コホモロジー層
概要
コホモロジー層（cohomology sheaf）とは、位相空間上の層の複体 $K^\bullet$ に対し、差分の核を像で割った商層 $\mathcal{H}^n(K^\bullet)=\ker d^n/\operatorname{im}d^{n-1}$ のことである。茎は茎の複体のコホモロジー $H^n(K^\bullet_x)$ に一致し、層全体は開集合ごとの切断の複体のコホモロジーがなす前層の層化である。したがって層の複体の擬同型は茎で判定でき、コホモロジー層は導来圏上の関手になる。準連接層の複体ではコホモロジー層も準連接で、アフィン開集合上では切断の複体のコホモロジーと一致するが、一般には大域切断の複体のコホモロジーと一致しない。
アーベル群の複体からはコホモロジー群 $H^n=\ker d^n/\operatorname{im}d^{n-1}$ が得られる。位相空間上の層の複体 $K^\bullet$ に同じ操作を層の圏の中で施したものがコホモロジー層 $\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ である。層の核は開集合ごとの核でよいが、像と商は層化を要するので、$\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ の開集合 $U$ 上の切断は $H^n(K^\bullet(U))$ とは一般に一致しない。一致するのは茎であり、コホモロジー層は「各点の近くでの複体のコホモロジー」を束ねたものである。層の複体の擬同型、超コホモロジー、Ext層、偏屈層の構成可能性は、どれもコホモロジー層で述べられる。
この記事ではコホモロジー層を定義し、主定理として、茎ごとのコホモロジーとの一致と、切断ごとのコホモロジーの前層の層化としての記述を証明する。系として擬同型が茎で判定できることを示し、長完全列・導来圏・切り詰めを述べる。第 2 の定理として、準連接層の複体のコホモロジー層は準連接で、アフィン開集合上では切断ごとのコホモロジーと一致することを証明する。最後に、大域切断のコホモロジーとの食い違いと、コホモロジー層だけでは複体が決まらないことを例で確かめる。
定義
$X$ を位相空間、$\mathrm{Ab}(X)$ を $X$ 上のアーベル群の層の圏とする。$\mathrm{Ab}(X)$ はアーベル圏であり、層の列が完全であることは各点の茎の列が完全であることと同値である（層の記事の定理「アーベル群の層の圏はアーベル圏である」）。環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群の層についても以下はそのまま成り立つ。
層の複体 $K^\bullet=(K^n,d^n)_{n\in\mathbb{Z}}$ とは、層 $K^n$ と層の射 $d^n\colon K^n\to K^{n+1}$ の族で $d^{n+1}\circ d^n=0$ をみたすものをいう（上付き添字で、差分は次数を 1 上げる）。開集合 $U$ 上の切断は $K^\bullet(U)=(K^n(U),d^n_U)$ というアーベル群の複体をなし、点 $x$ での茎は $K^\bullet_x=(K^n_x,d^n_x)$ という複体をなす。複体の射（鎖写像）$f\colon K^\bullet\to L^\bullet$ は層の射の族 $f^n$ で $d_L\circ f=f\circ d_K$ をみたすものである。
層の複体 $K^\bullet$ と $n\in\mathbb{Z}$ に対し、$\mathcal{Z}^n(K^\bullet):=\ker d^n$、$\mathcal{B}^n(K^\bullet):=\operatorname{im}d^{n-1}$ とおく。$d^n\circ d^{n-1}=0$ より $\mathcal{B}^n(K^\bullet)\subset\mathcal{Z}^n(K^\bullet)$ は部分層であり、商層
$$
\mathcal{H}^n(K^\bullet):=\mathcal{Z}^n(K^\bullet)/\mathcal{B}^n(K^\bullet)
$$
を $K^\bullet$ の $n$ 次のコホモロジー層（cohomology sheaf）という。
