葉層構造
概要
葉層構造（foliation）とは、$n$ 次元多様体を互いに交わらない連結な $k$ 次元のはめ込まれた部分多様体（葉）に分割したもので、各点のまわりに、葉との共通部分が可算個の座標平面 $\{x^{k+1}=c_{k+1},\dots,x^n=c_n\}$ の和集合になる座標がとれるものをいう。葉の接空間は包合的な分布をなし、逆に包合的な分布があると、極大な連結積分多様体の全体が葉層構造をなす（大域的な Frobenius の定理）ので、葉層構造と包合的な分布は 1 対 1 に対応する。沈め込みのファイバーの連結成分が典型例であり、トーラスの上の傾きが無理数の直線の族のように、どの葉も稠密になる例もある。
前提知識: Frobeniusの定理(可積分性), はめ込みと埋め込み(可微分多様体), 部分多様体, Lie括弧
葉層構造（foliation）とは、多様体を同じ次元の連結なはめ込まれた部分多様体（葉）に分割したもので、各点のまわりでは座標平面の族 $\{x^{k+1}=c_{k+1},\dots,x^n=c_n\}$ のように平行に並んでいるものをいう。平面を水平な直線に分けるもの、沈め込みのファイバーの連結成分、トーラスの上の傾き一定の直線の族が典型例である。局所的には平らでも、葉は大域的には複雑になりうる。トーラスの上の傾きが無理数の直線の族では、どの葉もトーラスの中で稠密であり、葉は部分空間位相では部分多様体にならない。そのため葉は「はめ込まれた部分多様体」として扱う。
Frobeniusの定理(可積分性) は、包合的な分布が各点のまわりで平板座標をもつことを述べる局所的な定理である。この記事の主定理（大域的な Frobenius の定理）は、局所的な切り口を貼り合わせて、多様体全体が極大な連結積分多様体に分かれ、それが葉層構造をなすことを示す。逆に葉層構造の葉の接空間は包合的な分布をなし、葉層構造と包合的な分布は 1 対 1 に対応する。
定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な $C^\infty$ 級多様体とし、$M$ を $n$ 次元の多様体、$0\le k\le n$ とする。分布、包合性、分布の平板座標は Frobeniusの定理(可積分性) の定義に従う。$\mathbb{R}^n$ の開区間の直積を 開直方体 という。座標近傍 $(U;x^1,\dots,x^n)$ で $x(U)$ が開直方体のものについて、空でない集合 $\{q\in U\mid x^{k+1}(q)=c_{k+1},\dots,x^n(q)=c_n\}$ を 切り口 という。切り口は連結な $k$ 次元の部分多様体であり、$(x^1,\dots,x^k)$ の制限がその座標を与える。
部分集合 $N\subset M$ に $k$ 次元の多様体の位相と $C^\infty$ 級構造が与えられていて、包含写像 $\iota\colon N\hookrightarrow M$ がはめ込みであるとき、$N$ を $k$ 次元の はめ込まれた部分多様体 という。$N$ の位相は $M$ からの部分空間位相と一致するとは限らない。$q\in N$ の接空間 $T_qN$ は $d\iota_q$ によって $T_qM$ の部分空間とみなす。
階数 $k$ の分布 $D$ について、$k$ 次元のはめ込まれた部分多様体 $N$ ですべての $q\in N$ で $T_qN=D_q$ となるものを、$D$ の 積分多様体 という。
Frobeniusの定理(可積分性) の積分多様体（部分空間位相をもつ部分多様体）は、この意味の積分多様体でもある。とくに分布の平板座標 $(W;y)$ で $y(W)$ が開直方体のものについて、切り口は連結な積分多様体である。分布の平板座標 $(V;y)$ があれば、$y$ の像に含まれる開直方体の逆像に制限することで、像が開直方体の平板座標が得られる。
$\mathcal{F}$ を $M$ の $k$ 次元のはめ込まれた部分多様体からなる族とする。座標近傍 $(U;x^1,\dots,x^n)$ が $\mathcal{F}$ の 平板座標 であるとは、$x(U)$ が開直方体であり、$\mathcal{F}$ の各元と $U$ の共通部分が、空集合であるか、可算個の切り口の和集合であることをいう。
