Galois表現のL関数

1：$\sigma\in D_{\mathfrak{P}}$、$\tau\in I_{\mathfrak{P}}$、$x\in\mathcal{O}$ とし、$y:=\sigma^{-1}(x)$ とおくと、$\sigma\tau\sigma^{-1}(x)-x=\sigma(\tau(y)-y)\in\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ である。$\sigma\tau\sigma^{-1}\in D_{\mathfrak{P}}$ は明らかである。

2：$K$ の有限次 Galois 拡大 $F$ について、$S_F$ を、$\sigma(\mathfrak{P}_F)=\mathfrak{P}_F$ かつすべての $x\in\mathcal{O}_F$ で $\sigma(x)\equiv x^{N\mathfrak{p}}\pmod{\mathfrak{P}_F}$ となる $\sigma\in G_K$ の全体とする。$N\mathfrak{p}$ 乗写像は有限体の拡大 $\kappa(\mathfrak{P}_F)/\kappa(\mathfrak{p})$ の Galois 群の元なので、分解群と惰性群 の定理「剰余体の Galois 群への全射」によりそれに写る $\operatorname{Gal}(F/K)$ の元があり、制限 $G_K\to\operatorname{Gal}(F/K)$ は全射なので（無限次Galois理論 の定理「無限次Galois理論の基本定理」）、$S_F$ は空でない。$S_F$ は開部分群 $G_F$ の剰余類の和なので閉集合である。$F\subset F'$ なら $\mathfrak{P}_{F'}\cap\mathcal{O}_F=\mathfrak{P}_F$ から $S_{F'}\subset S_F$ であり、有限個の $S_{F_i}$ の共通部分は合成体の $S$ を含むので空でない。$G_K$ はコンパクトなので、すべての $S_F$ の共通部分に元 $\varphi$ がある。$\mathcal{O}$ の各元はある $\mathcal{O}_F$ に入り、$\mathfrak{P}=\bigcup_F\mathfrak{P}_F$ なので、$\varphi\in D_{\mathfrak{P}}$ で 2 の合同式をみたす。$\varphi'$ も条件をみたせば $\varphi'(x)-\varphi(x)\in\mathfrak{P}$ なので、$\varphi^{-1}$ を施して $\varphi^{-1}\varphi'\in I_{\mathfrak{P}}$ である。逆に $\tau\in I_{\mathfrak{P}}$ なら $\varphi(\tau(x))-\varphi(x)\in\varphi(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ なので、$\varphi\tau$ も条件をみたす。

3：$T_F:=\{g\in G_K\mid g(\mathfrak{P}_F)=\mathfrak{P}'_F\}$ は、分解群と惰性群 の定理「Galois 群は素イデアルに推移的に作用する」と制限の全射性から空でなく、2 と同じ理由で閉集合の減少族をなすので、共通部分の元 $g$ がある。$g(\mathfrak{P})=\bigcup_Fg(\mathfrak{P}_F)=\mathfrak{P}'$ である。共役の式は定義から直接確かめられ、$g\varphi g^{-1}(x)=g(\varphi(g^{-1}x))\equiv g((g^{-1}x)^{N\mathfrak{p}})=x^{N\mathfrak{p}}\pmod{g(\mathfrak{P})}$ である。$\square$

$\varphi$ によらないことは上で述べた。$\mathfrak{P}'=g(\mathfrak{P})$ とすると、lem-lgr-frobenius の 3 により $\rho(g)$ は $V^{I_{\mathfrak{P}}}$ を $V^{I_{\mathfrak{P}'}}=V^{gI_{\mathfrak{P}}g^{-1}}$ に同型に写し、$\rho(g\varphi g^{-1})^{-1}\rho(g)=\rho(g)\rho(\varphi)^{-1}$ なので、2 つの行列式は等しい。同値な表現への同型も不変部分空間と Frobenius 元の作用を移す。$\pi_{\mathfrak{P}}$ は可逆なので、$\det(1-T\pi_{\mathfrak{P}})$ は定数項 $1$、次数 $\dim V^{I_{\mathfrak{P}}}$ の多項式である。最後の主張は Galois表現 の命題「惰性群による言い換え」による。$\square$

$m\ge1$ とし、$\zeta$ を $1$ の原始 $\ell^m$ 乗根とする。$1\ne\xi\in\mu_{\ell^m}$ なら $1-\xi\notin\mathfrak{P}$ である。実際、$\prod_{1\ne\xi'\in\mu_{\ell^m}}(1-\xi')$ は $(X^{\ell^m}-1)/(X-1)$ の $X=1$ での値 $\ell^m$ に等しく、$1-\xi\in\mathfrak{P}$ なら $\ell^m\in\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}$ となって、$\mathfrak{p}$ が $\ell$ の上にないことに反する。よって $\mu_{\ell^m}$ から $(\mathcal{O}/\mathfrak{P})^\times$ への還元は単射である。$\sigma\in D_{\mathfrak{P}}$ について $\sigma(\zeta)=\zeta^{a}$ とすると、$\sigma\in I_{\mathfrak{P}}$ なら $\zeta^a\equiv\zeta$ なので $a\equiv1\pmod{\ell^m}$、$\sigma=\varphi$ なら $\zeta^a\equiv\zeta^{N\mathfrak{p}}$ なので $a\equiv N\mathfrak{p}\pmod{\ell^m}$ である。すべての $m$ で成り立つので主張が従う。$\square$