ここで像 $\operatorname{im}d^{n-1}$ と商層は、像前層・商前層の層化である（層の記事の定義「層の像・余核と商層」）。鎖写像 $f$ は $f(\mathcal{Z}^n(K^\bullet))\subset\mathcal{Z}^n(L^\bullet)$、$f(\mathcal{B}^n(K^\bullet))\subset\mathcal{B}^n(L^\bullet)$ をみたすので、層の射 $\mathcal{H}^n(f)\colon\mathcal{H}^n(K^\bullet)\to\mathcal{H}^n(L^\bullet)$ を誘導し、$\mathcal{H}^n$ は複体の圏から $\mathrm{Ab}(X)$ への関手になる。$\mathcal{O}_X$ 加群の複体なら $\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ は $\mathcal{O}_X$ 加群である。文献により $h^n(K^\bullet)$（Ext層の記事）、$\underline{H}^n(K^\bullet)$ とも書く。
鎖写像 $f\colon K^\bullet\to L^\bullet$ がすべての $n$ で同型 $\mathcal{H}^n(f)$ を誘導するとき、$f$ を擬同型という。すべての $n$ で $\mathcal{H}^n(K^\bullet)=0$ のとき、$K^\bullet$ は完全（acyclic）であるという。
層 $\mathcal{F}$ の分解 $0\to\mathcal{F}\to G^0\to G^1\to\cdots$ が完全であることは、次数 $0$ に $\mathcal{F}$ を置いた複体から $G^\bullet$ への射が擬同型であること、すなわち $\mathcal{H}^0(G^\bullet)\cong\mathcal{F}$ かつ $q\ne0$ で $\mathcal{H}^q(G^\bullet)=0$ であることと同じである。
茎と層化による記述
開集合 $U$ に $H^n(K^\bullet(U))$ を対応させる前層を $\mathcal{P}^n(K^\bullet)$ と書く。$U\supset V$ への制限は、制限写像が鎖写像 $K^\bullet(U)\to K^\bullet(V)$ であることから誘導される。
$K^\bullet$ を $X$ 上の層の複体、$n\in\mathbb{Z}$ とする。
- 各点 $x\in X$ について、$x$ について自然な同型 $\mathcal{H}^n(K^\bullet)_x\cong H^n(K^\bullet_x)$ がある。
- 自然な前層の射 $\theta\colon\mathcal{P}^n(K^\bullet)\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ があり、$\theta$ は層化の同型 $\mathcal{P}^n(K^\bullet)^+\cong\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ を誘導する。
- 開集合 $U$ について $\mathcal{H}^n(K^\bullet)|_U\cong\mathcal{H}^n(K^\bullet|_U)$ である。
これらの同型は $K^\bullet$ について（鎖写像と可換という意味で）自然である。
- 層の射 $\varphi$ について、核の茎は $(\ker\varphi)_x=\ker(\varphi_x)$、像の茎は $(\operatorname{im}\varphi)_x=\operatorname{im}(\varphi_x)$ であり、部分層 $\mathcal{F}'\subset\mathcal{F}$ について $(\mathcal{F}/\mathcal{F}')_x=\mathcal{F}_x/\mathcal{F}'_x$ である（層の記事の命題「核は層、像と余核は層化が要る」の 1 と、定義「層の像・余核と商層」の直後の段落。層化が茎を変えないこと（層化の記事の定理「層化は茎を保つ」）による）。よって
$$ \mathcal{H}^n(K^\bullet)_x=\mathcal{Z}^n(K^\bullet)_x/\mathcal{B}^n(K^\bullet)_x=\ker(d^n_x)/\operatorname{im}(d^{n-1}_x)=H^n(K^\bullet_x) $$
