Penrose図式

$\Phi\colon(M,g)\to(W,\tilde g)$ は時間的向き付けを保つ共形変換なので、共形変換 の命題「因果的類別と直交性の保存」の 2 により、$\Phi(J^\pm(p))=J^\pm_W(\Phi(p))$、$\Phi(I^\pm(p))=I^\pm_W(\Phi(p))$ である。光的測地線については、$\Phi$ で $g$ を $W$ の上の計量 $(\Phi^{-1})^*g=\Omega^{-2}\tilde g$ に移して、同記事の系「光的測地線の共形不変性」を当てる。$\square$

$\Phi$ が定まり滑らかであること。 $\lvert\psi\rvert^2=\bigl((1+q)^2+4\lvert x\rvert^2\bigr)/D^2=1$ であり、$\bigl((1-q)/D,\,2t/D\bigr)$ は単位円の点である。これは $(-1,0)$ ではない（$t=0$ なら $q=-\lvert x\rvert^2\le0$ で $1-q>0$）。よって $T\in(-\pi,\pi)$ が一意に定まり、半角の公式から $T=2\arctan\bigl(2t/(D+1-q)\bigr)$（$D+1-q>0$）なので $T$ は滑らかである。
3 の等式。 $u:=t-r$、$v:=t+r$ とおくと $uv=q$、$u+v=2t$、$v-u=2r$ であり、$(1+u^2)(1+v^2)=(1-uv)^2+(u+v)^2=D^2$ である。$U\in(-\pi/2,\pi/2)$ なので $e^{iU}=(1+iu)/\sqrt{1+u^2}$ であり、
$$ e^{i(U+V)}=\frac{(1+iu)(1+iv)}{D}=\frac{(1-q)+2it}{D},\qquad e^{i(V-U)}=\frac{(1+iv)(1-iu)}{D}=\frac{(1+q)+2ir}{D} $$
である。$U+V\in(-\pi,\pi)$ なので $T=U+V$ である。$V-U\in[0,\pi)$ で $\cos(V-U)=(1+q)/D=\psi^0$ なので $R(\psi)=V-U$ であり、$\sin R(\psi)=2r/D$ である。
2 と単射性。 3 により $\lvert T\rvert+R=\lvert U+V\rvert+V-U=\max\{2V,-2U\}< \pi$ なので $\Phi(\mathbb L^n)\subset W$ である。逆に $(T,\psi)\in W$ について $R:=R(\psi)$ とおくと $R< \pi$ であり、$U:=(T-R)/2$、$V:=(T+R)/2$ は $(-\pi/2,\pi/2)$ に入り $U\le V$ である。$u:=\tan U$、$v:=\tan V$、$t:=(u+v)/2$、$r:=(v-u)/2\ge0$ とし、$R>0$ なら $x:=r\,\psi'/\lvert\psi'\rvert$（$\lvert\psi'\rvert=\sin R>0$）、$R=0$ なら $x:=0$ とおくと、3 と $2x/D=\sin R\cdot x/r=\psi'$ により $\Phi(t,x)=(T,\psi)$ である。また $\Phi(t,x)$ から $T,R$、したがって $U,V,t,r$ が決まり、$r>0$ なら $x/r=\psi'/\lvert\psi'\rvert$ も決まるので、$\Phi$ は単射である。
1 の等式。 $x\ne0$ の点では、極座標 $x=r\omega$（$\omega\in S^{n-2}$）で $g=-du\,dv+r^2g_{S^{n-2}}$ と書ける（Warped積多様体 の例「極座標によるEuclid空間」。$n=2$ では球面の項はない）。$W$ の $0< R< \pi$ の部分では、$\psi=(\cos R,\sin R\,\omega)$ と書くと $g_{S^{n-1}}=dR^2+\sin^2R\,g_{S^{n-2}}$（同じ例）なので、$T=U+V$、$R=V-U$ により $\hat g=-4\,dU\,dV+\sin^2R\,g_{S^{n-2}}$ である。上で見たとおり $\Phi$ はこれらの座標で $(t,r,\omega)\mapsto(U+V,V-U,\omega)$ であり、$dU=du/(1+u^2)$、$dV=dv/(1+v^2)$、$\sin^2R=4r^2/D^2$ から
$$ \Phi^*\hat g=-\frac{4\,du\,dv}{D^2}+\frac{4r^2}{D^2}g_{S^{n-2}}=\frac4{D^2}\,g $$
を得る。両辺は $\mathbb L^n$ 上の滑らかなテンソル場で、稠密な開集合 $\{x\ne0\}$ の上で一致するので、全体で一致する。
共形埋め込みであること。 $\Phi^*\hat g$ が非退化なので $d\Phi$ は各点で単射であり、次元が等しいので $\Phi$ は局所微分同相、とくに開写像である。2 と単射性により $\Phi$ は開集合 $W$ への全単射なので、$W$ への微分同相である。$\mathbb L^n$ は連結なので、共形変換 の命題「因果的類別と直交性の保存」の 2 により $\Phi$ は時間的向き付けを全体で保つか全体で反転する。$\Phi(t,0)=(2\arctan t,N)$ なので $d\Phi(\partial_t)=\frac{2}{1+t^2}\partial_T$ は未来向きであり、$\Phi$ は向き付けを保つ。$\square$

