$ は距離化可能でコンパクトであり、筒集合（最初の有限個の項を指定した集合）が可算な開基をなす。距離化可能空間の直積 $\mathcal C\times X$ も距離化可能である。$P\subset\mathcal C\times X$ と $p\in\mathcal C$ について、切り口を $P[p]:=\{x\in X\mid(p,x)\in P\}$ と書く。

普遍集合

$X$ を距離化可能空間、$\Gamma$ を $\boldsymbol\Sigma^0_n$ または $\boldsymbol\Pi^0_n$ とする。$P\subset\mathcal C\times X$ が $\Gamma(X)$ の普遍集合であるとは、$P\in\Gamma(\mathcal C\times X)$ であり、切り口の全体 $\{P[p]\mid p\in\mathcal C\}$ が $\Gamma(X)$ にちょうど一致することをいう。

切り口 $P[p]$ は連続写像 $x\mapsto(p,x)$ による $P$ の逆像なので、$P\in\Gamma(\mathcal C\times X)$ ならどの切り口も $\Gamma(X)$ に属する（prop-borel-hierarchy-closure の 2）。普遍集合であるための要点は、逆に $\Gamma(X)$ のすべての集合が切り口として現れることである。

普遍集合の存在

$X$ を可算な開基をもつ距離化可能空間とする。各 $n\ge1$ について、$\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ の普遍集合 $U_n\subset\mathcal C\times X$ が存在し、その補集合 $V_n:=(\mathcal C\times X)\setminus U_n$ は $\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ の普遍集合である。

証明の考え方：開集合は可算な開基のどの元の和集合かで決まるので、それを $0,1$ の列 $p$ で記録する。次の段では、可算個の列 $p^0,p^1,\dots$ を一つの列 $r$ に詰め込み、$r$ から各 $p^k$ を連続に取り出す。

証明を開く

$n=1$。開基を $(B_m)_{m\in\mathbb N}$ とし（有限なら繰り返す）、 $$U_1:=\{(p,x)\in\mathcal C\times X\mid\text{ある }m\text{ で }p_m=1\text{ かつ }x\in B_m\}=\bigcup_m\bigl(\{p\mid p_m=1\}\times B_m\bigr)$$ とおく。各 $\{p\mid p_m=1\}$ は $\mathcal C$ の開集合なので $U_1$ は開集合であり、$U_1[p]=\bigcup_{p_m=1}B_m$ である。$X$ の開集合 $O$ は $O=\bigcup\{B_m\mid B_m\subset O\}$ と書けるので、$p_m=1\iff B_m\subset O$ と定めれば $U_1[p]=O$ である（$O=\emptyset$ ならすべての項が $0$ の列）。よって $U_1$ は $\boldsymbol\Sigma^0_1(X)$ の普遍集合であり、$V_1[p]=X\setminus U_1[p]$ なので $V_1$ は閉集合全体の普遍集合である。

列の詰め込み。全単射 $\pi\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N$、たとえば $\pi(k,j)=2^k(2j+1)-1$ を固定する。$r\in\mathcal C$ と $k\in\mathbb N$ について $d_k(r)\in\mathcal C$ を $d_k(r)_j:=r_{\pi(k,j)}$ と定める。$d_k(r)$ の各座標は $r$ の一つの座標なので、$d_k\colon\mathcal C\to\mathcal C$ は連続である。また、任意の列の列 $(p^k)_{k\in\mathbb N}$ について $r_{\pi(k,j)}:=p^k_j$ とおけば、すべての $k$ で $d_k(r)=p^k$ となる。

