一様同相写像

1：一様連続 の記事の命題「点列による特徴づけ」により、$f$ の一様連続性は「$d_X(x_n,x'_n)\to0$ ならば $d_Y(f(x_n),f(x'_n))\to0$」と同値である。$f^{-1}$ の一様連続性は、$Y$ の点列 $(y_n),(y'_n)$ について「$d_Y(y_n,y'_n)\to0$ ならば $d_X(f^{-1}(y_n),f^{-1}(y'_n))\to0$」と同値であり、$f$ が全単射なので $y_n=f(x_n)$、$y'_n=f(x'_n)$ と書き直せば、1 の逆向きの矢印と同じである。
2：一様連続写像は Cauchy 列を Cauchy 列に写す（Cauchy列 の記事の命題「一様連続写像による保存」）。これを $f$ と $f^{-1}$ に当てればよい。
3：$X$ が完備とし、$(y_n)$ を $Y$ の Cauchy 列とする。2 により $(f^{-1}(y_n))$ は $X$ の Cauchy 列なので、ある $x\in X$ に収束する。$f$ は連続なので $y_n=f(f^{-1}(y_n))\to f(x)$ である。よって $Y$ は完備である。逆向きは $f^{-1}$ について同じ議論をすればよい。
4：一様連続写像による全有界な集合の像は全有界である（全有界 の記事の命題「有界性・部分集合・閉包・一様連続像」）。$Y=f(X)$、$X=f^{-1}(Y)$ に当てればよい。$\square$

距離の公理のうち、$d_i(x,y)=0\iff x=y$ と対称性は $d$ から明らかである。三角不等式を示す。$a,b,c\ge0$ が $a\le b+c$ を満たすとき、$\min\{a,1\}\le\min\{b,1\}+\min\{c,1\}$ である。右辺の一方が $1$ なら右辺は $1$ 以上で、左辺は $1$ 以下だからであり、そうでなければ右辺は $b+c\ge a\ge\min\{a,1\}$ だからである。また $\varphi(t)=t/(1+t)=1-1/(1+t)$ は $[0,\infty)$ で単調増加で、$\varphi(b+c)=\frac{b}{1+b+c}+\frac{c}{1+b+c}\le\varphi(b)+\varphi(c)$ なので、$\varphi(a)\le\varphi(b+c)\le\varphi(b)+\varphi(c)$ である。$a=d(x,z)$、$b=d(x,y)$、$c=d(y,z)$ とすれば $d_1,d_2$ の三角不等式を得る。
一様同値性：$0< \varepsilon<1$ とする（$\varepsilon$ が小さいほど条件は強いので、これで足りる）。$d_1(x,y)< \varepsilon$ と $d(x,y)< \varepsilon$ は同値である。$d(x,y)< \varepsilon$ なら $d_2(x,y)\le d(x,y)< \varepsilon$ である。$d_2(x,y)< \varepsilon/2$ なら、$\varphi$ の逆関数 $s\mapsto s/(1-s)$ が単調増加であることから $d(x,y)< \frac{\varepsilon/2}{1-\varepsilon/2}\le\varepsilon$ である。よって def-unihomeo-metrics の $\delta$ として、$d_1$ には $\varepsilon$、$d_2$ には $\varepsilon/2$ をとればよい。$\square$

$f$ は連続なので、一様連続 の記事の定理「Heine–Cantorの定理」により一様連続である。$Y=f(X)$ はコンパクト空間の連続像なのでコンパクトであり（コンパクト空間 の記事の命題「保存と閉性」）、$f^{-1}\colon Y\to X$ は連続なので、同じ定理により一様連続である。$\square$

$A:=\iota_X(X)$、$B:=\iota_Y(Y)$ とおく。$A$ は $\widehat X$ で、$B$ は $\widehat Y$ で稠密である。$\iota_X\colon X\to A$、$\iota_Y\colon Y\to B$ は全射な等長写像なので一様同相写像であり（ex-unihomeo-examples の 1）、
$$ g:=\iota_Y\circ f\circ\iota_X^{-1}\colon A\to B $$
は一様同相写像の合成なので一様同相写像である。
存在。$g$ を $A\to\widehat Y$ の写像とみると一様連続であり、$\widehat Y$ は完備なので、完備距離空間 の記事の定理「一様連続写像の延長」により、$g$ を延長する一様連続写像 $\widehat f\colon\widehat X\to\widehat Y$ がただ 1 つある。同様に $g^{-1}\colon B\to A\subset\widehat X$ を延長する一様連続写像 $\widehat h\colon\widehat Y\to\widehat X$ がある。
$\widehat h\circ\widehat f\colon\widehat X\to\widehat X$ は連続で、$a\in A$ について $\widehat h(\widehat f(a))=\widehat h(g(a))=g^{-1}(g(a))=a$ である。恒等写像 $\mathrm{id}_{\widehat X}$ も $A$ 上で恒等写像に一致する連続写像なので、同じ定理の一意性（恒等写像 $A\to\widehat X$ の連続な延長はただ 1 つ）により $\widehat h\circ\widehat f=\mathrm{id}_{\widehat X}$ である。同様に $\widehat f\circ\widehat h=\mathrm{id}_{\widehat Y}$ である。よって $\widehat f$ は全単射で、逆写像 $\widehat h$ とともに一様連続なので、一様同相写像である。$x\in X$ について $\widehat f(\iota_X(x))=g(\iota_X(x))=\iota_Y(f(x))$ である。
一意性。$\widehat f\circ\iota_X=\iota_Y\circ f$ を満たす一様同相写像は、$A$ 上で $g$ に一致する連続写像なので、延長の一意性により上の $\widehat f$ に等しい。$\square$

