原点を2つもつ直線

1：$W\subset\mathbb{R}$ が開集合なら $q^{-1}(j_1(W))=(W\times\{1\})\cup((W\setminus\{0\})\times\{2\})$ は開集合なので、$j_1(W)$ は開集合である。$j_1$ は連続な単射で開集合を開集合に写すから、開集合 $j_1(\mathbb{R})$ への埋め込みである。$j_2$ も同様である。第 2 可算性は、2 つの開集合 $j_i(\mathbb{R})$ の可算開基を合わせればよい。
2：各点の $q$ による逆像は高々 2 点からなる閉集合である。
3：$O_i$ を $0_i$ の開近傍とすると、$j_i^{-1}(O_i)$ は $0$ の開近傍なので、ある $\delta>0$ で $(-\delta,\delta)\subset j_1^{-1}(O_1)\cap j_2^{-1}(O_2)$ となり、$j_1(\delta/2)=j_2(\delta/2)\in O_1\cap O_2$ である。同じ理由で、$0_i$ のどの近傍も $n$ が大きければ $j_1(1/n)=j_2(1/n)$ を含む。
4：$j_1(\mathbb{R})$ と $j_2(\mathbb{R})$ はどちらも弧状連結で、点 $j_1(1)=j_2(1)$ を共有する。$\square$

1：点 $j_i(x)$ をとる（$x\neq0$ なら $i=1,2$ のどちらでもよい）。$j_i$ は開集合 $j_i(\mathbb{R})$ への埋め込みなので（prop-two-origins-topological の 1）、$j_i([x-1,x+1])$ は $[x-1,x+1]$ と同相でコンパクト Hausdorff であり、$L$ の開集合 $j_i((x-1,x+1))$ を含むので $j_i(x)$ の近傍である。
2：$K$ はコンパクト空間 $[-1,1]$ の連続像なのでコンパクトであり、1 と同じ理由で $[-1,1]$ と同相である。$0_2\notin K$ である（$K$ の点は $j_1(x)$（$x\in[-1,1]$）で、$j_1(0)=0_1\neq0_2$、$x\neq0$ なら $j_1(x)\neq0_2$）。$0_2$ の開近傍 $O$ をとると、$j_2^{-1}(O)$ は $0$ の開近傍なので、ある $0<\delta\le1$ で $j_2(\delta)=j_1(\delta)\in O\cap K$ となる。よって $0_2\in\overline K\setminus K$ であり、$K$ は閉でない。$K\cup\{0_2\}=j_1([-1,1])\cup j_2([-1,1])$ は $q$ による逆像が $[-1,1]\times\{1,2\}$ で閉なので閉集合であり、閉包は $K\cup\{0_2\}$ である。
3：$u:=j_1|_{[-1,1]}\colon[-1,1]\to L$ はコンパクト Hausdorff 空間からの連続写像で、2 によりその像は閉でない。$\square$

1 は $x\mapsto1/x$ が $(-\infty,0)$ の自分自身への同相写像であることから、prop-two-origins-topological と同じ計算で従う（$j_1(\delta/2)=j_2(\delta/2)$ が 2 つの原点のどの近傍にも入る）。
2：向きの揃った座標近傍系 $\{\phi_\alpha\}$ があったとする。$x\in\mathbb{R}$ と $i$ について、$j_i(x)\in U_\alpha$ となる $\alpha$ をとると、$\phi_\alpha\circ j_i$ は $x$ を含む開区間の上の連続な単射なので、中間値の定理により狭義単調である。増加なら $\varepsilon_i(x):=+1$、減少なら $\varepsilon_i(x):=-1$ とおく。別の $\beta$ をとっても、$\phi_\beta\circ j_i=(\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1})\circ(\phi_\alpha\circ j_i)$ で座標変換は増加なので、$\varepsilon_i(x)$ は $\alpha$ によらない。同じ $\alpha$ と区間が $x$ の近くの点にも使えるので $\varepsilon_i$ は局所定数であり、$\mathbb{R}$ は連結だから定数である。$x>0$ では $j_1=j_2$ が $x$ の近くで成り立つので $\varepsilon_1=\varepsilon_2$ である。$x<0$ では $x$ の近くで $j_1(y)=j_2(1/y)$ であり、$y\mapsto1/y$ は減少なので $\varepsilon_1=-\varepsilon_2$ である。これは矛盾である。$\square$