$n$ から $n+1$ へ。$U_n,V_n$ が主張どおりのものとして、 $$U_{n+1}:=\{(r,x)\mid\text{ある }k\text{ で }(d_k(r),x)\in V_n\}=\bigcup_k(d_k\times\mathrm{id}_X)^{-1}(V_n)$$ とおく。$d_k\times\mathrm{id}_X$ は連続なので、各項は $\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C\times X)$ に属し（prop-borel-hierarchy-closure の 2）、$U_{n+1}\in\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}(\mathcal C\times X)$ である。$A\in\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}(X)$ を $A=\bigcup_kA_k$、$A_k\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ と書く。帰納法の仮定から $V_n[p^k]=A_k$ となる $p^k$ を各 $k$ で選び、それらを詰め込んだ $r$ をとれば、$U_{n+1}[r]=\bigcup_kV_n[d_k(r)]=\bigcup_kA_k=A$ である。よって $U_{n+1}$ は $\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}(X)$ の普遍集合である。補集合 $V_{n+1}$ は prop-borel-hierarchy-duality により $\boldsymbol\Pi^0_{n+1}(\mathcal C\times X)$ に属し、$V_{n+1}[r]=X\setminus U_{n+1}[r]$ なので $\boldsymbol\Pi^0_{n+1}(X)$ の普遍集合である。$\square$

Cantor 空間での階層の真の増大

$n\ge1$ とし、$U_n,V_n$ を $X=\mathcal C$ についての thm-borel-hierarchy-universal の集合とする。
$$D_n:=\{x\in\mathcal C\mid(x,x)\notin U_n\},\qquad E_n:=\mathcal C\setminus D_n$$
とおく。このとき $D_n\in\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)\setminus\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$、$E_n\in\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)\setminus\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ である。

対角写像 $\delta(x):=(x,x)$ は連続であり、$D_n=\delta^{-1}(V_n)$ なので、prop-borel-hierarchy-closure の 2 により $D_n\in\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ である。
$D_n\in\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ と仮定する。$U_n$ は普遍集合なので、$U_n[p]=D_n$ となる $p\in\mathcal C$ がある。すると
$$p\in D_n\iff(p,p)\notin U_n\iff p\notin U_n[p]\iff p\notin D_n$$
となって矛盾する。よって $D_n\notin\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ である。$E_n$ についての主張は prop-borel-hierarchy-duality による。$\square$

これは Cantorの定理の証明と同じ形である。$p\mapsto U_n[p]$ は $\mathcal C$ から $\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ への全射であり、「自分の番号を含まない」という対角の条件で作った $D_n$ は、どの番号の切り口とも一点で食い違う。違いは、$D_n$ が一つ上の段（の双対）に収まることを、連続写像 $\delta$ による逆像で確かめられる点にある。

Cantor 空間での真の包含

$\mathcal C$ において、すべての $n\ge1$ で次の包含はどれも真の包含である。
$$\boldsymbol\Delta^0_n\subsetneq\boldsymbol\Sigma^0_n,\quad\boldsymbol\Delta^0_n\subsetneq\boldsymbol\Pi^0_n,\quad\boldsymbol\Sigma^0_n\cup\boldsymbol\Pi^0_n\subsetneq\boldsymbol\Delta^0_{n+1}.$$
とくに $\boldsymbol\Sigma^0_n\subsetneq\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$、$\boldsymbol\Pi^0_n\subsetneq\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ であり、$\boldsymbol\Sigma^0_n$ と $\boldsymbol\Pi^0_n$ はどちらも他方に含まれない。

