古典群のコホモロジー環

$Q(v)$ の性質．$v\in U$ なら $v_1\ne1$ である（$|v_1|\le|v|=1$ で、$v_1=1$ なら他の成分は $0$ になり $v=e_1$）。$Q(v)$ の $(i,j)$ 成分は $\delta_{ij}-w_ia\bar w_j$ で、$v$ について連続である。$w^*e_1=\bar w_1=1-\bar v_1$ だから $Q(v)e_1=e_1-wa(1-\bar v_1)=e_1-w=v$ である。$Q(v)^*=I-w\bar aw^*$ であり、$w^*w=|1-v_1|^2+\sum_{i\ge2}|v_i|^2=2-2\operatorname{Re}v_1$ は実数なので$$Q^*Q=I-w(a+\bar a)w^*+w\,\bar a(w^*w)a\,w^*=I-w\bigl(a+\bar a-|a|^2w^*w\bigr)w^*.$$$a^{-1}+\bar a^{-1}=(1-\bar v_1)+(1-v_1)=w^*w$ で、$a^{-1}=\bar a/|a|^2$（四元数でも成り立つ）から $|a|^2w^*w=|a|^2(a^{-1}+\bar a^{-1})=\bar a+a$ となり、$Q^*Q=I$ である。四元数の場合も、使った可換性は実数 $w^*w$ と $|a|^2$ がすべての元と可換であることだけである。

切断．$U(n)$・$Sp(n)$ では $s_U:=Q$ とする。$SU(n)$ では $\delta(v):=\det Q(v)$（$|\delta|=1$）とおき、$s_U(v):=Q(v)\operatorname{diag}(1,\dots,1,\delta(v)^{-1})$ とする。$n\ge2$ なので第 1 列は変わらず、$\det s_U=1$ である。$J$ は 3 つの群のどれにも属し $J^2=I$ である。$v\in V$ なら $Jv\ne e_1$（$Je_1=-e_1$）なので $s_V(v):=Js_U(Jv)$ が定義でき、$s_V(v)e_1=J(Jv)=v$ である。

同相．$C\in G(n)$ が $Ce_1=e_1$ を満たすとする。$j\ge2$ について第 $j$ 列は第 1 列 $e_1$ に直交するので、その第 1 成分 $\langle e_1,Ce_j\rangle$ は $0$ であり、$C=\operatorname{diag}(1,B)$ と書ける。$B$ の列は正規直交で、$SU(n)$ では $\det B=\det C=1$ だから $B\in G(n-1)$ である。よって $A\mapsto\bigl(Ae_1,\ s_U(Ae_1)^{-1}A\text{ の右下の }(n-1)\text{ 次ブロック}\bigr)$ は $p^{-1}(U)\to U\times G(n-1)$ の連続写像で、$\Phi_U$ の両側の逆写像である。$V$ でも同じである。$\square$

$W\times F$ のコホモロジー．$W=S^d\setminus\{\pm e_1\}$ は、$v_s:=(v-s\operatorname{Re}(v_1)e_1)/|v-s\operatorname{Re}(v_1)e_1|$（$0\le s\le1$）により、$\operatorname{Re}u_1=0$ となる単位ベクトル $u$ のなす $d-1$ 次元球面に変位レトラクトする（分母が $0$ になるのは $v$ が $e_1$ の実数倍のとき、すなわち $v=\pm e_1$ のときだけである）。$H^*(F)$ は各次数で有限生成自由なので、Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の補題「積空間のクロス積」により $H^q(W\times F)\cong\bigoplus_aH^a(W)\otimes H^{q-a}(F)$ である。$0< a< d-1$ では $H^a(W)\cong H^a(S^{d-1})=0$ なので、$q< d-1$ では $\mathrm{pr}_F^*\colon H^q(F)\to H^q(W\times F)$ は同型であり、点 $v_0\in W$ での包含 $i_{v_0}\colon F\to W\times F$、$B\mapsto(v_0,B)$ が誘導する $i_{v_0}^*$ はその逆写像である。

