Schoenfliesの定理

$\Sigma_i\cup C$ は端点だけを共有する 2 つの弧の和なので Jordan 曲線である。$\Theta:=\Sigma\cup C$、$A:=S^2\setminus(\Sigma_1\cup C)$、$B:=S^2\setminus(\Sigma_2\cup C)$ とおく。$A,B$ は開集合で、$\Sigma_1\cap\Sigma_2=\{a,b\}\subset C$ だから $A\cap B=S^2\setminus\Theta$、$A\cup B=S^2\setminus C$ である。弧 $C$ は $D^1$ と同相なので、Jordan曲線定理 の定理「円板の補集合」により $\tilde H_i(S^2\setminus C)=0$（すべての $i\ge-1$）である。同じ記事の補題「空集合を許す Mayer–Vietoris 完全列」の部分

$$0=\tilde H_1(A\cup B)\to\tilde H_0(A\cap B)\to\tilde H_0(A)\oplus\tilde H_0(B)\to\tilde H_0(A\cup B)=0$$

と、定理「Jordan–Brouwerの分離定理」による $\tilde H_0(A)\cong\tilde H_0(B)\cong\mathbb{Z}$ から $\tilde H_0(S^2\setminus\Theta)\cong\mathbb{Z}^2$ であり、補題「被約 0 次ホモロジーと弧状連結成分」と補題「球面の開集合の成分」により $S^2\setminus\Theta$ はちょうど 3 つの成分をもち、それらは開集合である。

$V$ を $S^2\setminus\Sigma$ の $W$ でない方の成分とする。$C^\circ\subset W$ なので $V\cap\Theta=\emptyset$ であり、分離定理により $\bar V=V\cup\Sigma\subset V\cup\Theta$ なので、$V$ は $S^2\setminus\Theta$ の中で開かつ閉な連結集合、すなわち成分である。$S^2\setminus\Theta=V\sqcup(W\setminus C)$ なので、残る 2 つの成分が $W\setminus C$ の成分であり、$W\setminus C$ はちょうど 2 つの成分をもつ。

$\Sigma_2^\circ:=\Sigma_2\setminus\{a,b\}$ は連結で $\Sigma_1\cup C$ と交わらないので、$S^2\setminus(\Sigma_1\cup C)$ の一方の成分に含まれる。他方の成分を $W_1$ とすると $W_1\cap\Theta=\emptyset$ で、分離定理により $\bar W_1=W_1\cup\Sigma_1\cup C\subset W_1\cup\Theta$ だから、$W_1$ は $S^2\setminus\Theta$ の成分であり、$\partial W_1=\Sigma_1\cup C$ である。$C^\circ\not\subset\Sigma$ なので $\partial W_1\ne\Sigma=\partial V$、よって $W_1\ne V$ であり、$W_1$ は $W\setminus C$ の成分の 1 つである。同様に $S^2\setminus(\Sigma_2\cup C)$ の $\Sigma_1^\circ$ を含まない方の成分 $W_2$ は $W\setminus C$ の成分で、$\partial W_2=\Sigma_2\cup C$ である。$\Sigma_1^\circ\not\subset\Sigma_2\cup C$ なので $\partial W_1\ne\partial W_2$、よって $W_1\ne W_2$ であり、$W\setminus C=W_1\sqcup W_2$ である。$\square$

$\psi\colon\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\}$ を逆立体射影（同相写像）とし、$\varepsilon':=\min(\varepsilon,\operatorname{dist}(p,E))$（$E=\emptyset$ なら $\varepsilon':=\varepsilon$）とおく。同相写像 $\gamma\colon S^1\to\Sigma$ をとり、$S^1$ の閉じた弧 $I\ne S^1$ を、$\gamma^{-1}(p)$ が $I$ の内点で $\gamma(I)\subset B(p,\varepsilon')$ となるようにとる（$\gamma$ の連続性）。$\alpha:=\gamma(I)$、$\beta:=\gamma(\overline{S^1\setminus I})$ は弧で、$\alpha\cap\beta=\{c,d\}$（$\alpha$ の端点）であり、$p\notin\beta$ である。$\delta:=\min(\varepsilon',\operatorname{dist}(p,\beta))>0$ とおく。

