p進L関数

前提知識: Dirichlet指標, 一般化Bernoulli数, Bernoulli数, p進数体, 局所体

Dirichlet $L$ 関数 $L(s,\chi)$ の負の整数での値は代数的数であり、$L(1-n,\chi)=-B_{n,\chi}/n$ と一般化 Bernoulli 数で書ける（一般化Bernoulli数 の定理「$L(1-n,\chi)=-B_{n,\chi}/n$」）。素数 $p$ を 1 つ固定し、これらの値を $p$ 進数とみなすと、$n$ を $p$ 進的に動かしたときに値が連続に変わるかという問いが生まれる。$p$ 進 $L$ 関数 は、この問いに肯定的に答える $p$ 進数の変数 $s\in\mathbb Z_p$ の連続関数であり、負の整数 $s=1-n$ では $L(1-n,\chi\omega^{-n})$ から $p$ における Euler 因子を取り除いた値をとる。ここで $\omega$ は Teichmüller 指標である。久保田富雄（Tomio Kubota）と H.-W. Leopoldt が 1964 年に構成したので、久保田–Leopoldt の $p$ 進 $L$ 関数 ともいう（Was82 p. vii–viii、Gre01 p. 355）。
この記事では、Teichmüller 指標と $p$ 進的な冪を準備したうえで、$p$ 進 $L$ 関数の存在・一意性・補間の公式・$s=1$ での振る舞いを証明し、奇指標では恒等的に $0$ になることを示す。また、Euler 因子を取り除くことと指標を $\omega^{-n}$ でねじることが、どちらも連続性に欠かせないことを反例で確かめる。円分体の類群との関係（岩澤主予想）と $s=1$ での値（Leopoldt予想）は、主張と所在を述べる。
以下、$p$ はとくに断らなければ奇素数とする。$\overline{\mathbb Q}$ を $\mathbb C$ の中の $\mathbb Q$ の代数閉包とし、埋め込み $\overline{\mathbb Q}\hookrightarrow\overline{\mathbb Q_p}$ を 1 つ固定する。Dirichlet 指標の値は $1$ の冪根なので、この埋め込みで $\overline{\mathbb Q_p}$ の元とみなす。指標 $\chi$ の値を $\mathbb Q_p$ に添加した体を $\mathbb Q_p(\chi)$ と書く。これは $\mathbb Q_p$ の有限次拡大なので完備である。$|\cdot|$ は $|p|=p^{-1}$ と正規化した $p$ 進絶対値を表す。

Teichmüller 指標と $p$ 進的な冪

Teichmüller 指標

局所体 の命題「Teichmüller代表元」を $\mathbb Q_p$ に当てはめると、$p$ で割り切れない整数 $a$ に対し、$\omega(a)^{p-1}=1$ かつ $\omega(a)\equiv a\pmod p$ となる $\omega(a)\in\mathbb Z_p$ がただ 1 つあり、$\omega(a)$ は $a\bmod p$ だけで決まる。

$\omega$ は乗法的で（$\omega(a)\omega(b)$ も $(p-1)$ 乗して $1$、法 $p$ で $ab$ に合同）、周期 $p$ をもつ。還元写像は $1$ の $(p-1)$ 乗根の群から $\mathbb F_p^\times$ への同型なので、$\omega$ は $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ から位数 $p-1$ の巡回群への同型を与える。したがって $\omega$ は固定した埋め込みを通して法 $p$ の Dirichlet 指標とみなせ、導手は $p$、位数は $p-1$ である。$\omega(-1)^2=1$ と $\omega(-1)\equiv-1\not\equiv1\pmod p$ から $\omega(-1)=-1$ で、$\omega$ は奇指標である。

指標の積

2 つの指標の積は、原始指標として読む。

$1$ に近い $p$ 進数の $p$ 進的な冪

$t\in\mathbb Z_p$ と $k\ge0$ について $\binom tk:=t(t-1)\cdots(t-k+1)/k!$ とおく。$t\mapsto\binom tk$ は連続で、整数 $t\ge0$ では整数値をとる。$\mathbb Z_{\ge0}$ は $\mathbb Z_p$ で稠密で、$\mathbb Z_p$ は閉集合なので、すべての $t\in\mathbb Z_p$ で $\binom tk\in\mathbb Z_p$、すなわち $\bigl|\binom tk\bigr|\le1$ である。

$t\neq0$ では $e_u(t)=(u^t-1)/t$ であり、3 は $e_u$ がこの商の $t=0$ への連続な延長であることを述べている。$e_u(0)$ は $p$ 進対数 $\log_pu$ の級数である。$p\nmid a$ なら $\langle a\rangle\in1+p\mathbb Z_p$ なので、$\langle a\rangle^t$ と $e_{\langle a\rangle}(t)$ が定まる。

存在と一意性

$\chi\omega^{-n}$ の導手が $p$ と素なら $\chi\omega^{-n}(p)$ はその値、$p$ で割り切れるなら $0$ である。右辺は、一般化Bernoulli数 の定理「$L(1-n,\chi)=-B_{n,\chi}/n$」により $\bigl(1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1}\bigr)L(1-n,\chi\omega^{-n})$、すなわち $L(s,\chi\omega^{-n})$ の Euler 積から $p$ の因子 $(1-\chi\omega^{-n}(p)p^{-s})^{-1}$ を除いたものの $s=1-n$ での値である。