である。鎖写像 $f$ について $\mathcal{H}^n(f)_x$ は芽の類を芽の類に送るので、この同型は $H^n(f_x)$ と可換である。 - $s\in\mathcal{Z}^n(K^\bullet)(U)=\ker d^n_U$ に対し、商層への射 $q\colon\mathcal{Z}^n(K^\bullet)\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ による像 $q_U(s)$ を対応させる。$s=d^{n-1}_U(t)$ なら $s$ は像前層の切断なので $s\in\mathcal{B}^n(K^\bullet)(U)$ であり $q_U(s)=0$ である。よって $\theta_U([s]):=q_U(s)$ は $H^n(K^\bullet(U))\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)(U)$ を well-defined に定め、制限と可換である。$\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ は層なので、層化の普遍性（層化の記事の定理「芽による層化は普遍的である」）により $\theta$ は層の射 $\theta^+\colon\mathcal{P}^n(K^\bullet)^+\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ を一意に定める。
$\theta^+$ が同型であることを茎で確かめる。層化は茎を変えないので、$\mathcal{P}^n(K^\bullet)^+_x=\mathcal{P}^n(K^\bullet)_x=\varinjlim_{U\ni x}H^n(K^\bullet(U))$ である。$x$ の開近傍の族は包含の逆順で有向集合をなし、有向集合上の帰納極限はアーベル群の圏で完全関手なので、帰納極限はコホモロジーと交換し
$$ \varinjlim_{U\ni x}H^n(K^\bullet(U))\cong H^n\Bigl(\varinjlim_{U\ni x}K^\bullet(U)\Bigr)=H^n(K^\bullet_x) $$
である。この同型で $[s]$ の芽は $s$ の芽の類に対応し、$\theta^+_x$ はそれを $q(s)$ の芽、すなわち 1 の同型で $s_x$ の類に対応するものへ送る。したがって $\theta^+_x$ は 1 の同型と一致し、全単射である。茎ですべて全単射な層の射は同型である（層の記事の命題「層の射の茎による判定」の 3）。 - 制限 $K^\bullet|_U$ の核・像・商層の茎は、$U$ の点では $K^\bullet$ のものと同じである。$\mathcal{Z}^n(K^\bullet)|_U\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)|_U$ は全射で核が $\mathcal{B}^n(K^\bullet)|_U$ なので、層の射 $\mathcal{H}^n(K^\bullet|_U)\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)|_U$ が誘導され、1 によりこれは各茎で同型 $H^n(K^\bullet_x)\to H^n(K^\bullet_x)$ である。$\square$
2 の $\theta_U\colon H^n(K^\bullet(U))\to\Gamma(U,\mathcal{H}^n(K^\bullet))$ は一般に同型でない（ex-cohsheaf-circle）。
鎖写像 $f\colon K^\bullet\to L^\bullet$ が擬同型であることと、すべての $x\in X$ で $f_x\colon K^\bullet_x\to L^\bullet_x$ がアーベル群の複体の擬同型であることは同値である。とくに $K^\bullet$ が完全であることと、すべての茎の複体 $K^\bullet_x$ が完全であることは同値である。
層の射 $\mathcal{H}^n(f)$ が同型であることは、すべての $x$ で $\mathcal{H}^n(f)_x$ が全単射であることと同値である（層の記事の命題「層の射の茎による判定」の 3）。thm-cohsheaf-stalk の 1 の自然性により、$\mathcal{H}^n(f)_x$ は $H^n(f_x)$ と同一視される。$\square$
長完全列・導来圏・切り詰め
層の複体の短完全列 $0\to K'^\bullet\to K^\bullet\to K''^\bullet\to0$（各次数で層の短完全列）に対し、自然な連結射 $\delta\colon\mathcal{H}^n(K''^\bullet)\to\mathcal{H}^{n+1}(K'^\bullet)$ があり、
$$
\cdots\to\mathcal{H}^n(K'^\bullet)\to\mathcal{H}^n(K^\bullet)\to\mathcal{H}^n(K''^\bullet)\xrightarrow{\ \delta\ }\mathcal{H}^{n+1}(K'^\bullet)\to\cdots
$$
