埋没素イデアル

随伴素イデアル の定理「随伴素の局所化」により、$\operatorname{Ass}_{A_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})$ は $\{\mathfrak qA_{\mathfrak p}\mid\mathfrak q\in\operatorname{Ass}(M),\ \mathfrak q\subset\mathfrak p\}$ に等しく、$\mathfrak q\mapsto\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ は $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルについて単射である（局所化 の定理「素イデアルの対応」）。従って 1 は $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(M)$ と、2 は $\mathfrak q\subsetneq\mathfrak p$ を満たす $\mathfrak q\in\operatorname{Ass}(M)$ があることと同値である。$\square$

（1 $\Rightarrow$ 2）埋没素イデアルがなければ $\operatorname{Ass}(M)=\{\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_t\}$ であり、零因子の全体は $\mathfrak q_1\cup\cdots\cup\mathfrak q_t$ に等しい。
（2 $\Rightarrow$ 1）$\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(M)$ をとる。$\mathfrak p$ の元はすべて $M$ 上の零因子なので、2 により $\mathfrak p\subset\mathfrak q_1\cup\cdots\cup\mathfrak q_t$ である。有限個の素イデアルの和集合に含まれるイデアルはそのどれかに含まれる（素イデアル回避 の定理「有限素イデアル回避補題」）ので、ある $j$ で $\mathfrak p\subset\mathfrak q_j$ である。一方 $\operatorname{Ass}(M)$ は有限集合なので、$\mathfrak p$ の下には $\operatorname{Ass}(M)$ の極小元 $\mathfrak q_i\subset\mathfrak p$ がある。$\mathfrak q_i\subset\mathfrak p\subset\mathfrak q_j$ で $\mathfrak q_i,\mathfrak q_j$ はともに極小なので $\mathfrak q_i=\mathfrak q_j$、従って $\mathfrak p=\mathfrak q_j$ は極小である。よって埋没素イデアルはない。$\square$

$B=A_{\mathfrak p}$、$\mathfrak n=\mathfrak pB$ とおく。$B$ は極大イデアル $\mathfrak n$ をもつ Noether 局所環である。$I\subset Q_r\subset\mathfrak p$ なので $\mathfrak n^n\subset(I+\mathfrak p^n)B\subset\mathfrak n$ である。

1. まず $\mathfrak q:=(I+\mathfrak p^n)B$ は $\mathfrak n$ 準素である。実際 $\mathfrak q\ne B$ であり、$xy\in\mathfrak q$、$y\notin\mathfrak n$ なら $y$ は単元なので $x\in\mathfrak q$、また $\sqrt{\mathfrak q}=\mathfrak n$（$\mathfrak n^n\subset\mathfrak q\subset\mathfrak n$）だからである。$Q^{\langle n\rangle}$ は $\mathfrak q$ の $A$ への逆像なので、$ab\in Q^{\langle n\rangle}$、$a\notin Q^{\langle n\rangle}$ なら $(a/1)(b/1)\in\mathfrak q$、$a/1\notin\mathfrak q$ から $(b/1)^k\in\mathfrak q$、すなわち $b^k\in Q^{\langle n\rangle}$ となる。根基は $\mathfrak n$ の逆像 $\mathfrak p$ である。よって $Q^{\langle n\rangle}$ は $\mathfrak p$ 準素である。
2. $Q_rB$ は $\mathfrak n$ 準素で、$\mathfrak n$ は有限生成なので、ある $N$ で $\mathfrak n^N\subset Q_rB$ となる（$\mathfrak n$ の生成元の冪がすべて $Q_rB$ に入るようにすればよい）。また $Q_r$ は $\mathfrak p$ 準素なので $\{a\mid a/1\in Q_rB\}=Q_r$ である（$sa\in Q_r$、$s\notin\mathfrak p$ なら $s$ のどの冪も $Q_r$ に入らないので $a\in Q_r$）。$n\ge N$ なら $(I+\mathfrak p^n)B\subset Q_rB$ だから $Q^{\langle n\rangle}\subset Q_r$ であり、
   $$ I\subset J\cap Q^{\langle n\rangle}\subset J\cap Q_r=I $$
   となる。この分解は根基が相異なる $r$ 個の準素イデアルからなる。どれかの成分を省けるとすると、$I$ が根基の相異なる $r-1$ 個以下の準素イデアルの共通部分になり、省けない成分だけを残した最小分解の根基族が $r$ 個の元をもつ $\operatorname{Ass}(A/I)$（準素分解 の定理「分解の根基と随伴素」）に一致することに反する。よって最小準素分解である。
3. $n\ge N$ で $Q^{\langle n\rangle}=Q^{\langle n+1\rangle}$ と仮定する（$I+\mathfrak p^{n+1}\subset I+\mathfrak p^n$ なので $Q^{\langle n\rangle}$ は $n$ について減少し、隣り合うものが異なれば互いに相異なる）。$B$ のイデアルは、その $A$ への逆像を $B$ へ拡大すると元に戻るので、$(I+\mathfrak p^n)B=(I+\mathfrak p^{n+1})B$、すなわち $\mathfrak n^n\subset IB+\mathfrak n^{n+1}$ である。有限生成 $B$ 加群 $X=(\mathfrak n^n+IB)/IB$ は $\mathfrak nX=X$ を満たすので、Nakayamaの補題 により $X=0$、すなわち $\mathfrak n^n\subset IB$ である。すると $IB$ を含む素イデアルは $\mathfrak n$ だけになり、$\operatorname{Ass}_B(B/IB)\subset\{\mathfrak n\}$ である。一方 $\mathfrak p$ は埋没素イデアルなので $\mathfrak q'\subsetneq\mathfrak p$ となる $\mathfrak q'\in\operatorname{Ass}(A/I)$ があり、随伴素イデアル の定理「随伴素の局所化」により $\mathfrak q'B\in\operatorname{Ass}_B(B/IB)$、$\mathfrak q'B\ne\mathfrak n$ である。これは矛盾である。$\square$