$M$ の $k$ 次元の葉層構造 とは、空でない連結な $k$ 次元のはめ込まれた部分多様体からなる族 $\mathcal{F}$ で、異なる元は交わらず、和集合が $M$ であり、$M$ の各点のまわりに $\mathcal{F}$ の平板座標があるものをいう。$\mathcal{F}$ の元を 葉 といい、$n-k$ を葉層構造の 余次元 という。点 $p$ を含む葉を $L_p$ と書く。
例
- 平行な平面：$\mathbb{R}^n$ の $k$ 次元の平面 $\{x^{k+1}=c_{k+1},\dots,x^n=c_n\}$ の全体は $k$ 次元の葉層構造であり、$\mathbb{R}^n$ の開直方体はどれも平板座標である。
- 直積：$P$ を連結な $k$ 次元の多様体、$B$ を多様体とすると、$P\times B$ の部分集合 $P\times\{b\}$（$b\in B$）の全体は $k$ 次元の葉層構造である。
- 沈め込みのファイバー：$F\colon M\to B$ を $(n-k)$ 次元の多様体 $B$ への沈め込みとすると、ファイバー $F^{-1}(b)$ の連結成分の全体は $k$ 次元の葉層構造である。たとえば $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ の原点を中心とする球面の全体は、$x\mapsto\lvert x\rvert$ のファイバーとして 2 次元の葉層構造をなす。
3 の確かめを開く
ファイバーは正則値定理により $k$ 次元の部分多様体であり、その連結成分は開かつ閉な部分集合なので、連結な部分多様体である。$p\in M$ をとる。沈め込み の命題「沈め込みは局所的には射影」により、$p$ の開近傍 $U$、$F(p)$ の開近傍 $W$、$\mathbb{R}^k$ の開集合 $B_0$、微分同相写像 $\kappa\colon U\to W\times B_0$ で $\mathrm{pr}_1\circ\kappa=F|_U$ となるものがある。$F(p)$ のまわりの $B$ の座標 $\psi$ と、開直方体 $Q_1\ni\psi(F(p))$、$Q_2\ni\mathrm{pr}_2\kappa(p)$ を $\psi^{-1}(Q_1)\subset W$、$Q_2\subset B_0$ となるようにとり、$U':=\kappa^{-1}(\psi^{-1}(Q_1)\times Q_2)$ の上で $x:=(\mathrm{pr}_2\circ\kappa,\ \psi\circ F)$ とおく。$x$ は $U'$ から開直方体 $Q_2\times Q_1$ への微分同相写像で、切り口 $\{\psi\circ F=c\}$ は $F^{-1}(\psi^{-1}(c))\cap U'$ に等しい。したがってファイバーと $U'$ の共通部分は空か 1 つの切り口であり、切り口は連結なので、ファイバーの各連結成分と $U'$ の共通部分は空か 1 つの切り口である。$\square$
次の例は、葉が大域的には複雑になりうることを示す。$T^2:=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ をトーラス、$\pi\colon\mathbb{R}^2\to T^2$ を商写像とする。
$\alpha\in\mathbb{R}$ を固定し、$c\in\mathbb{R}$ について $\gamma_c(t):=\pi(t,\ \alpha t+c)$ とおく。像 $L_c:=\gamma_c(\mathbb{R})$ の全体は $T^2$ の 1 次元の葉層構造であり、次が成り立つ。
- $\alpha$ が有理数なら、各 $L_c$ は $T^2$ に埋め込まれた円周であり、閉集合である。
- $\alpha$ が無理数なら、$\gamma_c$ は単射なはめ込みで、各 $L_c$ は $T^2$ の中で稠密であり、$\gamma_c$ は埋め込みでない。
各葉の接空間は、$\mathbb{R}^2$ の定数ベクトル場 $\partial_1+\alpha\,\partial_2$ が $T^2$ に定めるベクトル場で張られる。
