森田双対

1。 $\Phi_N(n)=0$ は、すべての $\varphi\in N^*$ で $\varphi(n)=0$ となることである。

2。 $\psi\in N^*$ について、$(\Phi_N)^*(\Phi_{N^*}(\psi))=\Phi_{N^*}(\psi)\circ\Phi_N$ は $n\mapsto\Phi_N(n)(\psi)=\psi(n)$ なので $\psi$ に等しい。$\Phi_N$ が同型なら $(\Phi_N)^*$ も同型なので、$\Phi_{N^*}=((\Phi_N)^*)^{-1}$ は同型である。

3。 $(-)^{**}$ は加法的なので有限直和を保ち、この同一視のもとで $\Phi_{N_1\oplus N_2}=\Phi_{N_1}\oplus\Phi_{N_2}$ である。直和写像が同型であることと各成分が同型であることは同値である。

4。 $\varepsilon\colon R^*\to U$、$\varphi\mapsto\varphi(1)$ は右 $S$ 加群の同型である（逆は $u\mapsto(x\mapsto xu)$）。よって $\xi\mapsto\xi\circ\varepsilon^{-1}$ は全単射 $R^{**}\to\operatorname{End}_S(U)$ である。$\Phi_R(r)\circ\varepsilon^{-1}$ は $u\mapsto\Phi_R(r)(x\mapsto xu)=ru$、すなわち $\lambda_r$ である。したがって $\Phi_R$ が全単射であることは $r\mapsto\lambda_r$ が全単射であることと同じである。

5。 $U^*=\operatorname{End}_R(U)$ の右 $S$ 加群の構造は $(\varphi t)(u)=\varphi(u)t$、すなわち $\varphi t=\rho_t\varphi$ である。$\sigma(s):=\rho_s$ とおくと $\sigma(st)=\rho_t\rho_s=\sigma(s)t$ なので、$\sigma\colon S_S\to U^*$ は右 $S$ 加群の同型である。$u\in U$ について $\Phi_U(u)(\sigma(s))=\rho_s(u)=us$ である。$\Phi_U(u)=0$ なら $s=1$ として $u=0$ であり、$\Phi_U$ は単射である。$\xi\in U^{**}$ について $u:=\xi(\sigma(1))$ とおくと、$\xi(\sigma(s))=\xi(\sigma(1)s)=us=\Phi_U(u)(\sigma(s))$ であり、$\sigma$ は全射なので $\xi=\Phi_U(u)$ である。よって $\Phi_U$ は全単射である。

左右を入れ替えた主張も同じ計算で示される。$\square$

自然同型 $\eta\colon\mathrm{id}_{\mathcal C}\to GF$ を固定する。

1。 $G(\ell_s)$ は $\mathcal C$ の射なので $R$ 線形であり、$U$ の $R$ の作用と $S$ の作用は可換である。$\ell_s\ell_t=\ell_{st}$ と $G$ が反変であることから $G(\ell_{st})=G(\ell_t)G(\ell_s)$、すなわち $u(st)=(us)t$ であり、$G(\ell_1)=\mathrm{id}$ と $G$ の加法性から $U$ は右 $S$ 加群である。定義から $\rho_s=G(\ell_s)$ である。右 $S$ 加群 $S_S$ の自己準同型 $f$ は $f(t)=f(1)t$ なので $f=\ell_{f(1)}$ であり、$s\mapsto\ell_s$ は全単射 $S\to\operatorname{End}_S(S)$ である。$G$ は全単射 $\operatorname{End}_{\mathcal D}(S)\to\operatorname{End}_{\mathcal C}(U)$ を与えるので、$s\mapsto\rho_s$ は全単射である。

2。 $N\in\mathcal C$ と $y\in F(N)$ について、$\hat y\colon S\to F(N)$、$t\mapsto yt$ とおき、$$\theta_N(y):=G(\hat y)\circ\eta_N\colon N\to GF(N)\to G(S)=U$$と定める。$y\mapsto\hat y$ は全単射 $F(N)\to\operatorname{Hom}_S(S,F(N))$、$G$ は全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(S,F(N))\to\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(GF(N),U)$、$\eta_N$ との合成は全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(GF(N),U)\to\operatorname{Hom}_R(N,U)$ なので、$\theta_N$ は全単射である。$\widehat{ys}=\hat y\circ\ell_s$ なので $G(\widehat{ys})=\rho_s\circ G(\hat y)$、すなわち $\theta_N(ys)=\theta_N(y)s$ であり、$\theta_N$ は $S$ 線形である。$f\colon N\to N'$ と $y'\in F(N')$ について、$\widehat{F(f)(y')}=F(f)\circ\hat y'$ と $\eta$ の自然性 $GF(f)\circ\eta_N=\eta_{N'}\circ f$ から$$\theta_N(F(f)(y'))=G(\hat y')\circ GF(f)\circ\eta_N=G(\hat y')\circ\eta_{N'}\circ f=\theta_{N'}(y')\circ f$$であり、$\theta$ は自然である。