は層の完全列である。各点 $x$ での茎は、茎の複体の短完全列 $0\to K'^\bullet_x\to K^\bullet_x\to K''^\bullet_x\to0$ のコホモロジーの長完全列である。
- 鎖ホモトピックな鎖写像 $f,g\colon K^\bullet\to L^\bullet$ について $\mathcal{H}^n(f)=\mathcal{H}^n(g)$ である。
- $\mathcal{H}^n$ は $X$ 上の層の複体の導来圏 $D(X):=D(\mathrm{Ab}(X))$ から $\mathrm{Ab}(X)$ への関手を一意に定める。
- $D(X)$ の対象 $K^\bullet$ が零対象に同型であることと、すべての $n$ で $\mathcal{H}^n(K^\bullet)=0$ であることは同値である。
要点：鎖ホモトピーは境界しか動かさない。
詳細
1. $f-g=d_L h+hd_K$ とすると、$\mathcal{Z}^n(K^\bullet)$ の上で $f-g=d_L h$ であり、その像は $\mathcal{B}^n(L^\bullet)$ に入るので、$\mathcal{H}^n(f-g)=0$ である。2. 1 により $\mathcal{H}^n$ はホモトピー圏 $K(\mathrm{Ab}(X))$ を経由し、定義により擬同型を同型に送る。局所化の普遍性により $D(X)$ を経由する（導来圏の記事の命題「ホモロジー関手は導来圏上へ分解する」と同じ議論）。3. 導来圏の記事の命題「零対象の判定」と同じ議論で、$K^\bullet\to0$ が擬同型であることと同値である。$\square$
層の複体 $K^\bullet$ と $n\in\mathbb{Z}$ に対し、
$$
\tau_{\le n}K^\bullet:=(\cdots\to K^{n-2}\to K^{n-1}\to\mathcal{Z}^n(K^\bullet)\to0\to\cdots),\qquad\tau_{\ge n}K^\bullet:=(\cdots\to0\to K^n/\mathcal{B}^n(K^\bullet)\to K^{n+1}\to K^{n+2}\to\cdots)
$$
とおき、それぞれ $K^\bullet$ の切り詰め（truncation）という。$\tau_{\le n}K^\bullet$ は $K^\bullet$ の部分複体で、$K^\bullet\to\tau_{\ge n}K^\bullet$ は商への射である。
$\mathcal{H}^q(\tau_{\le n}K^\bullet)$ は $q\le n$ で $\mathcal{H}^q(K^\bullet)$、$q>n$ で $0$ であり、$\mathcal{H}^q(\tau_{\ge n}K^\bullet)$ は $q\ge n$ で $\mathcal{H}^q(K^\bullet)$、$q< n$ で $0$ である（包含と商への射がこの同一視を与える）。さらに商複体 $K^\bullet/\tau_{\le n}K^\bullet$ から $\tau_{\ge n+1}K^\bullet$ への自然な射は擬同型である。
要点：核・像・商は茎と交換するので、茎のアーベル群の複体で確かめればよい。
詳細
切り詰めの各項は核・像・商でできているので、その茎は茎の複体 $K^\bullet_x$ の同じ切り詰めである（thm-cohsheaf-stalk の 1 の証明と同じ理由）。cor-cohsheaf-qis-stalk と thm-cohsheaf-stalk の 1 により、アーベル群の複体 $C$ について示せばよい。$\tau_{\le n}C$ の次数 $q< n$ の部分は $C$ と同じなので $q< n$ のコホモロジーは一致し、次数 $n$ では $\ker(\mathcal{Z}^n\to0)/\operatorname{im}d^{n-1}=H^n(C)$、$q>n$ では項が $0$ である。$\tau_{\ge n}C$ でも $q>n$ は $C$ と同じで、次数 $n$ では $\ker(C^n/B^n\to C^{n+1})=Z^n/B^n=H^n(C)$、$q< n$ では $0$ である。商 $C/\tau_{\le n}C$ は次数 $n$ に $C^n/Z^n$、$q>n$ に $C^q$ を置いた複体で、$C^n/Z^n\cong B^{n+1}$ である。自然な射 $C/\tau_{\le n}C\to\tau_{\ge n+1}C$ は次数 $n$ で $C^n/Z^n\to0$、次数 $n+1$ で $C^{n+1}\to C^{n+1}/B^{n+1}$ であり、両者のコホモロジーはともに $q\ge n+1$ で $H^q(C)$、$q\le n$ で $0$ と計算され、この射はそれを保つ。$\square$