要点：小さな平行四辺形 $\{a+(s,\alpha s+u)\}$ を $\pi$ で写した座標 $(s,u)$ の中で、$L_c$ は $u\in c+\alpha a_1-a_2+(\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z})$ となる可算個の切り口 $\{u=\text{一定}\}$ の和集合になる。$\alpha$ が無理数なら $\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ で稠密なので、$L_c$ は稠密である。
詳しい証明を開く
$L_c=L_{c'}$ となるのは $c-c'\in\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ のときであり、そうでなければ $L_c\cap L_{c'}=\emptyset$ である（$\pi(t,\alpha t+c)=\pi(t',\alpha t'+c')$ なら $t-t'=m_1$、$\alpha m_1+c-c'=m_2$ となる整数がある）。点 $\pi(v)$ は $L_{v_2-\alpha v_1}$ に含まれるので、$L_c$ の和集合は $T^2$ である。各 $L_c$ には、下で示すように $\gamma_c$（有理数の場合は $\gamma_c$ が導く円周からの写像）が単射なはめ込みになることから、その像としての多様体の構造を入れる。
平板座標． $a\in\mathbb{R}^2$ と $0<\delta<1/(2(2+\lvert\alpha\rvert))$ をとり、$\Phi(s,u):=\pi\bigl(a+(s,\ \alpha s+u)\bigr)$（$\lvert s\rvert,\lvert u\rvert<\delta$）とおく。$a+(s,\alpha s+u)$ の動く範囲は直径 $1$ 未満なので $\Phi$ は単射であり、$\pi$ は局所微分同相写像なので、$\Phi^{-1}$ は座標で像は開直方体 $(-\delta,\delta)^2$ である。$\Phi(s,u)\in L_c$ となる条件は、ある整数 $m_1,m_2$ について $a+(s,\alpha s+u)-(t,\alpha t+c)=(m_1,m_2)$ となる $t$ があることで、$t=a_1+s-m_1$ を代入すると$$u=c+\alpha a_1-a_2+m_2-\alpha m_1$$となる。よって $L_c$ と座標近傍の共通部分は、可算個の値 $u\in c+\alpha a_1-a_2+(\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z})$ に対する切り口 $\{u=\text{一定}\}$ の和集合である。
有理数の場合． $\alpha=p/q$（既約分数、$q\ge1$）なら $\gamma_c(t+q)=\gamma_c(t)$ であり、$\gamma_c(t)=\gamma_c(t')$ は $t-t'\in q\mathbb{Z}$ と同値なので、$\gamma_c$ は円周 $\mathbb{R}/q\mathbb{Z}$ からの単射なはめ込みを導く。円周はコンパクトなので、これは閉埋め込みである（はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の命題「コンパクトな多様体からの単射はめ込みは閉埋め込み」）。
無理数の場合． $\gamma_c(t)=\gamma_c(t')$ なら $t-t'=m_1$、$\alpha m_1\in\mathbb{Z}$ なので $m_1=0$ であり、$\gamma_c$ は単射なはめ込みである。$\gamma_c$ が埋め込みでないことは、$(e^{2\pi i\theta_1},e^{2\pi i\theta_2})$ による $T^2$ と $S^1\times S^1$ の同一視の下で、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の例「反例：無理数の傾きの直線」と同じである。稠密性を示す。$j\ge1$ について $\lvert k\alpha-l\rvert<1/j$ となる整数 $k\ge1$、$l$ がある（同じ例の Dirichlet の近似定理）。$\alpha$ は無理数なので $k\alpha-l\ne0$ であり、その整数倍は長さ $1/j$ 未満の間隔で $\mathbb{R}$ に並ぶ。よって $\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ で稠密であり、上の座標近傍の中で $L_c$ は稠密な $u$ の値の切り口を含むので、各座標近傍で稠密である。このような座標近傍は $T^2$ を覆うので、$L_c$ は $T^2$ で稠密である。$\square$
