無限次元射影空間

1．$q(x)\in\mathbb{F}\mathrm{P}^n$ となるのは $x\in\mathbb{F}^{n+1}$ のときに限るので、$U\subset\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty$ について $q^{-1}(U)\cap S(\mathbb{F}^{n+1})=q_n^{-1}(U\cap\mathbb{F}\mathrm{P}^n)$ である。よって
$$ q^{-1}(U)\text{ が開}\iff\forall n:\ q_n^{-1}(U\cap\mathbb{F}\mathrm{P}^n)\text{ が開}\iff\forall n:\ U\cap\mathbb{F}\mathrm{P}^n\text{ が開} $$
である。最初の同値は $S(\mathbb{F}^\infty)$ の弱位相の定義、次の同値は $\mathbb{F}\mathrm{P}^n$ が $q_n$ による商位相をもつことによる。左端は商位相で $U$ が開であること、右端は弱位相で開であることである。
2．$x\in S(\mathbb{F}^\infty)$ について $p_{ij}(x):=x_i\bar x_j\in\mathbb{F}$ とおく。$|\lambda|=1$ なら $(x_i\lambda)\overline{(x_j\lambda)}=x_i\lambda\bar\lambda\bar x_j=x_i\bar x_j$ なので、$p_{ij}$ は $q$ の各ファイバーで一定である。各段で連続なので $S(\mathbb{F}^\infty)$ 上で連続であり、1 により $\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty$ 上の連続関数 $\bar p_{ij}$ を定める。$[x]\ne[y]$（$\|x\|=\|y\|=1$）なら、ある $\bar p_{ij}$ の値が異なる。実際すべて一致したとし、$x_k\ne0$ となる $k$ をとると、$p_{kk}$ から $|x_k|=|y_k|$、$p_{ik}$ から $x_i\bar x_k=y_i\bar y_k$ である。$\lambda:=\bar y_k\bar x_k^{-1}$ とおくと $|\lambda|=1$ で、すべての $i$ について $x_i=y_i\lambda$、すなわち $x=y\lambda$ となり矛盾する。値を $\mathbb{F}\cong\mathbb{R}^d$ の互いに交わらない開集合で分け、$\bar p_{ij}$ で引き戻せば、互いに交わらない近傍が得られる。同じ議論で各 $\mathbb{F}\mathrm{P}^n$ も Hausdorff であり、コンパクト（球面の像）である。残りは 無限次元球面 の命題「有限段は閉部分空間」の証明と同じである。
3．$n\ge1$ とし、$w\in\mathbb{F}^n$、$|w|\le1$ について
$$ \Phi_n(w):=\bigl[w_0,\dots,w_{n-1},\sqrt{1-|w|^2}\,\bigr]\in\mathbb{F}\mathrm{P}^n $$
とおく（$D^{dn}$ を $\mathbb{F}^n$ の単位閉球体とみる）。$x_n\ne0$ である点 $[x]$ は、$\lambda:=\bar x_n/|x_n|$ を掛けると第 $n$ 成分が正の実数 $|x_n|$ になり、そのような単位ベクトルの代表はただ 1 つである（$x_n\lambda$、$x_n\mu$ がともに正の実数で絶対値が等しければ $\lambda=\mu$）。よって $\Phi_n$ は開球体を $\mathbb{F}\mathrm{P}^n\setminus\mathbb{F}\mathrm{P}^{n-1}$ の上へ全単射に写し、境界 $S(\mathbb{F}^n)=S^{dn-1}$ の上では $q_{n-1}$ に等しい。$\Phi_n$ と包含からなる写像 $D^{dn}\sqcup\mathbb{F}\mathrm{P}^{n-1}\to\mathbb{F}\mathrm{P}^n$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、同一視されるのはちょうど $w\in\partial D^{dn}$ と $q_{n-1}(w)$ である。これが 3 の前半である。

$U_i:=\{[x]\mid x_i\ne0\}$ とおく。$q^{-1}(U_i)=\{x\mid x_i\ne0\}$ は開集合なので（座標は連続）、1 により $U_i$ は開集合で、$\bigcup_iU_i=\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty$ である。$x\in q^{-1}(U_i)$ について $\sigma_i(x):=x\,\bar x_i/|x_i|$ とおくと、$|\lambda|=1$ のとき $\sigma_i(x\lambda)=x\lambda\bar\lambda\bar x_i/|x_i|=\sigma_i(x)$ である。$\sigma_i$ は連続で、開かつ飽和な集合への $q$ の制限は商写像なので、$s_i([x]):=\sigma_i(x)$ は連続な切断 $s_i\colon U_i\to q^{-1}(U_i)$ を定める。$s_i([x])$ の第 $i$ 成分は正の実数 $|x_i|$ である。
$$ \varphi_i\colon U_i\times S(\mathbb{F})\to q^{-1}(U_i),\qquad\varphi_i([x],\lambda):=s_i([x])\,\lambda $$
は連続で（右からの掛け算 $S(\mathbb{F}^\infty)\times S(\mathbb{F})\to S(\mathbb{F}^\infty)$ は、$S(\mathbb{F})$ がコンパクトなので Hat02 Theorem A.6（p. 524）により各段の連続性から連続）、$q\circ\varphi_i$ は第 1 成分への射影である。逆写像は $y\mapsto(q(y),\,y_i/|y_i|)$ で与えられ、連続である。実際 $s_i(q(y))\,y_i/|y_i|=y\,\bar y_i\,y_i/|y_i|^2=y$ である。よって $\varphi_i$ は局所自明化である。

