Dold–Kan対応

$n=0$ では $D_0=0$ なので明らかである。$n\ge1$ とする。
和になること。$1\le j\le n$ について $P_j:=\mathrm{id}-s_{j-1}d_j\colon A_n\to A_n$ とおく。$d_js_{j-1}=\mathrm{id}$ なので $d_jP_j=d_j-d_j=0$ である。また $i>j$ のとき、$d_is_{j-1}=s_{j-1}d_{i-1}$ と $d_{i-1}d_j=d_jd_i$ から
$$ d_iP_jx=d_ix-s_{j-1}d_{i-1}d_jx=d_ix-s_{j-1}d_jd_ix $$
となり、$d_ix=0$ なら $d_iP_jx=0$ である。よって $P:=P_1P_2\cdots P_n$ は $A_n$ を $\bigcap_{i=1}^n\ker d_i=N_n(A)$ に写す（まず $P_n$ が $d_n$ を消し、$P_{n-1}$ は $\ker d_n$ を保ったまま $d_{n-1}$ を消し、…）。各 $P_j$ は $x$ を $\operatorname{im}s_{j-1}$ の元だけ動かすので $x-Px\in D_n(A)$ であり、$x=Px+(x-Px)\in N_n(A)+D_n(A)$ である。
共通部分が $0$ であること。$x=\sum_{j=0}^{m}s_jy_j\in N_n(A)$（$m\le n-1$）とする。$d_{m+1}x=0$ であり（$1\le m+1\le n$）、$d_{m+1}s_m=\mathrm{id}$、$j< m$ では $d_{m+1}s_j=s_jd_m$ なので
$$ 0=y_m+\sum_{j< m}s_jd_my_j $$
である。これを $s_m$ で写し、$j\le m-1$ での $s_ms_j=s_js_{m-1}$ を使うと $s_my_m=-\sum_{j< m}s_js_{m-1}d_my_j$ となり、
$$ x=\sum_{j< m}s_j\bigl(y_j-s_{m-1}d_my_j\bigr) $$
と、$s_m$ を使わない形に書き直せる。これを繰り返せば $m$ が下がり、最後に空の和になるので $x=0$ である。$\square$

要点：単射性は $d_{j+1}$ を施して $s_j$ を外すことで示す。

要点：次数 $n$ に関する帰納法で、正規化部分では $N(f)$ が、退化部分では lem-dk-filtration の濾過の各段で $f_{n-1}$ が全単射を与える。

単射の合成と $c_\mu$。単射 $\mu'\colon[q]\hookrightarrow[p]$、$\mu\colon[p]\hookrightarrow[k]$ について $c_{\mu\mu'}=c_{\mu'}c_\mu$ を示す。単射 $\mu$ が $\mathrm{id}$ でも $\delta^0$ でもないことは、$\mu$ の像が $0$ 以外のある値 $i\ge1$ を含まないことと同値である（像が 1 つだけ値を欠くのは $\mu=\delta^i$ のときで、欠ける値が 2 つ以上あれば $1$ 以上のものがある）。$\mu$ か $\mu'$ が恒等射なら等式は明らかである。$\mu=\mu'=\delta^0$ なら $\mu\mu'$ は $0$ と $1$ を値にもたないので $c_{\mu\mu'}=0=\partial\partial$ である。$\mu$ が値 $i\ge1$ を欠くなら $\mu\mu'$ も $i$ を欠くので、両辺とも $0$ である。$\mu=\delta^0$ で $\mu'$ が値 $i\ge1$ を欠くなら、$\mu\mu'$ は $0$ と $i+1$ を欠くので、両辺とも $0$ である。
関手性。$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$ は $\sigma\,\mathrm{id}=\mathrm{id}\,\sigma$ から従う。$\varphi\colon[l]\to[m]$、$\theta\colon[m]\to[n]$ とし、$\sigma\theta=\mu\tau$、$\tau\varphi=\mu'\tau'$ をそれぞれの分解とする。すると $\sigma\theta\varphi=(\mu\mu')\tau'$ で、$\mu\mu'$ は単射、$\tau'$ は全射なので、分解の一意性からこれが $\sigma\theta\varphi$ の分解である。よって
$$ (\theta\varphi)^*\bigl(c[\sigma]\bigr)=(c_{\mu\mu'}c)[\tau']=(c_{\mu'}c_\mu c)[\tau']=\varphi^*\bigl((c_\mu c)[\tau]\bigr)=\varphi^*\theta^*\bigl(c[\sigma]\bigr) $$
である。鎖写像 $g$ は $\partial$ と可換なので各 $c_\mu$ と可換であり、$K(g)$ は単体的写像で、$K$ は合成と恒等射を保つ。$\square$