葉層構造の接分布
葉層構造があれば、各点でその点を通る葉の接空間をとることで分布が得られる。まず、積分多様体が平板座標の中でどう見えるかを調べる。
$D$ を階数 $k$ の分布、$(W;y)$ を $D$ の平板座標で $y(W)$ が開直方体のもの、$N$ を $D$ の積分多様体とする。このとき $N\cap W$ は $N$ の開集合で、その連結成分は可算個である。各連結成分 $C$ はただ 1 つの切り口 $S$ に含まれ、$C$ は $S$ の開集合であり、包含写像 $C\hookrightarrow S$ は（$N$ の開集合としての）$C$ から $S$ の開集合への微分同相写像である。
包含写像 $\iota\colon N\to M$ は連続なので $N\cap W=\iota^{-1}(W)$ は $N$ の開集合である。多様体の開集合の連結成分は開集合であり、$N$ は第 2 可算なので、互いに交わらない空でない開集合である連結成分は可算個しかない。
連結成分 $C$ と $j>k$ について $h:=y^j\circ\iota|_C$ とおく。$q\in C$、$v\in T_qC$ について $d\iota_q(v)\in D_q=\operatorname{span}\{\partial/\partial y^1,\dots,\partial/\partial y^k\}$ なので $dh_q(v)=dy^j(d\iota_q v)=0$ である。$C$ は連結なので $h$ は一定であり、$C$ は 1 つの切り口 $S$ に含まれる。$S$ は部分多様体なので、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の命題「終域を部分多様体に制限する」により $\iota|_C\colon C\to S$ は $C^\infty$ 級である。これに $S\hookrightarrow M$ を合成したものははめ込みなので、$C\to S$ もはめ込みであり、次元はともに $k$ なので、逆関数定理により局所微分同相写像である。単射な局所微分同相写像は、像の上への微分同相写像で、像は開集合である。$\square$
$\mathcal{F}$ を $M$ の $k$ 次元の葉層構造とし、$D_p:=T_pL_p$ とおく。このとき $D$ は階数 $k$ の包合的な分布であり、各葉は $D$ の積分多様体である。さらに $\mathcal{F}$ の平板座標 $(U;x)$ の上で $D=\operatorname{span}\{\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k\}$ である。
要点：平板座標 $(U;x)$ の中で、葉 $L$ と $U$ の共通部分の連結成分の上では $(x^{k+1},\dots,x^n)$ が可算個の値しかとらないので一定であり、成分は 1 つの切り口の開集合になる。よって $T_qL$ は $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k$ で張られる。
詳しい証明を開く
$(U;x)$ を $\mathcal{F}$ の平板座標、$q\in U$、$L:=L_q$ とし、$C$ を $L\cap U$（$L$ の開集合）の $q$ を含む連結成分とする。$L\cap U$ は可算個の切り口の和集合なので、連続写像 $(x^{k+1},\dots,x^n)\colon C\to\mathbb{R}^{n-k}$ の値域は可算集合である。$\mathbb{R}^{n-k}$ の連結な部分集合が 2 点 $a\ne b$ を含めば、$a_j\ne b_j$ となる成分への射影の像は $\mathbb{R}$ の連結集合、すなわち区間で、$[a_j,b_j]$ を含み可算でない。よって値域は 1 点であり、$C$ は 1 つの切り口 $S$ に含まれる。lem-fol-local の証明の後半と同じ議論で $C\to S$ は開集合への微分同相写像なので、$$T_qL=T_qC=T_qS=\operatorname{span}\Bigl\{\frac{\partial}{\partial x^1}\Big|_q,\dots,\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_q\Bigr\}$$である。