証明を開く

最初の二つは thm-borel-hierarchy-cantor の $E_n$ と $D_n$ による。三つ目を示す。$i=0,1$ について $\sigma_i(x):=(i,x_0,x_1,\dots)$ とおくと、$\sigma_i$ は $\mathcal C$ から開かつ閉な筒集合 $[i]$（最初の項が $i$ の列全体）への同相写像である。 $$A:=\sigma_0(D_n)\cup\sigma_1(E_n)$$ とおく。$\sigma_0(D_n)\in\boldsymbol\Pi^0_n([0])$ なので、prop-borel-hierarchy-closure の 3 によりある $B\in\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ で $\sigma_0(D_n)=[0]\cap B$ と書け、$[0]$ は閉集合なので thm-borel-hierarchy-inclusions により $\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ に属し、有限個の共通部分についての閉包性（同じ 1）から $\sigma_0(D_n)\in\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ である。同様に $[1]$ は開集合なので $\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ に属し、$\sigma_1(E_n)\in\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ である。thm-borel-hierarchy-inclusions により両方とも $\boldsymbol\Delta^0_{n+1}$ に属し、その和 $A$ も $\boldsymbol\Delta^0_{n+1}$ に属する。一方、$\sigma_0^{-1}(A)=D_n$ は $\boldsymbol\Sigma^0_n$ に属さないので、prop-borel-hierarchy-closure の 2 により $A\notin\boldsymbol\Sigma^0_n$ である。同様に $\sigma_1^{-1}(A)=E_n$ から $A\notin\boldsymbol\Pi^0_n$ である。

最後の主張：$D_n\in\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Pi^0_{n+1}$ であり $D_n\notin\boldsymbol\Sigma^0_n$ なので $\boldsymbol\Pi^0_n\not\subset\boldsymbol\Sigma^0_n$ である。$\boldsymbol\Sigma^0_n=\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ なら $\boldsymbol\Pi^0_n\subset\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}=\boldsymbol\Sigma^0_n$ となって矛盾するので、$\boldsymbol\Sigma^0_n\subsetneq\boldsymbol\Sigma^0_{n+1}$ である。$\boldsymbol\Pi^0_n$ についても同様である。$\square$

実数直線への移送

階層の真の増大

$X$ を距離化可能空間とし、$\mathcal C$ と同相な閉集合 $K\subset X$ を含むとする。このとき cor-borel-hierarchy-strict の包含は $X$ でもすべて真の包含である。とくに $\mathbb R$、$\mathbb R^m$、孤立点をもたない空でない完備距離空間で、Borel 階層はどの有限の段でも真に増大する。

同相写像 $\varphi\colon\mathcal C\to K$ を固定する。
移送の補題。$n\ge1$ と $S\subset K$ について、(a) $S\in\boldsymbol\Pi^0_n(K)$ なら $S\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$、(b) $n\ge2$ で $S\in\boldsymbol\Sigma^0_n(K)$ なら $S\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$、(c) $S\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ なら $S\in\boldsymbol\Sigma^0_n(K)$、$S\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ なら $S\in\boldsymbol\Pi^0_n(K)$ である。実際、prop-borel-hierarchy-closure の 3 により $S=K\cap B$（$B$ は $X$ の同じ段の集合）と書ける。$K$ は閉集合なので $K\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\subset\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ であり、$n\ge2$ なら thm-borel-hierarchy-inclusions により $K\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ でもある。同じ 1 の有限個の共通部分についての閉包性から (a)(b) が従う。(c) は $S=K\cap S$ と同じ 3 による。
$\boldsymbol\Pi^0_n\setminus\boldsymbol\Sigma^0_n$。$F_n:=\varphi(D_n)$ とおく。同相写像は段を保つので $F_n\in\boldsymbol\Pi^0_n(K)$、(a) により $F_n\in\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ である。$F_n\in\boldsymbol\Sigma^0_n(X)$ なら (c) により $F_n\in\boldsymbol\Sigma^0_n(K)$ で、$\varphi$ で引き戻すと $D_n\in\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ となって矛盾する。
$\boldsymbol\Sigma^0_n\setminus\boldsymbol\Pi^0_n$。$n\ge2$ では $G_n:=\varphi(E_n)$ が (b)(c) により同様に条件を満たす。$n=1$ では、$K$ の点 $y$ をとる。$\mathcal C$ は孤立点をもたないので $y$ は $K$ の孤立点でなく、$X$ の孤立点でもない。$X$ は距離化可能なので $\{y\}$ は閉集合であり、$X\setminus\{y\}$ は開集合で、$y$ はその閉包に属するので閉集合でない。
$\boldsymbol\Delta^0_{n+1}\setminus(\boldsymbol\Sigma^0_n\cup\boldsymbol\Pi^0_n)$。cor-borel-hierarchy-strict の証明の $A$ について $\varphi(A)$ を考えると、$n+1\ge2$ なので (a)(b) により $\varphi(A)\in\boldsymbol\Delta^0_{n+1}(X)$ であり、(c) と $\varphi$ による引き戻しで $\varphi(A)\notin\boldsymbol\Sigma^0_n(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ である。残りの主張は cor-borel-hierarchy-strict の証明の最後の段落と同じ議論による。
例の空間。$\mathbb R$ の中の Cantor集合は閉集合で $\mathcal C$ と同相であり（Cantor集合の命題「直積空間との同相」）、$\mathbb R^m$ では $\mathbb R\times\{0\}$ の中のその写しが閉集合である。孤立点をもたない空でない完備距離空間には、$\mathcal C$ から像への同相写像になる連続な単射がある（孤立点の定理「完全集合への Cantor 集合の埋め込み」）。コンパクトな $\mathcal C$ の像は閉集合である。$\square$