$O:=S^2\setminus\psi(B(p,\varepsilon'))$（$N$ を含む閉集合）とし、$P:=S^2\setminus\psi(\alpha)$、$Q:=S^2\setminus(\psi(\beta)\cup O)$、$Q':=S^2\setminus\psi(\beta)$ とおく。$\alpha\subset B(p,\varepsilon')$ なので $\psi(\alpha)\cap O=\emptyset$ であり、$P\cup Q=P\cup Q'=S^2\setminus\psi(\{c,d\})$、$P\cap Q=\psi(B(p,\varepsilon')\setminus\Sigma)$、$P\cap Q'=S^2\setminus\psi(\Sigma)$ である。Jordan曲線定理 の補題「空集合を許す Mayer–Vietoris 完全列」の 2 つの列は、鎖の段の短完全列から作られ、連結準同型は「和集合の輪体を $P$ の鎖と $Q$ の鎖の和に分けて境界をとる」ことで定まる。包含 $Q\subset Q'$ はこの分け方を保つので、上の図式は可換である。

下の行：$\psi(\alpha),\psi(\beta)$ は弧なので、同じ記事の定理「円板の補集合」により $\tilde H_1(P)=\tilde H_1(Q')=0$ であり、完全性から $\partial'$ は単射である。

$x,y\in W\cap B(p,\delta)$ とし、$z:=[\psi(y)]-[\psi(x)]\in\tilde H_0(P\cap Q)$（係数の和が $0$ の $0$ 鎖の類）とおく。$P$ は弧状連結（「円板の補集合」）なので $z$ の $\tilde H_0(P)$ での像は $0$ である。線分 $[x,y]\subset B(p,\delta)$ は $\beta$ とも $\mathbb{R}^2\setminus B(p,\varepsilon')$ とも交わらないので、$z$ の $\tilde H_0(Q)$ での像も $0$ である。よって $\Phi(z)=0$ で、上の行の完全性から $z=\partial w$ となる $w$ がある。$\iota(z)=\partial'(w)$ であり、$x,y$ は $S^2\setminus\psi(\Sigma)$ の同じ弧状連結成分（$W$ を含む成分）にあるので $\iota(z)=0$ である。$\partial'$ は単射なので $w=0$、$z=0$ であり、Jordan曲線定理 の補題「被約 0 次ホモロジーと弧状連結成分」により $x,y$ は $B(p,\varepsilon')\setminus\Sigma$ の同じ弧状連結成分 $G$ にある。

$G$ は $\mathbb{R}^2$ の開集合（開集合の弧状連結成分）で、$B(p,\varepsilon')\cap E=\emptyset$ だから $\Sigma\cup E$ と交わらず、$x\in W$ を含むので $G\subset W\cap B(p,\varepsilon)$ である。開集合 $G$ の中で $x$ と折れ線で結べる点の全体は $G$ の中で開かつ閉なので $G$ 全体であり、$x,y$ は $G$ の中の折れ線で結べる。$\square$

(i) $\delta(\sigma)$ で、lem-sch-local が $\varepsilon=\sigma$ に対して与える $\delta$ を表す（$\delta$ は小さくしても条件を満たすので、$\sigma$ が小さいほど $\delta(\sigma)$ も小さく選べる）。$u_0:=u$、$\sigma_1:=\min(1,\lvert u-p\rvert/2)$ とし、$u_1\in W\cap B(p,\delta(\sigma_1))$ と、$W$ の中で $u_0$ と $u_1$ を結ぶ折れ線の弧 $Q_0$ をとる（$W$ は連結な開集合）。$k\ge1$ について $u_k\in W\cap B(p,\delta(\sigma_k))$ と $Q_0,\dots,Q_{k-1}$ が決まったとき、$\rho_{k-1}:=\operatorname{dist}(p,Q_0\cup\dots\cup Q_{k-1})>0$（$W$ のコンパクト集合と $p\notin W$）とし、$\sigma_{k+1}:=\min(\sigma_k/2,\rho_{k-1})$、$u_{k+1}\in W\cap B(p,\delta(\sigma_{k+1}))$（$\delta(\sigma_{k+1})\le\delta(\sigma_k)$ となるように選ぶ）とし、$Q_k$ を $W\cap B(p,\sigma_k)$ の中で $u_k$ と $u_{k+1}$ を結ぶ折れ線の弧とする。すると $Q_j\subset B(p,\sigma_j)$（$j\ge1$）、$\sigma_j\to0$ であり、$j\ge i+2$ なら $Q_j\subset B(p,\sigma_{i+2})\subset B(p,\rho_i)$ なので $Q_i\cap Q_j=\emptyset$ である。また $u_0\notin B(p,\sigma_1)\supset Q_1$ である。