したがって $U$ の上で $D$ は局所枠 $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k$ をもち、$D$ は階数 $k$ の分布である。$[\partial/\partial x^i,\partial/\partial x^j]=0$ なので、Frobeniusの定理(可積分性) の補題「局所枠による判定」の (ii) により $D$ は包合的である。各葉 $L$ では $T_qL=D_q$ なので、$L$ は積分多様体である。$\square$
大域的な Frobenius の定理
逆に、包合的な分布から葉層構造を作る。鍵は、共通の点をもつ連結な積分多様体を貼り合わせられることである。
$D$ を包合的な階数 $k$ の分布とし、$\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を、共通の点 $p_0$ を含む $D$ の連結な積分多様体の族とする。このとき和集合 $N:=\bigcup_\lambda N_\lambda$ に、連結な積分多様体の構造で、各 $N_\lambda$ が $N$ の開集合であり、$N_\lambda$ のもとの構造が $N$ の開部分多様体としての構造に一致するものが入る。
証明では、$U\subset N$ が開集合であることを「すべての $\lambda$ で $U\cap N_\lambda$ が $N_\lambda$ の開集合であること」と定める。Frobeniusの定理(可積分性) により各点のまわりに $D$ の平板座標があり、像が開直方体のものにとれる。以下、像が開直方体の $D$ の平板座標を単に平板座標と呼ぶ。
段 1（重なりの整合）． $q\in N_\lambda\cap N_\mu$ とし、$q$ のまわりの平板座標 $W$ をとる。$N_\lambda\cap W$、$N_\mu\cap W$ の $q$ を含む連結成分 $C_\lambda$、$C_\mu$ は、lem-fol-local によりそれぞれ切り口の開集合で、どちらも $q$ を含むので同じ切り口 $S$ に含まれる。$C_\lambda\cap C_\mu$ は $S$ の開集合であり、$C_\lambda$、$C_\mu$ の位相と構造はどちらも $S$ の開集合としてのものなので、$C_\lambda\cap C_\mu$ は $N_\lambda$ と $N_\mu$ の両方で開集合で、その上で 2 つの構造は一致する。よって $N_\lambda\cap N_\mu$ は $N_\lambda$、$N_\mu$ の開集合で、構造はそこで一致する。
詳細
段 1 から、上の定め方は $N$ の位相であり、各 $N_\lambda$ は $N$ の開集合で、$N$ からの部分空間位相はもとの位相に一致する（$V\subset N_\lambda$ が $N_\lambda$ の開集合なら、$V\cap N_\mu=V\cap(N_\lambda\cap N_\mu)$ は $N_\lambda\cap N_\mu$ の開集合であり、それは $N_\mu$ の開集合で位相が一致するので、$V\cap N_\mu$ は $N_\mu$ の開集合である）。$M$ の開集合 $O$ について $O\cap N_\lambda$ は $N_\lambda$ の開集合なので、包含写像 $N\to M$ は連続であり、単射なので $M$ の Hausdorff 性から $N$ は Hausdorff である。