短完全列 $0\to\tau_{\le n}K^\bullet\to K^\bullet\to K^\bullet/\tau_{\le n}K^\bullet\to0$ と上の擬同型から、$D(X)$ の完全三角形 $\tau_{\le n}K^\bullet\to K^\bullet\to\tau_{\ge n+1}K^\bullet\to$ が得られる（Wei94 Example 10.4.9、p. 389）。$\tau_{\le n}$ と $\tau_{\ge n}$ を合わせると、$\mathcal{H}^n(K^\bullet)[-n]\cong\tau_{\ge n}\tau_{\le n}K^\bullet$ である。コホモロジー層が 1 つの次数にしかない複体がそのコホモロジー層と $D(X)$ で同型になることは、超コホモロジーの記事の系「コホモロジー層が1つだけの複体」がこの切り詰めで示している。
準連接層の複体
スキーム $X$ の上の準連接層からなる複体については、切断ごとのコホモロジーとの食い違いがアフィン開集合の上では起きない。
$X$ をスキーム、$K^\bullet$ を準連接 $\mathcal{O}_X$ 加群の層からなる複体とする。
- すべての $n$ で $\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ は準連接層である。
- $X=\operatorname{Spec}A$ がアフィンなら、$M^\bullet:=\Gamma(X,K^\bullet)$（$A$ 加群の複体）について自然な同型 $\mathcal{H}^n(K^\bullet)\cong\widetilde{H^n(M^\bullet)}$ があり、$\Gamma(X,\mathcal{H}^n(K^\bullet))\cong H^n(\Gamma(X,K^\bullet))$ である。
- 一般の $X$ のアフィン開集合 $U$ について、thm-cohsheaf-stalk の $\theta_U\colon H^n(K^\bullet(U))\to\Gamma(U,\mathcal{H}^n(K^\bullet))$ は同型である。
- 準連接層の射の核・像・余核は準連接である（準連接層の記事の定理「準連接層の圏の閉性」の 1）。$\mathcal{Z}^n(K^\bullet)$ は $d^n$ の核、$\mathcal{B}^n(K^\bullet)$ は $d^{n-1}$ の像、$\mathcal{H}^n(K^\bullet)$ は包含 $\mathcal{B}^n(K^\bullet)\to\mathcal{Z}^n(K^\bullet)$ の余核なので、どれも準連接である。
- アフィンスキーム上では $M\mapsto\widetilde{M}$ と $\Gamma(X,-)$ が $A$ 加群の圏と準連接層の圏の間の互いに逆な完全関手による圏同値を与える（準連接層の記事の系「アフィンスキーム上の圏同値」）。よって $K^n\cong\widetilde{M^n}$、$d^n=\widetilde{d^n_M}$ と書ける。$\widetilde{(-)}$ は完全なので核・像・余核と交換し、$\mathcal{Z}^n(K^\bullet)\cong\widetilde{Z^n(M^\bullet)}$、$\mathcal{B}^n(K^\bullet)\cong\widetilde{B^n(M^\bullet)}$、$\mathcal{H}^n(K^\bullet)\cong\widetilde{H^n(M^\bullet)}$ である。大域切断をとると $\Gamma(X,\widetilde{N})=N$ から後半を得る。この同型で $[s]\in H^n(M^\bullet)$ は $\theta_X([s])$ に対応するので、後半の同型は $\theta_X$ である。
- $K^\bullet|_U$ は $U\cong\operatorname{Spec}A$ 上の準連接層の複体であり、thm-cohsheaf-stalk の 3 により $\mathcal{H}^n(K^\bullet)|_U=\mathcal{H}^n(K^\bullet|_U)$ なので、2 を $U$ に当てればよい。$\square$
3 により、準連接層の複体では前層 $\mathcal{P}^n(K^\bullet)$ がアフィン開集合の上ではすでに層の切断を与えている。$X$ がアフィンでなければ大域切断では成り立たない（ex-cohsheaf-projective-line）。また、アフィンでも項が準連接でなければ成り立たない（ex-cohsheaf-affine-nonqcoh）。