左右を入れ替えて同じ構成をすると、$V:=F({}_RR)$ に $r\cdot v:=F(\rho'_r)(v)$ で左 $R$ 加群の構造を入れて、左 $R$ 加群の自然同型 $G(M)\cong\operatorname{Hom}_S(M,V)$ が得られる。$V$ が $U$ と両側加群として同型であることを示す。$\varepsilon\colon\operatorname{Hom}_R(R,U)\to U$、$\varphi\mapsto\varphi(1)$ は右 $S$ 加群の同型なので、$\varepsilon\circ\theta_R\colon V\to U$ は右 $S$ 加群の同型である。$\theta$ の自然性から $\theta_R(F(\rho'_r)(v))=\theta_R(v)\circ\rho'_r$ であり、$\varepsilon(\varphi\circ\rho'_r)=\varphi(r)=r\varphi(1)$ なので、$\varepsilon\theta_R(r\cdot v)=r\,\varepsilon\theta_R(v)$ である。よって $V\cong U$ は両側加群の同型で、$G(M)\cong\operatorname{Hom}_S(M,U)$ である。

3。 $r\mapsto\rho'_r$ は全単射 $R\to\operatorname{End}_R(R)$ であり（1 と同じ理由）、$F$ は全単射 $\operatorname{End}_{\mathcal C}(R)\to\operatorname{End}_{\mathcal D}(V)$ を与える。$V$ の左 $R$ の作用の定義から $F(\rho'_r)$ は $r$ の作用であり、2 の両側加群の同型 $V\cong U$ でこれは $\lambda_r$ に移る。よって $r\mapsto\lambda_r$ は全単射 $R\to\operatorname{End}_S(U)$ である。

4。 入射性：$I$ を $R$ の左イデアルとする。$\mathcal C$ は ${}_RR$ を含み部分加群と商加群で閉じているので、$0\to I\to R\to R/I\to0$ は $\mathcal C$ の短完全列であり、$F$ はこれを短完全列 $0\to F(R/I)\to F(R)\to F(I)\to0$ に移す。2 の自然同型により $\operatorname{Hom}_R(R,U)\to\operatorname{Hom}_R(I,U)$（制限）は全射であり、Baerの判定法 の定理「Baer の判定法」により ${}_RU$ は入射的である。

余生成性：単純な左 $R$ 加群 $T$ は ${}_RR$ の商加群なので $\mathcal C$ に属する。$F(T)=0$ なら $T\cong GF(T)\cong G(0)=0$ となるので $F(T)\neq0$、すなわち $\operatorname{Hom}_R(T,U)\neq0$ である。左 $R$ 加群 $N$ と $0\neq n\in N$ をとる。巡回加群 $Rn$ は極大部分加群 $L$ をもつ（$Rn\cong R/\operatorname{Ann}(n)$ で、$\operatorname{Ann}(n)$ を含む極大左イデアルが Zornの補題 により存在する）。$T:=Rn/L$ は単純で、$0$ でない $h\colon T\to U$ は単射なので、$g\colon Rn\to T\to U$ は $0$ でなく、$Rn$ を生成する $n$ について $g(n)\neq0$ である。${}_RU$ の入射性により $g$ は $N$ 全体からの準同型に延びる。よって $N$ は $U$ で余生成され、${}_RU$ は余生成子である。$U_S$ についても、2 の自然同型 $G\cong\operatorname{Hom}_S(-,U)$ を使い、左右を入れ替えて同じ議論をすればよい。$\square$

1。 $I\subset\operatorname{ann}_R(\operatorname{ann}_U(I))$ と $W\subset\operatorname{ann}_U(\operatorname{ann}_R(W))$ は定義から明らかであり、2 つの写像が包含の向きを逆にすることも明らかである。

$r\notin I$ とする。$R/I$ の元 $\bar r$ は $0$ でなく、${}_RU$ は余生成子なので、$\varphi(\bar r)\neq0$ となる $\varphi\colon R/I\to U$ がある。$u:=\varphi(\bar1)$ とおくと $Iu=\varphi(I\bar1)=0$ なので $u\in\operatorname{ann}_U(I)$ であり、$ru=\varphi(\bar r)\neq0$ である。よって $r\notin\operatorname{ann}_R(\operatorname{ann}_U(I))$ であり、$\operatorname{ann}_R(\operatorname{ann}_U(I))=I$ である。

$u\notin W$ とする。$U/W$ の元 $\bar u$ は $0$ でなく、$U_S$ は余生成子なので、$\psi(\bar u)\neq0$ となる右 $S$ 準同型 $\psi\colon U/W\to U$ がある。商写像との合成 $U\to U/W\to U$ は $U$ の右 $S$ 自己準同型で、平衡性によりある $r\in R$ について $\lambda_r$ に等しい。$\lambda_r$ は $W$ を $0$ に送るので $r\in\operatorname{ann}_R(W)$ であり、$ru=\psi(\bar u)\neq0$ である。よって $u\notin\operatorname{ann}_U(\operatorname{ann}_R(W))$ であり、$\operatorname{ann}_U(\operatorname{ann}_R(W))=W$ である。

2。 1 の全単射は包含の向きを逆にするので、左イデアルの減少列は $U$ の $S$ 部分加群の増加列に、増加列は減少列に対応する。よって左イデアルの降鎖条件は $U_S$ の昇鎖条件と、昇鎖条件は $U_S$ の降鎖条件と同値である（Artin加群、Noether加群）。$\square$