$v_0:=u_0$ とする。$v_k\in Q_k$、$v_k\notin Q_{k+1}$ が決まったとき、$Q_k$ を $v_k$ から $u_{k+1}$ へたどって最初に $Q_{k+1}$ に属する点を $w_k$ とし（$u_{k+1}\in Q_k\cap Q_{k+1}$ なので存在する）、$Q_k$ の $v_k$ から $w_k$ までの部分弧を $R_k$、$v_{k+1}:=w_k$ とする。$v_{k+1}\in Q_k$ で $Q_k\cap Q_{k+2}=\emptyset$ だから $v_{k+1}\notin Q_{k+2}$ である。$v_k\ne w_k$ なので $R_k$ は弧で、$R_k\cap Q_{k+1}=\{w_k\}$ だから $R_k\cap R_{k+1}=\{v_{k+1}\}$、$\lvert i-j\rvert\ge2$ なら $R_i\cap R_j=\emptyset$ である。$c\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2$ を、$[1-2^{-k},1-2^{-k-1}]$ を $R_k$ へ $1-2^{-k}\mapsto v_k$ となる同相写像で写し、$c(1):=p$ として定める。$R_k\subset B(p,\sigma_k)$ と $\sigma_k\to0$ から $c$ は $1$ で連続であり、$p\notin W$ なので $c$ は単射である。よって $A:=c([0,1])$ は弧で、$A\setminus\{p\}=\bigcup_kR_k\subset W$ である。

(ii) $\Sigma:=\partial U$、$E:=\emptyset$、$W:=U$ とし、$u\in U$ をとる。$\partial U=\Sigma$ の点はすべて $\bar U$ にあるので、(i) により $u$ と $a$、$u$ と $b$ を結ぶ弧 $A_a,A_b$ で $A_a\setminus\{a\},A_b\setminus\{b\}\subset U$ となるものがある。$A_b$ を $b$ からたどって最初に $A_a$ に属する点を $z$ とする（$u\in A_a\cap A_b$）。$b\notin A_a$、$a\notin A_b$ なので $z\ne a,b$ であり、$A_b$ の $b$ から $z$ までの部分弧と $A_a$ の $z$ から $a$ までの部分弧は $z$ だけを共有するので、和は $a,b$ を端点とする弧で、端点以外は $U$ にある。$\square$

$\gamma\colon S^1\to\partial U$ を同相写像とする。$\gamma$ の一様連続性により、$\lvert s-t\rvert\le2\eta$ なら $\lvert\gamma(s)-\gamma(t)\rvert< \varepsilon/2$ となる $\eta\in(0,1)$ がある。$\gamma^{-1}$ の一様連続性により、$\delta\in(0,\varepsilon/2]$ を、$a,b\in\partial U$、$\lvert a-b\rvert< \delta$ なら $\lvert\gamma^{-1}(a)-\gamma^{-1}(b)\rvert< \eta$ となるようにとる。

$C$ を $\operatorname{diam}C< \delta$ の横断弧、$a,b$ をその端点、$s:=\gamma^{-1}(a)$、$t:=\gamma^{-1}(b)$ とする。$\lvert s-t\rvert< \eta$ である。$S^1$ の $s,t$ を結ぶ短い方の弧 $I$ の上では $s$ からの距離が単調に増えるので $I\subset\{\lvert s'-s\rvert\le\eta\}$ であり、$I$ の 2 点の距離は $2\eta$ 以下、よって $\Sigma_1:=\gamma(I)$ の直径は $\varepsilon/2$ 以下である。lem-sch-theta により、$U\setminus C$ の成分 $W_1$ で $\partial W_1=\Sigma_1\cup C$ となるものがある。$\Sigma_1$ と $C$ は $a$ を共有するので、$\operatorname{diam}(\Sigma_1\cup C)\le\operatorname{diam}\Sigma_1+\operatorname{diam}C< \varepsilon/2+\delta\le\varepsilon$ である。

有界な開集合 $W_1$ の直径は境界の直径以下である：$x\ne y\in W_1$ について、$x$ から $y$ と反対向きに進む半直線が最初に $W_1$ を出る点 $x'$、$y$ から $x$ と反対向きに進む半直線が最初に $W_1$ を出る点 $y'$ はともに $\partial W_1$ にあり、$\lvert x-y\rvert\le\lvert x'-y'\rvert$ だからである。よって $\operatorname{diam}W_1\le\operatorname{diam}(\Sigma_1\cup C)< \varepsilon$ である。$\square$