例
$M$ を $C^\infty$ 多様体とし、$\mathcal{A}^p$ を $C^\infty$ 級 $p$ 次微分形式の層、$\mathcal{A}^\bullet$ を外微分による複体（de Rham 複体）とする。各点 $x$ は座標球の基本近傍系をもち、球の上では閉形式は完全で、$0$ 次の閉形式は定数である（Poincaréの補題）。茎は帰納極限なので、$H^0(\mathcal{A}^\bullet_x)=\mathbb{R}$、$q>0$ で $H^q(\mathcal{A}^\bullet_x)=0$ である。thm-cohsheaf-stalk の 1 により $\mathcal{H}^0(\mathcal{A}^\bullet)$ は定数関数の芽の層、すなわち定数層 $\underline{\mathbb{R}}_M$ であり、$q>0$ で $\mathcal{H}^q(\mathcal{A}^\bullet)=0$ である。すなわち $\mathcal{A}^\bullet$ は $\underline{\mathbb{R}}_M$ の分解である。
$M=S^1$ とすると、$\Gamma(S^1,\mathcal{H}^1(\mathcal{A}^\bullet))=0$ だが、大域切断の複体のコホモロジーは $H^1(\Gamma(S^1,\mathcal{A}^\bullet))=H^1_{dR}(S^1)\cong\mathbb{R}$ である（de Rhamコホモロジーの記事の例「円周の de Rham コホモロジー」）。よって $\theta_{S^1}$ は単射でない。$\mathcal{H}^1$ が消えても大域の $H^1$ が残るのは、局所的な原始関数が貼り合わないためであり、その差は層 $\underline{\mathbb{R}}$ の層コホモロジー $H^1(S^1,\underline{\mathbb{R}})$ として測られる（超コホモロジーの記事の例「de Rham複体と de Rham の定理」）。
$k$ を体、$X=\mathbb{P}^1_k=\operatorname{Proj}k[x_0,x_1]$ とし、次数 $0,1$ に
$$
K^\bullet:\quad\mathcal{O}(-1)^{\oplus2}\xrightarrow{\ (a,b)\mapsto x_0a+x_1b\ }\mathcal{O}
$$
を置いた準連接層の複体を考える。$D_+(x_i)$ の上では $x_i$ が可逆な切断を与えるので $d^0$ は全射であり、$\mathcal{H}^1(K^\bullet)=0$ である。一方 $\Gamma(X,\mathcal{O}(-1))=0$、$\Gamma(X,\mathcal{O})=k$（層コホモロジーの記事の例「射影直線上の $\mathcal{O}(d)$」）なので、$H^1(\Gamma(X,K^\bullet))=k\ne0=\Gamma(X,\mathcal{H}^1(K^\bullet))$ であり、$\theta_X$ は単射でない。
$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[t]$、$0$ を原点 $(t)$、$i\colon\{0\}\to X$ を包含とする。$i^{-1}\mathcal{O}_X$ は 1 点上の層として局所環 $\mathcal{O}_{X,0}=k[t]_{(t)}$ であり、$\mathcal{G}:=i_*i^{-1}\mathcal{O}_X$ は $0$ での茎が $k[t]_{(t)}$、ほかの点での茎が $0$ の $\mathcal{O}_X$ 加群である（$\{0\}$ は閉集合なので、$0$ 以外の点は $0$ を含まない開近傍をもつ）。随伴の単位射 $u\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{G}$ は $0$ で $\mathcal{O}_{X,0}\to\mathcal{O}_{X,0}$ の恒等写像、ほかの点で $\mathcal{O}_{X,x}\to0$ なので全射である。次数 $0,1$ に $\mathcal{O}_X\xrightarrow{u}\mathcal{G}$ を置いた複体 $K^\bullet$ は $\mathcal{H}^1(K^\bullet)=0$ をみたすが、
$$
H^1(\Gamma(X,K^\bullet))=k[t]_{(t)}/k[t]\ne0
$$