移送で注意が要るのは、$K$ の相対開集合が $X$ の開集合とは限らないことである。たとえば $\mathbb R$ の中の Cantor 集合 $C$ の相対開集合 $C\cap(0,1/2)$ は $\mathbb R$ の開集合でない。そのため (b) は $n\ge2$ に限り、$n=1$ の $\boldsymbol\Sigma^0_1\setminus\boldsymbol\Pi^0_1$ の集合は別に用意した。

実数直線の低い段の具体例

有理数全体 $\mathbb Q$ は $\boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb R)\setminus\boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb R)$ に属する。可算個の一点集合の和なので $F_\sigma$-集合であり、$G_\delta$-集合でないことは F_σ-集合の命題「有理数全体は $G_\delta$-集合でない」である（$\mathbb R$ の Baire 性を使う）。補集合の無理数全体は $\boldsymbol\Pi^0_2\setminus\boldsymbol\Sigma^0_2$ に属する。
負の有理数と正の無理数の和集合 $(\mathbb Q\cap(-\infty,0))\cup((0,\infty)\setminus\mathbb Q)$ は、$F_\sigma$-集合と $G_\delta$-集合の和なので $\boldsymbol\Delta^0_3(\mathbb R)$ に属し、$\boldsymbol\Sigma^0_2\cup\boldsymbol\Pi^0_2$ には属さない（Borel集合の例「$G_\delta$ でも $F_\sigma$ でもない Borel 集合」）。これは cor-borel-hierarchy-strict の証明の $A$ と同じ「二つの部分に別々の段の集合を置く」形の具体例である。
古典的な二つの列 $F_\sigma, F_{\sigma\delta}, F_{\sigma\delta\sigma},\dots$（$\boldsymbol\Sigma^0_2,\boldsymbol\Pi^0_3,\boldsymbol\Sigma^0_4,\dots$）と $G_\delta, G_{\delta\sigma}, G_{\delta\sigma\delta},\dots$（$\boldsymbol\Pi^0_2,\boldsymbol\Sigma^0_3,\boldsymbol\Pi^0_4,\dots$）は、thm-borel-hierarchy-real によりどれも次の項で真に大きくなる。$G_{\delta\sigma}$-集合の族と $F_{\sigma\delta}$-集合の族はどちらも他方に含まれない（GO03 第 8 章 Example 9 はこの二つの列を挙げている）。

有限の段で尽きないこと

各段の集合は Borel 集合である。開集合は Borel 集合であり、Borel 集合の族は補集合と可算個の和集合で閉じているからである（Borel集合）。しかし有限の段を全部合わせても、Borel 集合は尽きない。