退化部分。$s_j=(\sigma^j)^*$ は、全射 $\tau\colon[n-1]\twoheadrightarrow[k]$ の因子の元を $s_j(c[\tau])=c[\tau\sigma^j]$ に写す（$\tau\sigma^j$ は全射なので分解の単射部分は恒等射）。$\tau\sigma^j$ は単射でないので恒等射ではない。逆に恒等射でない全射 $\sigma\colon[n]\twoheadrightarrow[k]$ には $\sigma(j)=\sigma(j+1)$ となる $j$ があり、$\sigma$ は $\sigma^j$ を経由して $\sigma=\tau\sigma^j$（$\tau$ は全射）と書けるので、$c[\sigma]=s_j(c[\tau])$ である。よって $D_n(K(C))=\bigoplus_{\sigma\ne\mathrm{id}}C_k[\sigma]$ である。
正規化部分。$c\in C_n$ について $\mathrm{id}\circ\delta^i=\delta^i\circ\mathrm{id}$ なので $d_i(c[\mathrm{id}])=(c_{\delta^i}c)[\mathrm{id}]$ であり、これは $i=0$ なら $(\partial c)[\mathrm{id}]$、$i\ge1$ なら $0$ である。よって $C_n[\mathrm{id}]\subset N_n(K(C))$ で、その上の境界射 $d_0$ は $\partial$ である。いま
$$ K(C)_n=C_n[\mathrm{id}]\oplus D_n(K(C))=N_n(K(C))\oplus D_n(K(C)) $$
（後者は lem-dk-decomposition）で $C_n[\mathrm{id}]\subset N_n(K(C))$ だから、$N_n(K(C))$ の元 $a$ を $a=a'+e$（$a'\in C_n[\mathrm{id}]$、$e\in D_n$）と書くと $e=a-a'\in N_n\cap D_n=0$ となり、$C_n[\mathrm{id}]=N_n(K(C))$ を得る。自然性は $K(g)$ の定義から明らかである。$\square$

$\psi_A$ は単体的写像。$\theta\colon[m]\to[n]$ と $x\in N_k(A)$ をとり、$\sigma\theta=\mu\tau$ を分解とする。このとき
$$ \theta^*\psi_A(x[\sigma])=\theta^*\sigma^*x=(\sigma\theta)^*x=\tau^*\mu^*x,\qquad\psi_A\bigl(\theta^*(x[\sigma])\bigr)=\tau^*(c_\mu x) $$
なので、$x\in N_k(A)$ について $\mu^*x=c_\mu x$ を示せばよい。ここで $c_\mu$ は複体 $N(A)$ について def-dk-k で定めた写像である。$\mu=\mathrm{id}$ なら両辺は $x$ である。$\mu=\delta^0$ なら $\mu^*=d_0$ は $N(A)$ の境界射そのものである。それ以外のとき、$\mu$ はある値 $i\ge1$ を欠くので $[k]\setminus\{i\}$ を経由して $\mu=\delta^i\mu''$ と書け、$\mu^*x=\mu''^*d_ix=0=c_\mu x$ である。単体的写像 $f\colon A\to B$ は $\sigma^*$ と可換で $N_k(A)$ を $N_k(B)$ に写すので、$\psi$ は $A$ について自然である。
$\psi_A$ は同型。prop-dk-nk により $N_n(K(N(A)))=N_n(A)[\mathrm{id}]$ であり、$\psi_A(x[\mathrm{id}])=x$ である。よって $N(\psi_A)$ は、同型 $N(A)\cong N(K(N(A)))$ の逆写像に一致し、同型である。lem-dk-detect により $\psi_A$ は同型である。
圏同値。$\psi\colon KN\Rightarrow\mathrm{id}$ と、prop-dk-nk の $\mathrm{id}\Rightarrow NK$ はどちらも自然同型なので、$N$ と $K$ は互いに逆の圏同値を与える。最後の主張は $\psi_A$ が同型であることの言い換えである。$\square$