ファイバー束は CW 対について、とくに円板 $D^k$ についてホモトピー持ち上げ性質をもつ（Hat02 Proposition 4.48, p. 379）。よって ipr-prop-bundle の束について、ファイバー $S(\mathbb{F})$、全空間 $S(\mathbb{F}^\infty)$ のホモトピー群の長完全列
$$ \cdots\to\pi_k(S(\mathbb{F}^\infty))\to\pi_k(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)\xrightarrow{\partial}\pi_{k-1}(S(\mathbb{F}))\to\pi_{k-1}(S(\mathbb{F}^\infty))\to\cdots\to\pi_0(S(\mathbb{F}^\infty))\to0 $$
がある（同 Theorem 4.41, p. 376。$\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty$ は連結な空間の像なので弧状連結）。$S(\mathbb{F}^\infty)$ は可縮（無限次元球面 の定理「無限次元球面の可縮性」）なので、そのホモトピー群はすべて $0$ であり、$k\ge2$ で $\partial$ は同型である。$k=1$ のとき、$d\ge2$ なら $\pi_0(S(\mathbb{F}))$ は一点なので、$\pi_1(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)$ は $\pi_1(S(\mathbb{F}^\infty))=0$ の像に等しく $0$ である。$d=1$ なら $q$ は単連結な空間からの 2 重被覆であり、デッキ変換群 $\{\pm1\}$ が $\pi_1(\mathbb{RP}^\infty)$ と同型になる（$S^\infty$ は CW 複体なので局所弧状連結である。Hat02 Proposition 1.40, p. 72、Proposition A.4, p. 522）。

ipr-thm-homotopy に球面のホモトピー群の値を入れる。$S^0$ は離散なので $\pi_j(S^0)=0$（$j\ge1$）。$S^1$ の普遍被覆は $\mathbb{R}$ なので $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_j(S^1)=0$（$j\ge2$）。$\pi_j(S^3)=0$（$j\le2$）、$\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_4(S^3)\cong\mathbb{Z}/2$ である（$j\le3$ は n次元球面 の定理「ホモトピー群の値」、$\pi_4(S^3)$ は 球面のホモトピー群 の低次の計算表と Hat02 §4.1 の表（p. 339）による。$\pi_4(S^3)$ の値はこの記事では証明しない）。

$m:=d(n+1)-1$ とおくと、ipr-thm-topology の 3 により $\mathbb{F}\mathrm{P}^n$ は $\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty$ の $m$ 骨格である。CW 複体 $X$ とその $m$ 骨格 $X^m$ について、$j\le m$ なら $H^j(X,X^m;G)=0$ である（Hat02 p. 203、Theorem 3.5 の証明）。対の長完全列
$$ H^j(X,X^m;G)\to H^j(X;G)\to H^j(X^m;G)\to H^{j+1}(X,X^m;G) $$
の両端は $j\le m-1$ で $0$ なので、中央の写像は同型である。

各 $j$ について、$n$ を $d(n+1)-2\ge j$ となるように大きくとると、ipr-lem-restriction により $H^j(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)\cong H^j(\mathbb{F}\mathrm{P}^n)$ である。よって $H^j(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)$ は、$j$ が $d$ の倍数なら $R_{\mathbb{F}}$ に同型で、そうでなければ $0$ である。$g\in H^d(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)$ を生成元とする。
$k\ge1$ を固定し、$n:=k+1$ とおく（$k=0$ では $g^0=1$ が $H^0(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)\cong R_{\mathbb{F}}$ を生成する）。$d(k+2)-2\ge dk\ge d$ なので $i_n^*$ は次数 $d$ と $dk$ で同型であり、$i_n^*g$ は $H^d(\mathbb{F}\mathrm{P}^n)$ の生成元 $g_n$（$\mathbb{Z}$ 係数では符号を除いて）である。$i_n^*$ は環準同型なので $i_n^*(g^k)=(i_n^*g)^k=\pm g_n^k$ であり、$k\le n$ だから $g_n^k$ は $H^{dk}(\mathbb{F}\mathrm{P}^n)$ を生成する。$i_n^*$ が次数 $dk$ で同型なので、$g^k$ は $H^{dk}(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)$ を生成する。
以上により、$g\mapsto g$ で定まる次数付き環準同型 $R_{\mathbb{F}}[g]\to H^*(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty)$ は、各次数 $dk$ で $R_{\mathbb{F}}g^k\cong R_{\mathbb{F}}$ を $H^{dk}$ の上へ同型に写し、その他の次数では両辺が $0$ である。よって同型である。

$X$ を次元 $m$ の CW 複体とすると、任意の係数で $j>m$ のとき $H^j(X;G)=0$ である（Hat02 p. 203、Theorem 3.5 の証明）。一方 ipr-thm-ring により、すべての $k$ で $H^{dk}(\mathbb{F}\mathrm{P}^\infty;R_{\mathbb{F}})\ne0$ である。コホモロジーはホモトピー不変なので、ホモトピー同値にはなりえない。