段 2（切り口による座標）． 平板座標 $W$ の切り口 $S$ について、$N_\lambda\cap S$ は $N_\lambda\cap W$ の連結成分のうち $S$ に含まれるものの和集合なので $N_\lambda$ の開集合であり、$S$ の開集合として同じ位相をもつ（lem-fol-local）。よって $N\cap S=\bigcup_\lambda(N_\lambda\cap S)$ は $N$ の開集合かつ $S$ の開集合で、$N$ からの位相は $S$ からの位相に一致する（$V\subset N\cap S$ について、各 $V\cap N_\lambda$ が $N_\lambda\cap S$ の開集合であることと、各 $V\cap N_\lambda$ が $S$ の開集合であることは同値であり、後者は $V$ が $S$ の開集合であることと同値である）。$(N\cap S,\ (y^1,\dots,y^k)|_{N\cap S})$ を座標近傍とする。2 つのこのような座標近傍の重なり $N\cap S\cap S'$ は $S$ と $S'$ の開集合であり、$S$ の座標で表した包含写像は $M$ への $C^\infty$ 級写像で値が部分多様体 $S'$ に入るので、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の命題「終域を部分多様体に制限する」により $S'$ の座標でも $C^\infty$ 級である。よって座標変換は $C^\infty$ 級である。この構造で包含写像 $N\to M$ は各切り口の上で埋め込みなのではめ込みであり、$T_qN=T_qS=D_q$ である。各 $N_\lambda$ のもとの構造は、lem-fol-local により $N_\lambda\cap S$ の上で $S$ の構造に一致する。
段 3（第 2 可算性）． $M$ は第 2 可算なので、可算個の平板座標 $W_1,W_2,\dots$ で覆える。$W_i$ の切り口 $S$ が 到達可能 であるとは、切り口の有限列 $S_1,\dots,S_m=S$（$S_j$ は $W_{i_j}$ の切り口）で、$p_0\in S_1$、$S_j\cap S_{j+1}\ne\emptyset$ となるものがあることとする。
(i) $N$ の各点 $q$ は到達可能な切り口に含まれる。実際 $q\in N_\lambda$ とし、連結な多様体 $N_\lambda$ の中の道 $\gamma\colon[0,1]\to N_\lambda$ で $p_0$ と $q$ を結ぶ。開被覆 $\{\gamma^{-1}(W_i\cap N_\lambda)\}$ の Lebesgue 数をとれば、$0=t_0<\dots< t_m=1$ と $i_j$ で $\gamma([t_{j-1},t_j])\subset W_{i_j}$ となるものがある。$\gamma([t_{j-1},t_j])$ は連結なので $N_\lambda\cap W_{i_j}$ の 1 つの連結成分、したがって 1 つの切り口 $S_j$ に含まれる。$S_j$ と $S_{j+1}$ は $\gamma(t_j)$ を共有し、$p_0\in S_1$、$q\in S_m$ である。
(ii) 到達可能な切り口は可算個である。各切り口 $S$ は連結な積分多様体なので、lem-fol-local により $S\cap W_i$ の連結成分は可算個で、それぞれ $W_i$ の 1 つの切り口に含まれる。よって $S$ と交わる $W_i$ の切り口は可算個で、$i$ も可算個なので、$S$ と交わる切り口は全部で可算個である。$p_0$ を含む切り口も可算個なので、長さ $m$ の列で到達できる切り口は $m$ についての帰納法で可算個であり、その和集合も可算個である。
(i)(ii) と段 2 により、$N$ は可算個の開集合 $N\cap S$ の和集合で、各 $N\cap S$ は $\mathbb{R}^k$ の開集合と同相なので第 2 可算である。よって $N$ は第 2 可算である。
段 4（連結性）． $N$ は、共通の点 $p_0$ を含む連結な部分空間 $N_\lambda$ の和集合なので連結である。$\square$
$D$ を $M$ の包合的な階数 $k$ の分布とする。$p\in M$ について、$p$ を含む $D$ の連結な積分多様体すべての和集合を $L_p$ とし、lem-fol-union の構造を入れる。このとき次が成り立つ。
- 族 $\{L_p\}_{p\in M}$ は $M$ の $k$ 次元の葉層構造であり、その接分布は $D$ である。$D$ の平板座標で像が開直方体のものは、この葉層構造の平板座標である。
- $D$ の連結な積分多様体 $N$ は、ただ 1 つの葉 $L$ に含まれ、$L$ の開集合であり、そのもとの構造は $L$ の開部分多様体としての構造に一致する。