である（$1/(t-1)\in k[t]_{(t)}$ は多項式でない）。$X$ はアフィンだが $\mathcal{G}$ は準連接でない（準連接層なら大域切断 $k[t]_{(t)}$ を $t$ で局所化したものが $D(t)$ 上の切断 $0$ に一致するはずだが、$k[t]_{(t)}[t^{-1}]=k(t)\ne0$ である）。
$X$ を 1 点とし $\mathcal{O}_X=\mathbb{Z}/4$ とすると、$X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群の層は $\mathbb{Z}/4$ 加群そのものであり、コホモロジー層は複体のコホモロジーである。導来圏の記事の例「ホモロジーが同型でも同型でない複体」の 2 つの複体は、すべてのコホモロジー層が同型だが $D(X)$ で同型でない。また同記事の例「ホモロジーでは零だが導来圏で零でない射」（$\mathcal{O}_X=\mathbb{Z}$）は、すべてのコホモロジー層に零射を誘導するが $D(X)$ で零でない射を与える。コホモロジー層は $D(X)$ の情報の一部しかもたない。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $X$ がアフィン | ex-cohsheaf-projective-line | thm-cohsheaf-qcoh の 2 の $\Gamma(X,\mathcal{H}^1(K^\bullet))\cong H^1(\Gamma(X,K^\bullet))$ |
| 各項が準連接 | ex-cohsheaf-affine-nonqcoh | 同じ同型（$X$ はアフィン） |
| 層化（切断ごとのコホモロジーをそのまま使う） | ex-cohsheaf-circle の $S^1$ | thm-cohsheaf-stalk の 2 で、$\theta_U$ 自体が同型であること |
| 擬同型で結ばれていること（コホモロジー層の同型だけ） | ex-cohsheaf-point の $\mathbb{Z}/4$ 上の 2 つの複体 | $D(X)$ で同型であること |
3 行目の $S^1$ は滑らかな多様体で、項 $\mathcal{A}^p$ は準連接層ではない。thm-cohsheaf-stalk の 2 が述べるのは層化した後の同型である。層化の前の $\theta_U$ は、$U$ が座標球なら同型だが、$U=S^1$ では同型でない。
使われ方
- 分解と導来関手．層 $\mathcal{F}$ の入射分解・脆弱分解 $G^\bullet$ について、連続写像 $f$ による順像の複体 $f_*G^\bullet$ のコホモロジー層が高次順像 $R^qf_*\mathcal{F}$ である（脆弱層の記事の系「flasque 分解によるコホモロジーの計算」）。thm-cohsheaf-stalk の 2 を当てると、$R^qf_*\mathcal{F}$ が前層 $V\mapsto H^q(f^{-1}(V),\mathcal{F})$ の層化であることが従う（高次順像の記事の定理「開集合上のコホモロジーとの関係」、Har77 III Proposition 8.1、p. 250）。
- Ext 層．Ext層 $\mathcal{E}xt^i(\mathcal{F},\mathcal{G})$ は $\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{I}^\bullet)$（$\mathcal{G}\to\mathcal{I}^\bullet$ は入射分解）の $i$ 次コホモロジー層、すなわち $R\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})$（導来Homの記事の注意「層の場合」）のコホモロジー層である。
- 構成可能性．$D(X)$ の対象 $F$ が層別 $X=\bigsqcup X_\alpha$ に関して構成可能であるとは、各コホモロジー層 $\mathcal{H}^k(F)$ の $X_\alpha$ への制限が有限階数の局所定数層になることをいう（偏屈層、構成可能複体）。prop-cohsheaf-derived の 2 により、この条件は $D(X)$ の同型で保たれる。
- 超コホモロジー．超コホモロジー $\mathbb{H}^n(X,K^\bullet)$ へは $H^p(X,\mathcal{H}^q(K^\bullet))$ から始まるスペクトル系列がある（同記事の定理「超コホモロジーの2つのスペクトル系列」）。ex-cohsheaf-circle の $H^1_{dR}(S^1)$ は $p=1$、$q=0$ の項から来る。
関連項目
参考文献
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