$\gamma(s)=(t(s),x(s))$、$w=(w^0,w')$ と書く。$\Phi$ は $\cos T=(1-q)/D$、$\sin T=2t/D$、$\psi=\bigl((1+q)/D,2x/D\bigr)$ で決まるので、これらの極限を調べる。$T\in(-\pi,\pi)$ なので、$(\cos T,\sin T)$ が単位円の点 $e^{i\alpha}$（$\alpha\in[-\pi,\pi]$）に収束し、$\alpha=\pm\pi$ のときは $\sin T$ の符号が一定なら、$T$ は $\alpha$ に収束する。
1．$q(s)=\bigl((w^0)^2-\lvert w'\rvert^2\bigr)s^2+O(s)$ で係数は正、$\lvert x(s)\rvert=O(s)$ なので $D=q\,(1+o(1))$ である。よって $\cos T\to-1$、$\sin T=2t/D\to0$ で、$s$ が大きければ $t>0$、$\sin T>0$ なので $T\to\pi$ である。$\psi^0=(1+q)/D\to1$ なので $\psi\to N$ である。$s\to-\infty$ では $t< 0$ なので $T\to-\pi$ である。
2．$w^0=\lvert w'\rvert>0$ である。$a:=t(0)^2-\lvert x(0)\rvert^2$、$b:=t(0)w^0-x(0)\cdot w'$ とおくと $q(s)=a+2bs$ であり、$\lvert x(s)\rvert^2=(w^0)^2s^2+O(s)$ なので、$\kappa:=\sqrt{b^2+(w^0)^2}>0$ について $D/\lvert s\rvert\to2\kappa$ である。$s\to\infty$ では
$$ \cos T\to-\frac b\kappa,\qquad\sin T\to\frac{w^0}\kappa,\qquad\psi\to\psi_*:=\Bigl(\frac b\kappa,\frac{w'}\kappa\Bigr) $$
である。$\lvert b\rvert< \kappa$ なので $R_*:=R(\psi_*)\in(0,\pi)$、$\sin R_*=\lvert w'\rvert/\kappa=w^0/\kappa$ であり、$(\cos T,\sin T)\to(\cos(\pi-R_*),\sin(\pi-R_*))$ と $\pi-R_*\in(0,\pi)$ から $T\to\pi-R_*$ である。よって $\Phi(\gamma(s))\to(\pi-R_*,\psi_*)\in\mathcal I^+$ である。$s\to-\infty$ の場合は、等長写像 $(t,x)\mapsto(-t,x)$ が $\Phi$ の式で $(T,\psi)\mapsto(-T,\psi)$ に対応すること（$q$、$D$ は $t$ について偶、$\sin T$ は奇）を使い、$\gamma$ を $s\mapsto(-t(-s),x(-s))$ に替えて今の結果を当てる。
3．$q(s)=-\bigl(\lvert w'\rvert^2-(w^0)^2\bigr)s^2+O(s)\to-\infty$、$\lvert x(s)\rvert=O(s)$ なので $D=\lvert q\rvert(1+o(1))$ である。よって $\cos T=(1-q)/D\to1$ で $T\to0$、$\psi^0=(1+q)/D\to-1$ で $\psi\to-N$ である。$\square$

$\tanh(Ht/2)\in(-1,1)$ なので $\tau(t)\in(-\pi/2,\pi/2)$ であり、
$$ \tau'(t)=2\cdot\frac{(H/2)\cosh^{-2}(Ht/2)}{1+\tanh^2(Ht/2)}=\frac{H}{\cosh^2(Ht/2)+\sinh^2(Ht/2)}=\frac{H}{\cosh(Ht)}>0 $$
である。$t\to\pm\infty$ で $\tau\to\pm\pi/2$ なので、$\tau$ は $\mathbb R$ から $(-\pi/2,\pi/2)$ への微分同相であり、$\Phi$ は $(-\pi/2,\pi/2)\times S^{n-1}$ への微分同相である。$\Phi^*\hat g=-\tau'(t)^2dt^2+g_{S^{n-1}}=\frac{H^2}{\cosh^2(Ht)}\bigl(-dt^2+H^{-2}\cosh^2(Ht)g_{S^{n-1}}\bigr)$ であり、$d\Phi(\partial_t)=\tau'\partial_T$ は未来向きである。$\square$

$W:=(-\pi/2,\pi/2)\times S^{n-1}$ とする。prop-penrose-diagram-causal により、$\Phi(J^-(\gamma(t)))$ は $W$ の中の因果曲線で定めた $J^-_W(\tau(t),N)$ に等しい。$E^n$ の因果曲線に沿って $T$ は単調なので、$W$ の 2 点を結ぶ $E^n$ の因果曲線は $W$ にとどまり、$J^-_W(z)=J^-_{E^n}(z)\cap W$ である。$S^{n-1}$ は完備なので、Globally Hyperbolic時空 の例「完備な空間をもつ静的積時空」の証明により
$$ J^-_{E^n}(T_0,N)=\{(T,\psi)\mid R(\psi)\le T_0-T\} $$
である（$R(\psi)$ は $\psi$ と $N$ の球面上の距離）。$T_0$ を $(-\pi/2,\pi/2)$ にわたらせて和をとると、$R(\psi)\le T_0-T$ となる $T_0< \pi/2$ があることは $R(\psi)< \pi/2-T$ と同値なので（$\Leftarrow$ は $T_0:=T+R(\psi)$ ととる）、主張を得る。南極では $R=\pi$ で、$\tau(t)+\pi< \pi/2$ となる $t$ はない。$\square$