巡回符号

1：$x\,c(x)=c_{n-1}x^n+\sum_{i=0}^{n-2}c_ix^{i+1}$ で、$x^n\equiv1\pmod{x^n-1}$ だから $x\,c(x)\equiv c_{n-1}+c_0x+\dots+c_{n-2}x^{n-1}$ であり、右辺は $\sigma(c)$ の多項式である。
2：$C$ がイデアルなら、$c\in C$ について $x\,c(x)\in C$ なので 1 により $\sigma(c)\in C$ である。逆に $C$ が巡回符号なら、1 を繰り返して $x^jc(x)\in C$（$j\ge0$）である。$R_n$ の任意の元は $\sum_ja_jx^j$ と書けるので、$C$ が線形であることから $\bigl(\sum_ja_jx^j\bigr)c(x)=\sum_ja_j\,x^jc(x)\in C$ となる。$C$ は加法について閉じているので $R_n$ のイデアルである。$\square$

以下、次数 $n-1$ 以下の多項式 $m\,g$（$\deg m\le n-r-1$）について、$m\,g=\sum_jm_j\,x^jg$ の各項 $x^jg$ は次数 $j+r\le n-1$ の多項式で、$\sigma^j(g)$ に対応する（prop-cyc-ideal の 1 で $x^n$ の項が現れない）ことを使う。
1：$C\ne\{0\}$ なので $0$ でない符号語があり、次数が最小のもの $c$ をとって最高次の係数で割れば、モニックで同じ次数の符号語 $g$ が得られる。同じ次数のモニックな符号語 $g'$ がほかにあれば、$g-g'$ は次数がより小さい $0$ でない符号語になり、最小性に反する。
3：$\deg m\le n-r-1$ なら、上の注意と $C$ の線形性から $m\,g\in C$ である。逆に $c\in C$ を $g$ で割って $c=m\,g+s$（$s=0$ または $\deg s< r$）とする（多項式環 の定理「除法の原理」）。$\deg(m\,g)\le\max(\deg c,\deg s)\le n-1$ なので $\deg m\le n-r-1$ で、$m\,g\in C$ だから $s=c-m\,g\in C$ である。$r$ の最小性から $s=0$ である。基底について：$x^jg$（$0\le j\le n-r-1$）は次数が相異なるので一次独立で、上で示したことから $C$ を張る。
2：$x^{n-r}g$ は次数 $n$ のモニック多項式なので、$x^{n-r}g=(x^n-1)+s$（$s=0$ または $\deg s\le n-1$）と書ける。$s\equiv x^{n-r}g\pmod{x^n-1}$ なので、prop-cyc-ideal により $s$ は $C$ の符号語である。3 により $g\mid s$ で、$x^n-1=x^{n-r}g-s$ も $g$ で割り切れる。
4：$x^n-1=g\,h$ とする。右辺を $C_g$ とおくと、線形部分空間であることは明らかである。$m\,g\in C_g$ について、$\deg m\le n-r-2$ なら $x\,m\,g\in C_g$ である。$\deg m=n-r-1$ で $x\,m$ の最高次の係数を $a$ とすると、$R_n$ で $x\,m\,g\equiv x\,m\,g-a(x^n-1)=(x\,m-a\,h)\,g$ で、右辺は次数 $n-1$ 以下の $g$ の倍数なので $C_g$ に入る。よって prop-cyc-ideal により $C_g$ は巡回符号である。$C_g$ の $0$ でない元は $g$ の倍数で次数 $r$ 以上なので、1 の意味の多項式は $g$ である。
最後の主張は、1・2 で $C\mapsto g$ が定まり、3 により $g$ から $C$ が復元でき、4 によりどの約数も現れることから従う。$\square$

$c=m\,g$ なら $c\,h=m(x^n-1)$ である。逆に $c\,h=(x^n-1)s=g\,h\,s$ なら、$\mathbb F_q[x]$ は整域で $h\neq0$ なので $c=g\,s$ であり、thm-cyc-generator の 3 により $c\in C$ である（$\deg s=\deg c-r\le n-r-1$）。$\square$