有限の段に入らない Borel 集合

$n\in\mathbb N$ について、$\tau_n\colon\mathcal C\to\mathcal C$ を「先頭に $0$ を $n$ 個と $1$ を 1 個付け加える」写像 $\tau_n(x):=(0,\dots,0,1,x_0,x_1,\dots)$ とし、
$$B:=\bigcup_{n\ge1}\tau_n(D_n)$$
とおく（$D_n$ は thm-borel-hierarchy-cantor の集合）。$B$ は Borel 集合であるが、どの $n\ge1$ についても $\boldsymbol\Sigma^0_n(\mathcal C)$ にも $\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ にも属さない。thm-borel-hierarchy-real の仮定を満たす $X$（たとえば $\mathbb R$）でも、$B$ の像として同じ性質をもつ集合がある。

証明を開く

$\tau_n$ は $\mathcal C$ から開かつ閉な筒集合 $[0^n1]$（最初の $n+1$ 項が $0,\dots,0,1$ の列全体）への同相写像であり、これらの筒集合は互いに交わらない。cor-borel-hierarchy-strict の証明と同じ議論で $\tau_n(D_n)\in\boldsymbol\Pi^0_n(\mathcal C)$ であり、とくに Borel 集合なので、その可算和 $B$ も Borel 集合である。

$m\ge1$ を固定する。筒集合が互いに交わらないので $\tau_m^{-1}(B)=D_m$ である。もし $B\in\boldsymbol\Sigma^0_m$ なら、prop-borel-hierarchy-closure の 2 により $D_m\in\boldsymbol\Sigma^0_m$ となり thm-borel-hierarchy-cantor に反する。よって $B$ はどの $\boldsymbol\Sigma^0_m$ にも属さない。もし $B\in\boldsymbol\Pi^0_m$ なら thm-borel-hierarchy-inclusions により $B\in\boldsymbol\Sigma^0_{m+1}$ となり、いま示したことに反する。

$X$ と同相写像 $\varphi\colon\mathcal C\to K$ については、thm-borel-hierarchy-real の証明の移送の補題 (a) により各 $\varphi(\tau_n(D_n))$ は $\boldsymbol\Pi^0_n(X)$ に属し、$\varphi(B)$ は Borel 集合である。$\varphi(B)\in\boldsymbol\Sigma^0_m(X)$ なら補題 (c) と $\varphi$ による引き戻しで $B\in\boldsymbol\Sigma^0_m(\mathcal C)$ となって矛盾し、$\boldsymbol\Pi^0_m$ についても同様である。$\square$

可算順序数の段への延長

そこで階層を順序数の段に延長する。$1\le\xi$ を可算順序数（非可算順序数 $\omega_1$ より小さい順序数）とし、$\boldsymbol\Sigma^0_1(X)$ を開集合全体、$\xi>1$ について $\boldsymbol\Sigma^0_\xi(X)$ を「ある $\eta< \xi$ について $\boldsymbol\Pi^0_\eta(X)$ に属する集合」の可算個の和集合の全体、$\boldsymbol\Pi^0_\xi(X)$ を $\boldsymbol\Sigma^0_\xi(X)$ の元の補集合の全体と定める（Mos09 1F 節）。有限の $\xi$ では thm-borel-hierarchy-inclusions により def-borel-hierarchy と一致する。prop-borel-hierarchy-not-exhausted の $B$ は $\boldsymbol\Sigma^0_\omega$ に属する。

Borel 集合全体は可算の段で尽きる

距離化可能空間 $X$ の Borel 集合全体は $\bigcup_{1\le\xi< \omega_1}\boldsymbol\Sigma^0_\xi(X)$ に等しい。