方眼．$\delta$ を lem-sch-short が $\varepsilon/3$ に対して与えるものとし、$s:=\min(\delta,\varepsilon)/5$ とおく。直線 $x=ks$、$y=ks$（$k\in\mathbb{Z}$）の和を $\Gamma$、格子点の集合を $(s\mathbb{Z})^2$ とする。方眼の直線 $L$ について、$U\cap L$ の成分は開線分で、端点は $\bar U\setminus U=\partial U$ にある（$U$ は有界）。これを方眼線分と呼ぶ。方眼線分は、端点を加えると $U$ の横断弧である。格子点を含む方眼線分は、$U$ の中の格子点が有限個なので有限個である。

細分．まず格子点を含む横の方眼線分を 1 本ずつ加える。互いに交わらず、$\partial U$ とは端点でしか交わらないので、それぞれがその時点のある面の横断弧である。次に格子点を含む縦の方眼線分を、その上の格子点（どれも加えた横の方眼線分の上にある）で分け、分けた線分を 1 本ずつ加える。縦の方眼線分は横の方眼線分と格子点でしか交わらないので、分けた線分の内部は既存の $G$ と交わらず、端点は $G$ にあり、面の横断弧である。得られる細分の最後のグラフを $G$ とする。

残る線分．$U\cap\Gamma$ の点で $G$ にないものは、格子点を含まない方眼線分 $\sigma$ の上にある。$\sigma$ は方眼の 1 辺（隣り合う格子点の間の開線分）に含まれるので長さは $s$ 以下で、$G$ とは交わらない（同じ直線上のほかの方眼線分とは交わらず、垂直な方眼線分とは格子点でしか交わらない）。$\sigma$ を自由線分と呼ぶ。$\overline\sigma$ は直径が $s$ 以下（$s< \delta$）の $U$ の横断弧なので、lem-sch-short により $U\setminus\sigma$ の一方の成分 $W_\sigma$ は直径が $\varepsilon/3$ より小さい。他方を $B_\sigma$ とする。

面の木．$F$ を $G$ の面とする。方眼の開いた升目 $Q^\circ$ について $U\cap Q^\circ$ の成分を小片と呼ぶ。小片の直径は $s\sqrt2$ 以下で、連結で $G$ と交わらないので 1 つの面に含まれる。自由線分も連結で $G$ と交わらないので 1 つの面に含まれる。$F$ は、$F$ に含まれる小片と自由線分の和である。自由線分 $\sigma$ が升目 $Q,Q'$ の共通の辺にあるとき、$z\in\sigma$ の十分小さい開円板 $D_z\subset U$ から $\sigma$ を除くと $Q^\circ$ 側と $Q'^\circ$ 側の 2 つの半円板に分かれる。$Q^\circ$ 側の半円板の $z\in\sigma$ にわたる和は連結なので 1 つの小片 $P$ に含まれ、同様に $Q'^\circ$ 側は 1 つの小片 $P'$ に含まれる。$\partial W_\sigma$ と $\partial B_\sigma$ はどちらも $\sigma$ を含む（lem-sch-theta）ので、2 つの半円板は $U\setminus\sigma$ の異なる成分にある。したがって $P$ と $P'$ は $U\setminus\sigma$ の異なる成分にある。

$F$ の小片を頂点、$F$ の自由線分 $\sigma$ を $P$ と $P'$ を結ぶ辺とするグラフ $T$ を考える。$T$ の連結成分ごとに小片と自由線分の和をとると互いに交わらない開集合になるので、$F$ の連結性から $T$ は連結である。辺 $\sigma$ を除いた $T$ の中で $P$ と $P'$ を結ぶ道があれば $F\setminus\sigma$ の中で $P$ と $P'$ がつながるが、これは上に反する。よって $T$ のどの辺も橋で、$T$ は木であり、$T$ から $\sigma$ を除いた 2 つの部分の頂点は、それぞれ $U\setminus\sigma$ の 1 つの成分に含まれる。各辺 $\sigma$ に、$W_\sigma$ 側の端から $B_\sigma$ 側の端への向きを付ける。