$p$ を含む $D$ の平板座標の切り口は、$p$ を含む連結な積分多様体なので、$L_p$ は空でない。2 は lem-fol-union から直ちに従う（$N$ の点 $p$ について $N$ は $L_p$ を定める族の 1 つである。$N$ を含む葉がただ 1 つであることは、次の段落の葉の交わりの性質から従う）。
葉は交わらないか一致する． $r\in L_p\cap L_q$ とする。lem-fol-union を 2 つの族 $\{L_p,L_q\}$（共通の点 $r$）に使うと、$L_p\cup L_q$ は $p$ を含む連結な積分多様体なので、$L_p$ の定義により $L_p\cup L_q\subset L_p$、すなわち $L_q\subset L_p$ である。同様に $L_p\subset L_q$ であり、集合として $L_p=L_q$ である。$L_q$ は $p$ を含む連結な積分多様体なので 2 により $L_p$ の開部分多様体であり、集合として等しいので構造も一致する。
平板座標． $(W;y)$ を像が開直方体の $D$ の平板座標、$L$ を葉とする。$L$ と交わる切り口 $S$ は連結な積分多様体なので、lem-fol-union を $\{L,S\}$ に使うと $L\cup S$ は $L$ の点を含む連結な積分多様体であり、$L$ の定義により $S\subset L$ である。よって $L\cap W$ は $L$ と交わる切り口の和集合である。そのような切り口 $S$ は 2 により $L$ の連結な開集合なので、$L\cap W$ の 1 つの連結成分に含まれ、その連結成分は lem-fol-local により 1 つの切り口に含まれるので $S$ に一致する。$L\cap W$ の連結成分は可算個なので、$L$ と交わる切り口も可算個である。
各点のまわりに像が開直方体の $D$ の平板座標があるので、$\{L_p\}$ は葉層構造である。葉は積分多様体なので、接分布は $D$ である。$\square$
$M$ の $k$ 次元の葉層構造 $\mathcal{F}$ にその接分布 $D_{\mathcal{F}}$（prop-fol-tangent）を対応させる写像と、包合的な階数 $k$ の分布 $D$ に thm-fol-global の葉層構造 $\mathcal{F}_D$ を対応させる写像は、互いに逆である。
$D_{\mathcal{F}_D}=D$ は thm-fol-global の 1 である。逆に $\mathcal{F}$ を葉層構造とし、$L\in\mathcal{F}$ とする。$L$ は $D_{\mathcal{F}}$ の連結な積分多様体なので、thm-fol-global の 2 により、$\mathcal{F}_{D_{\mathcal{F}}}$ のある葉 $L'$ の開部分多様体である。$L'$ の各点 $q$ を含む $\mathcal{F}$ の葉 $L_q$ も同じ理由で $\mathcal{F}_{D_{\mathcal{F}}}$ の葉の開部分多様体であり、$q$ を含むので、その葉は $L'$ である。よって $L'$ は $\mathcal{F}$ の葉のうち $L'$ と交わるものによって、互いに交わらない開集合に分割される。$L'$ は連結なので、その葉は $L$ だけであり、集合として $L'=L$ である。$L$ は $L'$ の開部分多様体なので、構造も一致する。よって $\mathcal{F}$ の各葉は $\mathcal{F}_{D_{\mathcal{F}}}$ の葉である。どちらの族も $M$ を互いに交わらない葉に分けるので、$\mathcal{F}_{D_{\mathcal{F}}}$ の各葉 $L'$ は、その点を含む $\mathcal{F}$ の葉と一致し、$\mathcal{F}=\mathcal{F}_{D_{\mathcal{F}}}$ である。$\square$