証明を開く

右辺を $\mathcal S$ とおく。$\xi$ についての超限帰納法で $\boldsymbol\Sigma^0_\xi(X)$ と $\boldsymbol\Pi^0_\xi(X)$ の元は Borel 集合なので、$\mathcal S$ は Borel 集合の族に含まれる。逆を示すには、$\mathcal S$ が開集合を含む σ-代数（σ-代数）であることを示せばよい。開集合は $\boldsymbol\Sigma^0_1$ に属する。$A\in\boldsymbol\Sigma^0_\xi$ なら $X\setminus A\in\boldsymbol\Pi^0_\xi$ であり、これ 1 個だけの和集合として $X\setminus A\in\boldsymbol\Sigma^0_{\xi+1}$ である。$A_k\in\boldsymbol\Sigma^0_{\xi_k}$（$k\in\mathbb N$）なら、同じ理由で $X\setminus A_k\in\boldsymbol\Sigma^0_{\xi_k+1}$、すなわち $A_k\in\boldsymbol\Pi^0_{\xi_k+1}$ である。非可算順序数の定理「可算部分集合の有界性」により $\zeta:=\sup_k(\xi_k+1)< \omega_1$ なので、$\bigcup_kA_k\in\boldsymbol\Sigma^0_{\zeta+1}\subset\mathcal S$ である。$\square$

反例：仮定を外すと崩れること

外す仮定	反例	成り立たなくなること
距離化可能（thm-borel-hierarchy-inclusions）	開集合が $F_\sigma$-集合でない空間（F_σ-集合）	$\boldsymbol\Sigma^0_1\subset\boldsymbol\Sigma^0_2$
$\mathcal C$ と同相な閉集合を含む（thm-borel-hierarchy-real）	有理数の空間 $\mathbb Q$	第 2 段から先の真の増大
$\mathcal C$ と同相な閉集合を含む（thm-borel-hierarchy-real）	離散空間 $\mathbb N$	第 1 段から先の真の増大
有限の段だけで Borel 集合が尽きる（期待）	prop-borel-hierarchy-not-exhausted の $B$	$\bigcup_n\boldsymbol\Sigma^0_n$ は Borel 集合全体でない

階層が途中で止まる空間

$\mathbb Q$ は距離化可能であるが、可算なので $\mathcal C$（非可算）と同相な部分集合を含まない。$\mathbb Q$ のどの部分集合も、可算個の一点集合（閉集合）の和なので $\boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb Q)$ に属し、補集合をとれば $\boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb Q)$ にも属する。したがって $\boldsymbol\Delta^0_2(\mathbb Q)=\boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb Q)=\boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb Q)$ はすべての部分集合からなり、第 2 段から先は真に増大しない。一方、$\mathbb Q\setminus\{0\}$ は開集合で閉集合でないので、第 1 段では $\boldsymbol\Sigma^0_1\neq\boldsymbol\Pi^0_1$ である。離散空間 $\mathbb N$ ではすべての部分集合が開かつ閉なので、$\boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb N)$ がすでにすべての部分集合からなる。

補足

より一般の空間。thm-borel-hierarchy-cantor の対角線論法は、Mos09 1D 節（定理 1D.1–1D.4、pp. 27–29）では孤立点をもたない Polish 空間を切り口の添字に使う形で述べられている。包含関係 thm-borel-hierarchy-inclusions は同書定理 1B.1（p. 16）にある。本記事は添字の空間を $\mathcal C$ に固定し、thm-borel-hierarchy-real の移送で $\mathbb R$ などに結論を運んだ。
射影階層との関係。Borel 階層は自然数についての量化の段数で集合を分類する。実数についての量化（連続写像の像をとる操作）を加えると射影階層が得られ、Borel 集合全体はその $\boldsymbol\Delta^1_1$ に収まる（射影階層の系「Borel 集合は $\boldsymbol\Delta^1_1$」）。
解析学の中の段。関数 $\mathbb R\to\mathbb R$ の連続点の集合は $G_\delta$-集合（$\boldsymbol\Pi^0_2$）、不連続点の集合は $F_\sigma$-集合（$\boldsymbol\Sigma^0_2$）であり（F_σ-集合の命題「不連続点全体は $F_\sigma$-集合」）、連続関数の列の収束点の集合は $\boldsymbol\Pi^0_3$ である。段の番号は、こうした集合を定める条件の複雑さの上限を与える。