場合 1：ある小片 $P$ から出る辺が 2 本 $\sigma_1,\sigma_2$ ある。$P\subset W_{\sigma_1}\cap W_{\sigma_2}$ であり、$\sigma_2$ は $P$ に隣接するので $\sigma_2\subset W_{\sigma_1}$、同様に $\sigma_1\subset W_{\sigma_2}$ である。$B_{\sigma_1}\cup\sigma_1$ は連結で $\sigma_2$ と交わらず、$\sigma_1\subset W_{\sigma_2}$ を含むので $B_{\sigma_1}\subset W_{\sigma_2}$ である。よって $U\subset\overline{W_{\sigma_1}}\cup\overline{W_{\sigma_2}}$ で、2 つは $P$ で交わるから $\operatorname{diam}F\le\operatorname{diam}U\le2\varepsilon/3$ である。

場合 2：どの小片からも出る辺は高々 1 本である。ある小片 $N_0$ から出る辺をたどって $N_0\to N_1\to\cdots$ と進む。無限に続くとき、辺 $\sigma_i\colon N_i\to N_{i+1}$ について、$W_{\sigma_i}\cup\sigma_i\cup N_{i+1}$ は連結で $\sigma_{i+1}$ と交わらず（$\sigma_{i+1}$ は $N_{i+1}$ に隣接し $B_{\sigma_i}$ にある）、$N_{i+1}\subset W_{\sigma_{i+1}}$ を含むので $W_{\sigma_i}\subset W_{\sigma_{i+1}}$ である。$T$ の任意の頂点 $N$ はある $W_{\sigma_i}$ に含まれる：そうでなければ $N_0$ から $N$ への $T$ の道がすべての $\sigma_i$ を通ることになり、有限の道であることに反する。よって $F\subset\bigcup_i\overline{W_{\sigma_i}}$ であり、増大列なので $\operatorname{diam}F\le\varepsilon/3$ である。有限で止まるとき、止まった小片 $P^*$ から出る辺はない。このとき $T$ のすべての辺は $P^*$ の方を向く：$P^*$ から辺 $\sigma$ への道の辺の向きを見ると、最初の辺は $P^*$ を向き、$\sigma$ が $P^*$ から離れる向きなら途中に出る辺が 2 本の頂点があるからである。したがって $P^*$ 以外の頂点 $N$ は、$P^*$ から $N$ への道の最初の辺 $\sigma$ について $W_\sigma$ 側にあり、$F\subset\overline{P^*}\cup\bigcup_\sigma\overline{W_\sigma}$（$\sigma$ は $P^*$ に隣接する辺）である。各 $\overline{W_\sigma}$ は $\overline{P^*}$ と交わるので $\operatorname{diam}F\le s\sqrt2+2\varepsilon/3< \varepsilon$ である。

どの場合も $\operatorname{diam}F< \varepsilon$ である（$T$ が 1 頂点だけのときは場合 2 の有限の場合に含まれる）。$\square$

$r>0$ を、$B(a',r)$ が $a'$ を含む $\partial F^*$ の辺（$a'$ が頂点なら 2 本、辺の内点ならその 1 本）としか交わらず、$b'\notin\overline{B(a',r)}$ となるように小さくとる。$B(a',r)\setminus\partial F^*$ は $a'$ を頂点とする 2 つの開いた扇形からなり、それぞれ連結なので $F^*$ か外部のどちらかに含まれる。$\partial F^*$ は内部と外部の両方の境界なので（Jordan曲線定理）、ちょうど一方の扇形 $S_a$ が $F^*$ に含まれる。扇形は頂点から見て星形なので、$a''\in S_a$ をとると線分 $[a',a'']$ は $a'$ 以外 $F^*$ にある。$b'$ についても同様に $b''$ をとる。$F^*$ の中で $a''$ と $b''$ を結ぶ折れ線と 2 本の線分をつないだ折れ線の道は、$a',b'$ を端点とし、$a',b'$ をそれぞれ 1 回しか通らない。これに含まれる $a'$ と $b'$ を結ぶ折れ線の弧が求めるものである。

$x\in\bar F$ とする。$x\notin G_\infty$ なら $x\in F$（$\bar F\cap G_n=\partial F$）なので $F_n(x)=F$ であり、$h(x)\in\overline{F^*}$ である。$x\in\partial F$ なら $h(x)=\varphi_n(x)\in\partial F^*$ である。$x\in F\cap G_m$（$m>n$）なら、$G_m$ の内部は空なので $x$ は $F$ に含まれる $G_m$ の面（有限個）の点の極限であり、そのような面 $F'$ で $x\in\partial F'$ となるものがある（prop-sch-faces (ii)）。$h(x)=\varphi_m(x)\in\partial F'^*\subset\overline{F^*}$ である。