1：$(V\oplus W)^{I}=V^{I}\oplus W^{I}$（$I:=I_{\mathfrak{P}}$）で、Frobenius 元はこの分解を保つ。

2：lem-lgr-cyclotomic により $\chi_\ell$ は $I$ の上で $1$ なので、$V(n)^{I}=V^{I}\otimes\mathbb{Q}_\ell(n)$ であり、$\varphi^{-1}$ はそこに $N\mathfrak{p}^{-n}\pi_{\mathfrak{P}}$ として作用する。よって $\det(1-TN\mathfrak{p}^{-n}\pi_{\mathfrak{P}})=P_{\mathfrak{p}}(V,N\mathfrak{p}^{-n}T)$ である。$T=N\mathfrak{p}^{-s}$ を代入すれば $N\mathfrak{p}^{-(s+n)}$ になる。

3：$V'^{I}=V'\cap V^{I}$ なので、$V^{I}/V'^{I}$ は $V''^{I}$ の $D_{\mathfrak{P}}$ で安定な部分空間に単射に写る。行列式は $D_{\mathfrak{P}}$ で安定な部分空間と商に分かれるので、$P_{\mathfrak{p}}(V,T)=P_{\mathfrak{p}}(V',T)\cdot\det(1-T\pi\mid V^{I}/V'^{I})$ であり、右の因子は $P_{\mathfrak{p}}(V'',T)$ を割り切る。$V^{I}\to V''^{I}$ が全射ならその因子は $P_{\mathfrak{p}}(V'',T)$ に等しい。不分岐なら $V^{I}=V$、$V''^{I}=V''$ である。$\square$

$\sigma:=\operatorname{Re}s>1+w/2$ とすると $\lvert\lambda_{\mathfrak{p},j}N\mathfrak{p}^{-s}\rvert\le N\mathfrak{p}^{w/2-\sigma}< N\mathfrak{p}^{-1}\le\frac12$ である。$\log P_{\mathfrak{p}}(N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}:=\sum_j\sum_{k\ge1}(\lambda_{\mathfrak{p},j}N\mathfrak{p}^{-s})^k/k$ とおくと、その絶対値は $2n\,N\mathfrak{p}^{w/2-\sigma}$ 以下である。素数 $p$ の上の $K$ の素イデアルは $[K:\mathbb{Q}]$ 個以下でノルムは $p$ 以上なので（代数体における素イデアルの分解 の定理「基本等式」）、$\sum_{\mathfrak{p}}N\mathfrak{p}^{w/2-\sigma}\le[K:\mathbb{Q}]\sum_pp^{w/2-\sigma}< \infty$ である（$w/2-\sigma<-1$）。$\operatorname{Re}s\ge1+w/2+\delta$（$\delta>0$）で一様に収束するので、和は正則関数の一様極限として正則であり（Riemannゼータ関数 の補題「正則関数の一様極限」）、その $\exp$ である積は正則で $0$ にならない。整合系では $P_{\mathfrak{p}}(V_\bullet,T)$ の次数は $\dim V_\ell$ 以下である（prop-lgr-well-defined）。$\square$

$\mathfrak{P}_L:=\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_L$ とすると、$I_{\mathfrak{P}}$ の $G$ への像は $\mathfrak{P}_L$ の惰性群 $I$ に等しく（Galois表現 の命題「惰性群による言い換え」の証明の第 2 段）、$\varphi$ の像は $\mathfrak{P}_L$ の Frobenius 元である。よって $V^{I_{\mathfrak{P}}}=V^{I}$ で、$\pi_{\mathfrak{P}}=\rho(\varphi)^{-1}$ である。$e:=\lvert I\rvert^{-1}\sum_{\tau\in I}\rho(\tau)$ は $V^{I}$ への射影で、$I$ が $D_{\mathfrak{P}_L}$ の正規部分群なので $D_{\mathfrak{P}_L}$ の作用と可換である。したがって $V=V^{I}\oplus\ker e$ は $D_{\mathfrak{P}_L}$ で安定な分解で、$(V^\vee)^{I}$ は $\ker e$ を零にする線形形式の空間、すなわち $(V^{I})^\vee$ と同一視される。$V^\vee$ への $\varphi$ の作用は $\rho(\varphi)$ の転置の逆なので、$A:=\rho(\varphi)|_{V^I}$ とすると、Artin L関数 の定義「Artin L関数」の $V^\vee$ の局所因子の逆数は $\det(1-T\,{}^tA^{-1})=\det(1-TA^{-1})=P_{\mathfrak{p}}(V,T)$ である。$\square$