余次元 1 の場合、分布は局所的に至るところ $0$ でない 1 次形式 $\theta$ の核 $\ker\theta$ であり、包合性は $\theta\wedge d\theta=0$ と同値である（微分形式 の定理「Frobenius の定理」）。とくに閉形式 $\theta$（$d\theta=0$）の核は包合的で、葉層構造を定める。ex-fol-torus の葉層構造は $T^2$ の上の閉 1 次形式 $d\theta_2-\alpha\,d\theta_1$ の核から得られる（$(\theta_1,\theta_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の座標とし、$d\theta_1,d\theta_2$ は $\mathbb{Z}^2$ の平行移動で不変なので $T^2$ の閉 1 次形式とみる）。反対の極端は、$M$ が奇数次元 $2m+1$ で $\theta\wedge(d\theta)^m$ が至るところ $0$ でない場合で、これは 接触多様体 の接触構造である。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 分布が包合的 | $\mathbb{R}^3$ の $D=\operatorname{span}\{\partial_x+y\,\partial_z,\ \partial_y\}$ | $D$ を接分布にもつ葉層構造がある |
| 葉の次元が一定 | $\mathbb{R}^2$ の原点と、原点を中心とする円周の全体 | 各点のまわりに平板座標がある |
| 傾き $\alpha$ が有理数 | ex-fol-torus で $\alpha=\sqrt2$ | 各葉が閉集合で、埋め込まれた円周である |
1 行目：$D$ は 1 次形式 $dz-y\,dx$ の核で、階数 2 の分布である（満たす性質）。$[\partial_y,\ \partial_x+y\,\partial_z]=\partial_z$ であり、$\partial_z=(0,0,1)$ は $D_q=\{(a,b,ay)\}$ に入らないので、$D$ は包合的でない（満たさない性質）。prop-fol-tangent により葉層構造の接分布は包合的なので、$D$ を接分布にもつ葉層構造はない。破れる含意は「階数一定の分布はいつも葉層構造の接分布である」である。
2 行目：原点 $\{0\}$ と円周は互いに交わらない連結なはめ込まれた部分多様体で、和集合は $\mathbb{R}^2$ である（満たす性質）。しかし原点は 0 次元、円周は 1 次元で、次元が一定でない（満たさない性質）。原点のまわりの座標近傍で、$\{0\}$ との共通部分が 1 次元の切り口の和集合になるものはないので、原点のまわりに平板座標はない。各点の葉の接空間の次元も原点だけで $0$ になり、分布をなさない。
3 行目：ex-fol-torus の 2 により、$\alpha$ が無理数なら各葉は稠密である。稠密な真部分集合は閉集合でないので、葉は閉集合でなく、$\gamma_c$ は埋め込みでない。
補足
- 葉への写像：葉は一般に部分空間位相では部分多様体にならないが、$C^\infty$ 級写像 $F\colon P\to M$ の値が葉 $L$ に入るなら、$F$ は $L$ への写像としても $C^\infty$ 級である（Lee13 Theorem 19.17、pp. 500–501）。この記事では証明しない。
- Lie 部分群：Lie 群 $G$ の Lie 環の部分 Lie 環 $\mathfrak{h}$ は左不変な包合的分布を定め、単位元を含む葉は Lie 環が $\mathfrak{h}$ の連結な Lie 部分群になる（Lee13 Theorem 19.26、p. 506）。この記事では証明しない。
- 文献：葉層構造の定義は Lee13 §19（Foliations、p. 501）、大域的な Frobenius の定理は同書 Theorem 19.21・Lemma 19.22（pp. 502–505）、積分多様体の局所構造は同書 Proposition 19.16（p. 500）による。prop-fol-tangent は同書 Proposition 19.19（p. 502）で演習とされている主張で、この記事の証明は可算個の値をとる連続写像が連結集合上で一定であることを使う。cor-fol-correspondence は同書 p. 502 の本文で述べられている対応を、thm-fol-global の 2 から導いたものである。
関連項目
- 前提: Frobeniusの定理(可積分性), はめ込みと埋め込み(可微分多様体), 部分多様体, 沈め込み
- 例: トーラス
- 対比: 接触多様体
- 発展: Lie群, 微分形式
参考文献
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