$\tilde g(x):=x^rg(1/x)$ とおくと、$x^n-1=g\,h$ の $x$ に $1/x$ を代入して $x^n$ を掛けることで $1-x^n=\tilde g\,\tilde h$ を得る。よって $h(0)^{-1}\tilde h$ は $x^n-1$ の次数 $k< n$ のモニックな約数で、thm-cyc-generator の 4 と 3 により、これを生成多項式とする巡回符号 $D$ があり、その次元は $n-k=r$ である。線形符号 の命題「双対符号の次元」により $\dim C^\perp=n-k$ でもあるので、$D\subset C^\perp$ を示せばよい。そのためには、$C$ の基底 $x^ig$（$0\le i\le k-1$）と $D$ の基底 $x^j\tilde h$（$0\le j\le r-1$）が直交することを示せば十分である。
語 $x^ig$ の第 $p$ 座標は $g_{p-i}$、語 $x^j\tilde h$ の第 $p$ 座標は $h_{k+j-p}$ である（添字が範囲外の係数は $0$ とする）。$p-i=l$ とおくと、2 つの語の内積は
$$ \sum_{p}g_{p-i}\,h_{k+j-p}=\sum_{l}g_l\,h_{s-l},\qquad s:=k+j-i $$
で、これは $g\,h=x^n-1$ の $x^s$ の係数である。$0\le i\le k-1$、$0\le j\le r-1$ から $1\le s\le k+r-1=n-1$ なので、この係数は $0$ である。$\square$

1：$c\in C$ なら $c=m\,g$ なので $c(\beta^i)=m(\beta^i)g(\beta^i)=0$ である。逆に $c(\beta^i)=0$（$i\in Z(C)$）なら、因数定理（多項式環 の系「剰余定理と因数定理」）を相異なる根 $\beta^i$ について繰り返して、$\mathbb F_{q^m}[x]$ で $g=\prod_{i\in Z(C)}(x-\beta^i)$ が $c$ を割り切る。$c$ を $g$ で $\mathbb F_q[x]$ の中で割った余りは、$\mathbb F_{q^m}[x]$ の中で割った余りでもあり（除法の原理の一意性）、それは $0$ である。よって $g\mid c$ で、$\deg c\le n-1$ だから thm-cyc-generator の 3 により $c\in C$ である。
2：$\varphi(a):=a^q$ は $\mathbb F_{q^m}$ の環準同型で、$\mathbb F_q$ の元を動かさない（有限体 の命題「Frobenius写像の性質」と系「有限体における $x^q=x$」）。$g$ の係数は $\mathbb F_q$ にあるので $g(\beta^{qi})=g\bigl(\varphi(\beta^i)\bigr)=\varphi\bigl(g(\beta^i)\bigr)=0$ である。
3：$P:=\prod_{i\in Z}(x-\beta^i)$ の係数に $\varphi$ を施した多項式は $\prod_{i\in Z}(x-\beta^{qi})$ である。$\gcd(q,n)=1$ なので $i\mapsto qi$ は $\mathbb Z/n\mathbb Z$ の単射で、$q$ 倍で閉じた有限集合 $Z$ の全単射になるから、この多項式は $P$ に等しい。よって $P$ の係数 $a$ は $a^q=a$ を満たす。$x^q-x$ の根は高々 $q$ 個で、$\mathbb F_q$ の $q$ 個の元がすでに根なので、$a\in\mathbb F_q$ である。$P$ は $\mathbb F_{q^m}[x]$ で $x^n-1$ を割り切り、$x^n-1$ を $P$ で $\mathbb F_q[x]$ の中で割った余りは $\mathbb F_{q^m}[x]$ の中での余り $0$ に等しい（除法の原理の一意性）ので、$P$ は $\mathbb F_q[x]$ での $x^n-1$ の次数 $n$ 未満のモニックな約数である。よってthm-cyc-generator の 4 によりそれを生成多項式とする巡回符号があり、その零点の集合は $P$ の根の番号の集合 $Z$ である。$\square$

重み $w$ が $1\le w\le\delta-1$ の符号語 $c$ があったとして矛盾を導く。$c$ の台を $\{i_1,\dots,i_w\}$（相異なる $0\le i_l\le n-1$）とし、$\gamma_l:=\beta^{i_l}$ とおく。$\beta$ の位数は $n$ なので $\gamma_1,\dots,\gamma_w$ は相異なる $0$ でない元である。$0\le s\le w-1$ について $b+s\in Z(C)$ なので、thm-cyc-zeros の 1 により
$$ 0=c(\beta^{b+s})=\sum_{l=1}^wc_{i_l}\gamma_l^{\,b+s}=\sum_{l=1}^w\gamma_l^{\,s}\cdot\bigl(\gamma_l^{\,b}c_{i_l}\bigr)\qquad(s=0,1,\dots,w-1) $$
である。係数行列 $(\gamma_l^{\,s})_{0\le s\le w-1,\ 1\le l\le w}$ は相異なる $\gamma_1,\dots,\gamma_w$ を節点とする Vandermonde 行列（の転置）なので、Vandermondeの行列式 の命題「正則性の判定」により正則である。よって $\gamma_l^{\,b}c_{i_l}=0$ で、$\gamma_l\ne0$ から $c_{i_l}=0$（$l=1,\dots,w$）となり、$c$ の台のとり方に反する。$\square$