$(\ast)$ は Was82 Theorem 5.11（p. 57）の式で、同書はさらに $L_p(s,\chi)$ が $|s|< p^{(p-2)/(p-1)}$ の円板上の解析関数（$\chi$ が自明なら $s=1$ を除く）であることを示している。ここでは $s\in\mathbb Z_p$ に限り、連続性を直接示す。

段 2 のとおり、$\chi$ が自明でなければ $s=1$ でも有限の値をもち、自明なら $s=1$ に「留数」$1-1/p$ をもつ。これは $\zeta(s)$ の $s=1$ での留数 $1$ に Euler 因子 $1-p^{-1}$ を掛けたものにあたる（Was82 Theorem 5.11、p. 57）。

基本的な性質

したがって意味のある $p$ 進 $L$ 関数は偶指標のものである。$n\equiv0\pmod{p-1}$ なら $\omega^{-n}$ は自明なので、
$$ L_p(1-n,\chi)=\bigl(1-\chi(p)p^{n-1}\bigr)L(1-n,\chi)\qquad(n\ge1,\ n\equiv0\pmod{p-1}) $$
である。とくに $\chi=\omega^j$（$j$ は偶数）、$n\equiv j\pmod{p-1}$ なら $\chi\omega^{-n}$ は自明で、$n$ は $2$ 以上の偶数なので
$$ L_p(1-n,\omega^j)=-\bigl(1-p^{n-1}\bigr)\frac{B_n}n=\bigl(1-p^{n-1}\bigr)\zeta(1-n) $$
となる。$j\equiv0\pmod{p-1}$ のとき $\omega^j$ は自明で、$s=1$ に thm-pl-main の 3 の振る舞いをもつ。岩澤理論 の節「主予想と $p$ 進 $L$ 関数」が使う $L_p(s,\omega^j)$ はこの関数である（Gre01 p. 355）。一般に、$L_p(s,\chi)$ は $p-1$ 個の関数 $L(s,\chi\omega^{k})$（$k=0,\dots,p-2$）の負の整数での値を、$n$ の法 $p-1$ の類ごとに縫い合わせたものである（Was82 p. 57 の注意）。

さらに知られていること

以下はこの記事では証明しない。

• Kummer の合同式：$L_p(s,\chi)$ の $s-1$ についての冪級数展開の係数の評価から、Kummerの合同式 とその一般化が得られる（Was82 Theorem 5.12・Corollary 5.13・Corollary 5.14、pp. 59–61）。たとえば $n$ が奇数で $n\not\equiv-1\pmod{p-1}$ なら $B_{1,\omega^n}\equiv B_{n+1}/(n+1)\pmod p$ である（同 Corollary 5.15、p. 61）。
• 岩澤の冪級数：$\chi\neq1$ を偶指標とし、導手が $d$ または $pd$（$p\nmid d$）であるとする。このとき、$\chi$ の値を $\mathbb Z_p$ に添加した環 $\mathcal O$ 係数の冪級数 $f(T)\in\mathcal O[\![T]\!]$ があって、$L_p(s,\chi)=f\bigl((1+pd)^s-1\bigr)$ と書ける（岩澤健吉（Kenkichi Iwasawa）による。Was82 Theorem 7.10、p. 123。同書は導手に $p$ の高い冪を含む指標も含めて述べている）。この冪級数が 岩澤理論 の岩澤加群の特性多項式と一致するというのが 岩澤主予想 である。
• $s=1$ での値：$\chi\neq1$ が偶指標なら、$L_p(1,\chi)$ は Gauss 和と $p$ 進対数 $\log_p(1-\zeta_f^a)$ の 1 次結合で表される（Was82 Theorem 5.18、p. 63）。総実なアーベル体 $K$ では、$L_p(1,\chi)$（$\chi$ は $K$ に対応する自明でない指標）の積が類数と $p$ 進単数規準で表され（同 Theorem 5.24、p. 71）、$L_p(1,\chi)\neq0$ が従う（同 Corollary 5.30、p. 74）。$p$ 進単数規準が $0$ でないことは Leopoldt予想 の一つの形である。
• $p=2$：$p$ を法とする代わりに $q=4$ を法として同じ構成ができる（Was82 Theorem 5.11、p. 57。$\omega$ は法 $4$ の指標になる）。

例

反例

thm-pl-main の補間の式に現れる 2 つの修正、すなわち Euler 因子 $1-\chi\omega^{-n}(p)p^{n-1}$ を掛けることと、指標を $\omega^{-n}$ でねじることは、どちらも外せない。

関連項目

• 前提: Dirichlet指標, 一般化Bernoulli数, Bernoulli数, p進数体, 局所体
• 比較: Dirichlet L関数, Riemannゼータ関数, Kummerの合同式
• 発展: 岩澤理論, 岩澤主予想, Leopoldt予想, Herbrand–Ribetの定理