同じ型なら一様同相。1 次関数 $\ell(x)=\alpha x+\beta$（$\alpha\ne0$）は、区間をその像の区間へ写す一様同相写像である（ex-unihomeo-examples の 2）。同じ型の 2 つの区間は 1 次関数で移り合う。実際、$c< d$ について、
$$ \ell(x)=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a) $$
は $[a,b],[a,b),(a,b)$ をそれぞれ $[c,d],[c,d),(c,d)$ に写し、$\ell(x)=c+\frac{d-c}{b-a}(b-x)$ は $(a,b]$ を $[c,d)$ に写す。半直線と直線は平行移動 $x\mapsto x+(c-a)$ と反転 $x\mapsto c+b-x$（$(-\infty,b]$ を $[c,\infty)$ に、$(-\infty,b)$ を $(c,\infty)$ に写す）で移り合う。1 点集合どうしは明らかに一様同相である。
一様同相なら同じ型。型ごとに、次の 3 つの量が一様同相で変わらないことを示す。1 点集合は元の個数で他と分かれるので、以下 $I$ は 2 点以上を含む区間とする。
(i) 完備性と全有界性。thm-unihomeo-invariants の 3、4 により、一様同相写像はこの 2 つを保つ。表の値を確かめる。$[a,b]$、$[a,\infty)$、$(-\infty,b]$、$\mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ の閉集合なので完備である（完備距離空間 の記事の命題「閉部分集合と完備性」）。$a$ を左端にもち $a$ を含まない区間（$(a,b)$、$(a,b]$、$(a,\infty)$）では、十分大きい $n$ について $a+1/n$ が区間に属し、この点列は $\mathbb{R}$ で $a$ に収束するので Cauchy 列だが、極限の一意性により区間の中には極限をもたない。右端を含まない有界な区間（$[a,b)$）でも $b-1/n$ で同様である。よって表の × の区間は完備でない。有界な区間は全有界であり（全有界 の記事の例「Euclid空間の有界集合」）、非有界な区間は有界でないので全有界でない（全有界な集合は有界である。全有界 の記事の命題「有界性・部分集合・閉包・一様連続像」）。
(ii) 区間に属する端点の個数。$I$ の点 $p$ で、$I\setminus\{p\}$ が連結空間になるものの個数を $e(I)$ とする。連結空間 の記事の定理「実数直線の連結部分集合」により、$\mathbb{R}$ の部分集合が連結であることは区間であること（$x,y$ を含めば間の点をすべて含むこと）と同値である。$p\in I$ が $I$ の最小元でも最大元でもなければ、$x< p< y$ となる $x,y\in I$ があり、$I\setminus\{p\}$ は $x,y$ を含むが $p$ を含まないので区間でなく、連結でない。$p$ が $I$ の最小元なら、$s,t\in I\setminus\{p\}$、$s< u< t$ のとき $u\in I$ かつ $u>s\ge p$ なので $u\in I\setminus\{p\}$ であり、$I\setminus\{p\}$ は区間なので連結である。最大元でも同様である。よって $e(I)$ は「区間に属する端点の個数」であり、表のとおり $2,1,0$ のいずれかである。$h\colon I\to J$ が同相写像なら、$h$ は $I\setminus\{p\}$ を $J\setminus\{h(p)\}$ に同相に写し、連結性は同相写像で保たれる（連結空間 の記事の定理「連続像は連結」を $h$ と $h^{-1}$ に当てる）ので、$h$ は $e$ を数える点どうしの全単射を与え、$e(I)=e(J)$ である。一様同相写像は同相写像なので、$e$ も一様同相で変わらない。
表の 2 点以上を含む 6 つの型は、組（$e$、完備か、全有界か）がすべて異なる：$(2,○,○)$、$(1,×,○)$、$(0,×,○)$、$(1,○,×)$、$(0,×,×)$、$(0,○,×)$。よって異なる型の区間は一様同相でない。$\square$