Hellyの定理

$m$ についての帰納法で示す。$m=n+1$ では仮定そのものである。$m\ge n+2$ とし、$m-1$ 個の凸集合の族については定理が正しいとする。
$k=1,\dots,m$ について、$C_k$ を除いた $m-1$ 個の族を考える。$m-1\ge n+1$ であり、その族のどの $n+1$ 個にも共通点があるので、帰納法の仮定により共通点がある。それを 1 つ選んで
$$ x_k\in\bigcap_{i\ne k}C_i $$
とする（$x_k$ どうしが一致してもよい）。
$m\ge n+2$ 個の点 $x_1,\dots,x_m$ に Radonの定理(凸幾何) の定理「Radonの定理」を使い、添字の集合を交わらない空でない 2 つの部分 $I,J$ に分けて、点 $p\in\operatorname{conv}\{x_i\mid i\in I\}\cap\operatorname{conv}\{x_j\mid j\in J\}$ をとる（$\mathbb{R}^{n+1}$ のベクトル $(x_k,1)$ の自明でない線形関係の係数を、正の添字と $0$ 以下の添字に分ければよい）。
任意の $k$ について $p\in C_k$ を示す。$k\notin I$ なら、$i\in I$ はすべて $i\ne k$ なので $x_i\in C_k$ であり、$C_k$ は凸なので $p\in\operatorname{conv}\{x_i\mid i\in I\}\subset C_k$ である。$k\in I$ なら $k\notin J$ なので、$J$ について同じ議論をして $p\in C_k$ を得る。よって $p\in C_1\cap\cdots\cap C_m$ である。$\square$

各 $i,j$ について点 $x_{ij}=x_{ji}\in C_i\cap C_j$ を選ぶ（$x_{ii}\in C_i$ は任意）。$l_i:=\min_jx_{ij}$、$r_i:=\max_jx_{ij}$ とおくと、$l_i,r_i\in C_i$ であり、区間は凸なので $[l_i,r_i]\subset C_i$ である。$l_a$ が $l_1,\dots,l_m$ の最大値となる $a$ をとり、$p:=l_a$ とする。任意の $k$ について、$p=l_a\ge l_k$ であり、
$$ p=l_a=\min_jx_{aj}\le x_{ak}=x_{ka}\le\max_jx_{kj}=r_k $$
なので $p\in[l_k,r_k]\subset C_k$ である。$\square$

$C_{\lambda_0}$ は $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合なのでコンパクトである（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。族 $\mathcal{A}:=(C_\lambda\cap C_{\lambda_0})_{\lambda\in\Lambda}$ は、コンパクト空間 $C_{\lambda_0}$ の閉集合の族である。その有限個 $C_{\lambda_1}\cap C_{\lambda_0},\dots,C_{\lambda_k}\cap C_{\lambda_0}$ の共通部分は、有限族 $C_{\lambda_0},C_{\lambda_1},\dots,C_{\lambda_k}$ の共通部分に等しい。この有限族に $\Lambda$ の元を必要なだけ付け加えて $n+1$ 個以上の相異なる成員からなる族にし、thm-hl-main を使うと、その共通部分は空でない。よって元の $k+1$ 個の共通部分も空でなく、$\mathcal{A}$ は有限交叉性をもつ。コンパクト空間 の命題「有限交叉性による言い換え」により、$\bigcap_\lambda(C_\lambda\cap C_{\lambda_0})\ne\emptyset$ であり、これは $\bigcap_\lambda C_\lambda$ に等しい。$\square$

$\|x-c\|\le r$ は $x\in B(c,r)$ とも $c\in B(x,r)$とも読める。したがって、点 $x_0,\dots,x_k\in S$ が $B(c,r)$ に含まれることは、$c\in B(x_0,r)\cap\cdots\cap B(x_k,r)$ と同じである。$S$ が $n$ 個以下の点からなるなら、仮定から結論が直ちに出る。$S$ が $n+1$ 個以上の点をもつなら、閉球の族 $(B(x,r))_{x\in S}$ は有界閉凸集合の族で、仮定によりどの $n+1$ 個にも共通点がある。thm-hl-infinite により、すべての $B(x,r)$（$x\in S$）に共通な点 $c$ があり、$S\subset B(c,r)$ である。$\square$

$S\cap G$ が $\dfrac{nN}{n+1}$ 個より多くの点をもつような開半空間 $G$ をすべて考え、凸集合 $\operatorname{conv}(S\cap G)$ の全体を $\mathcal{F}$ とする。$S$ の部分集合は有限個なので、$\mathcal{F}$ は有限個の相異なる凸集合からなる。
$\mathcal{F}$ の $n+1$ 個以下の成員 $\operatorname{conv}(S\cap G_1),\dots,\operatorname{conv}(S\cap G_k)$（$k\le n+1$）には共通点がある。実際、各 $S\setminus G_i$ は $\dfrac N{n+1}$ 個より少ない点しかもたないので、それらの和集合の点の個数は $k\cdot\dfrac N{n+1}\le N$ より少ない。よって $S$ のある点 $s$ はどの $S\setminus G_i$ にも属さず、$s\in S\cap G_i\subset\operatorname{conv}(S\cap G_i)$ がすべての $i$ で成り立つ。
$\mathcal{F}$ が空なら $c$ を任意にとる。$\mathcal{F}$ が $n+1$ 個以上の成員をもつなら thm-hl-main により、$n$ 個以下ならいま示したことにより、$\mathcal{F}$ のすべての成員に共通な点 $c$ がある。
この $c$ が求める点であることを示す。$c$ を含む閉半空間 $H$ が $S$ の点を $\dfrac N{n+1}$ 個より少なくしか含まないとする。補集合 $G:=\mathbb{R}^n\setminus H$ は開半空間で、$S\cap G$ は $N-\dfrac N{n+1}=\dfrac{nN}{n+1}$ 個より多くの点をもつので、$\operatorname{conv}(S\cap G)\in\mathcal{F}$ である。$G$ は凸なので $c\in\operatorname{conv}(S\cap G)\subset G$ となり、$c\in H$ に反する。$\square$