完全交叉性の局所化と平坦下降

完備化へ移す。 $\widehat A$ は $A$ 上平坦なので $x$ は $\widehat A$ の非零因子であり（$A\xrightarrow{x}A$ の単射を平坦な $\widehat A$ とテンソルする）、$(A/xA)^\wedge\cong\widehat A/x\widehat A$ である（完備化 の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」の 2）。正則な提示 $Q\twoheadrightarrow\widehat A$（Cohenの構造定理。$Q$ の極大イデアルを $\mathfrak n$ とする）の核を $J$、$x$ の $Q$ への持ち上げを $\tilde x\in\mathfrak n$ とし、$J'=J+\tilde xQ$ と置くと $Q/J'=\widehat A/x\widehat A$ である。$\tilde x$ は $Q/J$ の非零因子であり、$\dim Q/J'=\dim Q/J-1$ である（Cohen–Macaulay環 の補題「有限加群の次元降下」）。
⇒： $J$ が $Q$ 正則列 $f_1,\ldots,f_c$ で生成されるなら、$f_1,\ldots,f_c,\tilde x$ は $J'$ を生成する $Q$ 正則列であり、$A/xA$ は完全交叉である。
⇐： 鍵は $\mu(J')\ge\mu(J)+1$ である。自然な写像 $J/\mathfrak nJ\to J'/\mathfrak nJ'$ が単射で、$\tilde x$ の類がその像に入らないことを示す。
単射性：$\mathfrak nJ'=\mathfrak nJ+\mathfrak n\tilde x$ である。$j\in J$ が $j=j_1+\tilde xy$（$j_1\in\mathfrak nJ$、$y\in\mathfrak n$）と書けたとする。$\tilde xy=j-j_1\in J$ で $\tilde x$ は $Q/J$ の非零因子だから $y\in J$。すると $\tilde xy\in\tilde xJ\subset\mathfrak nJ$ なので $j\in\mathfrak nJ$ である。
像に入らないこと：$\tilde x=j+j_1+\tilde xy$（$j\in J$、$j_1\in\mathfrak nJ$、$y\in\mathfrak n$）なら $(1-y)\tilde x\in J$、$1-y$ は単元なので $\tilde x\in J$、すなわち $\widehat A$ で $x=0$ となる。$\widehat A\ne0$ で $x$ は非零因子だからこれは起こらない。
$A/xA$ が完全交叉なら、核の判定から $\mu(J')=\dim Q-\dim Q/J'=\dim Q-\dim Q/J+1$。従って $\mu(J)\le\dim Q-\dim Q/J$ であり、下界と合わせて等号が成り立つ。核の判定により $J$ は正則列で生成され、$A$ は完全交叉である。$\square$

$d=\dim A$、正則パラメータ系を $y_1,\ldots,y_d$ とすると、$\mathfrak m_A=(y_1,\ldots,y_d)$ で、$y_1,\ldots,y_d$ は $A$ 正則列である（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）。$A/(y_1,\ldots,y_{i-1})\xrightarrow{y_i}A/(y_1,\ldots,y_{i-1})$ の単射に平坦な $B$ をテンソルすると、$B/(y_1,\ldots,y_{i-1})B$ 上の $y_i$ 倍も単射である。最後の商 $B/(y)B=F$ は $\mathfrak m_AB\subset\mathfrak m_B$ により零でない。従って $y_1,\ldots,y_d$ の像は $\mathfrak m_B$ に入る $B$ 正則列で、$F=B/(y_1,\ldots,y_d)B$ である。prop-cild-nonzerodivisor を $d$ 回使えば結論を得る。$\square$

$B=S\otimes_RA$ は $A$ 上平坦である（平坦加群 の命題「平坦加群の基底拡大」）。$\mathfrak m_AB$ は $\mathfrak m_R$ の像で生成されるので $F=B/\mathfrak m_AB=S/(I+\mathfrak m_R)S=S/\mathfrak m_RS$ であり、これは $R\to S$ の閉ファイバーでもある。$S$ は正則なので完全交叉であり、thm-cild-regular-base を $R\to S$ に使えば $F$ は完全交叉である。
$\mu$ の比較。 $S$ の平坦性から $I\otimes_RS\cong IS$ であり、
$$ IS/\mathfrak m_SIS\cong(I\otimes_RS)\otimes_Sk_S=I\otimes_Rk_S=(I/\mathfrak m_RI)\otimes_{k_R}k_S $$
となる（$k_R,k_S$ は剰余体）。従って $\mu_S(IS)=\mu_R(I)$ である。
次元の比較。 平坦局所準同型の次元公式と深さ公式 の定理「平坦局所準同型の次元公式と深さ公式」を $R\to S$ と $A\to B$ に使うと、二つの閉ファイバーはともに $F$ なので
$$ \dim S-\dim B=(\dim R+\dim F)-(\dim A+\dim F)=\dim R-\dim A $$
である。
結論。 核の判定により、$A$ が完全交叉 $\iff\mu_R(I)=\dim R-\dim A$、$B$ が完全交叉 $\iff\mu_S(IS)=\dim S-\dim B$。上の二つの比較により右辺どうしは同じ条件である。$\square$

核の判定により、$I$ は $R$ 正則列 $f_1,\ldots,f_c$ で生成される。$\mathfrak p$ の $R$ での逆像を $\mathfrak P$ とすると $I\subset\mathfrak P$ で、$A_{\mathfrak p}\cong R_{\mathfrak P}/IR_{\mathfrak P}$ である。$R_{\mathfrak P}$ は正則局所環である（正則局所環 の定理「正則局所環の局所化は正則」）。局所化は完全なので $f_1,\ldots,f_c$ の各段の掛算の単射性は保たれ、最後の商 $A_{\mathfrak p}$ は零でないから、$f_1,\ldots,f_c$ は $R_{\mathfrak P}$ 正則列である（正則列 の命題「正則列の局所化」）。正則な提示 $R_{\mathfrak P}\twoheadrightarrow A_{\mathfrak p}$ の核が正則列で生成されるので、核の判定から $A_{\mathfrak p}$ は完全交叉である。$\square$

$A\to\widehat A$ は忠実平坦なので（完備化 の定理「Noether 環の完備化は平坦」）、$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ となる $\widehat A$ の素イデアル $\mathfrak q$ がある（忠実平坦加群 の命題「忠実平坦環写像と素イデアル」）。$A_{\mathfrak p}\to\widehat A_{\mathfrak q}$ は局所準同型で、平坦である。