1：$X_1$ と $X_2$ はアフィンで $k$ 上有限型の整スキームであり、$X$ はこの 2 つの開集合で覆われるので、$k$ 上有限型の Noether スキームで、局所環はすべて整域である。$X_1$ と $X_2$ の生成点はどちらも $X_{12}$ の生成点なので一致し、その閉包は $X_1$ と $X_2$ を含む。よって $X$ は既約で、整である。
2：大域切断は $X_{12}$ の上で一致する組 $(f_1,f_2)\in k[t]\times k[t]$ であり、$k[t]\to k[t,t^{-1}]$ は単射なので $f_1=f_2$ である。よって $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k[t]$ である。$X$ がアフィンなら標準射 $X\to\operatorname{Spec}k[t]$ は同型だが（スキーム の系「標準射とアフィン性の判定」）、この射は各 $X_i$ の上で恒等射なので $0_1$ と $0_2$ を同じ点に送り、単射でない。
3：$\psi_1$ と $\psi_2$ は被約スキーム $\mathbb{A}^1_k$ の稠密な開集合 $D(t)$ の上で一致するが、$\psi_1(o)=0_1\neq0_2=\psi_2(o)$ なので $\psi_1\neq\psi_2$ である。$X$ が $k$ 上分離的なら、分離射 の系「稠密な開集合で一致する射」により $\psi_1=\psi_2$ となるはずである。$\square$

1。 $\mathcal{L}$ を $X$ 上の可逆層とする。$k[t]$ は単項イデアル整域なので $\operatorname{Pic}(k[t])=0$（Picard群 の命題「一意分解整域」）であり、$\mathcal{L}|_{X_i}$ は自由で、基底 $e_i\in\mathcal{L}(X_i)$ がとれる。$X_{12}$ の上で $e_2=ue_1$ となる単元 $u\in k[t,t^{-1}]^\times$ がある。$k[t,t^{-1}]$ の単元は $ct^n$（$c\in k^\times$、$n\in\mathbb{Z}$）の形である。実際、$fg=1$ で $f=t^ap$、$g=t^bq$（$p,q\in k[t]$、$p(0)q(0)\neq0$）と書くと $pq=t^{-a-b}$ で、左辺は $0$ で消えないので $a+b=0$、$pq=1$ となり $p\in k^\times$ である。基底の取り替えは $k[t]^\times=k^\times$ の元の倍に限るので、$u$ の $t$ の指数 $n=:\deg\mathcal{L}$ は $\mathcal{L}$ の同型類だけで決まる。$e_2$ を $c^{-1}e_2$ に取り替えて $u=t^n$ とすると、$s\in\mathcal{L}(U)$ を $s|_{U\cap X_i}=f_ie_i$ と書いたとき $f_1=t^nf_2$ となり、$s\mapsto(f_1,f_2)$ は同型 $\mathcal{L}\cong\mathcal{L}_n$ を与える。よって $n\mapsto[\mathcal{L}_n]$ は全単射である。$\mathcal{L}_n\otimes\mathcal{L}_m$ は基底 $e_i\otimes e'_i$ をもち、$X_{12}$ の上で $e_2\otimes e'_2=t^{n+m}e_1\otimes e'_1$ なので $\mathcal{L}_n\otimes\mathcal{L}_m\cong\mathcal{L}_{n+m}$ であり、準同型である。
2。 大域切断の式は、$k[t]\subset k[t,t^{-1}]$ の中で $f_1=t^nf_2$ を解けば得られる。$n=0$ なら $(1,1)$ が $\mathcal{L}_0=\mathcal{O}_X$ を生成する。$n>0$ とすると、大域切断 $s=(t^nf,f)$ の $0_1$ での芽は $t^nf\cdot e_1$ で、$\mathfrak{m}_{0_1}(\mathcal{L}_n)_{0_1}$ に入る。したがって大域切断の芽が生成する部分加群は $\mathfrak{m}_{0_1}(\mathcal{L}_n)_{0_1}\neq(\mathcal{L}_n)_{0_1}$ に含まれ、$\mathcal{L}_n$ は $0_1$ で大域切断で生成されない。$n<0$ なら同じことが $0_2$ で起こる。
3。 $\mathcal{L}$ が豊富であるとし、1 により $\mathcal{L}\cong\mathcal{L}_n$ とする。豊富性の定義を連接層 $\mathcal{O}_X$ に当てはめると、十分大きいすべての $m$ で $\mathcal{L}^m\cong\mathcal{L}_{nm}$ が大域切断で生成されるので、2 により $nm=0$、すなわち $n=0$ であり $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X$ である。次に、閉点 $0_1$ のイデアル層 $\mathcal{I}$（$X_1$ の上では $t\mathcal{O}_{X_1}$、$X_2$ の上では $\mathcal{O}_{X_2}$。$X_{12}$ の上では $t$ が可逆なので両者は一致する）は連接層であり、豊富性から $\mathcal{I}\otimes\mathcal{O}_X^m=\mathcal{I}$ が大域切断で生成されるはずである。ところが 2 の計算と同じく $\Gamma(X,\mathcal{I})=\{f\in k[t]\mid f(0)=0\}=tk[t]$ であり、その元の $0_2$ での芽はすべて $\mathfrak{m}_{0_2}$ に入る。$\mathcal{I}_{0_2}=\mathcal{O}_{X,0_2}$ なので、$\mathcal{I}$ は $0_2$ で大域切断で生成されない。これは矛盾である。$\square$