貼り合わせの作用．$\tau:=\Phi_V^{-1}\circ\Phi_U$ とおく。$\tau\circ i_{v_0}=i_{v_0}\circ L$、$L(B):=t(v_0)B$ である。$F$ は弧状連結なので $I$ から $t(v_0)$ への道 $\gamma$ があり、$(B,s)\mapsto\gamma(s)B$ は $\mathrm{id}_F$ から $L$ へのホモトピーである。よって $i_{v_0}^*\tau^*=L^*i_{v_0}^*=i_{v_0}^*$ であり、$q< d-1$ では $i_{v_0}^*$ が同型なので $\tau^*$ は $H^q(W\times F)$ の恒等写像である。

延長．$\alpha:=(\Phi_U^{-1})^*\mathrm{pr}_F^*y\in H^q(p^{-1}(U))$、$\beta:=(\Phi_V^{-1})^*\mathrm{pr}_F^*y\in H^q(p^{-1}(V))$ とおく。$p^{-1}(W)$ への制限を $\Phi_U$ で $W\times F$ に引き戻すと、$\alpha$ は $\mathrm{pr}_F^*y$、$\beta$ は $\tau^*\mathrm{pr}_F^*y=\mathrm{pr}_F^*y$ になる。よって $\alpha$ と $\beta$ は $p^{-1}(W)$ で一致する。開被覆 $G(n)=p^{-1}(U)\cup p^{-1}(V)$ の Mayer–Vietoris 完全列$$H^q(G(n))\to H^q(p^{-1}(U))\oplus H^q(p^{-1}(V))\to H^q(p^{-1}(W))$$（2 つ目の写像は制限の差。Hat02 §3.1、p. 203）の完全性から、両方への制限が $\alpha$、$\beta$ になる $c$ がある。

部分群への制限．$e_1\in V$ であり、$s_V(e_1)^{-1}=\operatorname{diag}(1,t_0)$（$t_0\in F$）とおくと $\iota(B)=\Phi_V(e_1,t_0B)$ である。左からの $t_0$ 倍は上と同じく $\mathrm{id}_F$ にホモトピックなので、$\iota^*c=y$ である。$\square$

3 つの群をまとめて $n$ についての帰納法で示す。主張に「$G(n)$ は弧状連結」を加える。

$n=1$． $U(1)=S^1$、$Sp(1)=S^3$、$SU(1)=\{1\}$ なので、$H^*$ はそれぞれ $\Lambda_{\mathbb Z}[x_1]$、$\Lambda_{\mathbb Z}[x_3]$、$\mathbb Z$ で、どれも弧状連結である（Mayer–Vietoris完全列 の命題「球面のホモロジー」と 普遍係数定理）。

$n-1$ から $n$ へ． $n\ge2$ とし、$F:=G(n-1)$ について主張が成り立つとする。$F$ の生成元の次数の最大値は、$U(n-1)$・$SU(n-1)$ では $2n-3$、$Sp(n-1)$ では $4n-5$ で、どれも $d-1$ より小さい（$SU(1)$ では生成元がない）。

弧状連結性． $p^{-1}(U)\cong U\times F$ と $p^{-1}(V)\cong V\times F$（lem-cgc-bundle）は弧状連結な空間の積なので弧状連結で、共通部分 $p^{-1}(W)$ は空でないから、$G(n)$ は弧状連結である。

ファイバーの基底の延長． $F$ の各生成元 $x_i$ に lem-cgc-extend を当てて $c_i\in H^i(G(n))$ を選ぶ。相異なる生成元の積 $x_I:=x_{i_1}\cdots x_{i_r}$（$i_1<\cdots< i_r$）は $H^*(F)$ の基底であり、ファイバーへの制限は環準同型なので、$c_I:=c_{i_1}\cdots c_{i_r}$ のどのファイバーへの制限も $x_I$ である。すなわち $\{c_I\}$ は各ファイバーで基底に制限する。

Leray–Hirsch の定理． $H^*(F)$ は各次数で有限生成自由なので、ファイバー束 $p$ に Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の定理「任意の底空間と係数環での Leray–Hirsch の定理」を当てて、$H^*(G(n))$ は $\{c_I\}$ を基底とする自由 $H^*(S^d)$ 加群である。$H^*(S^d)=\mathbb Z\cdot1\oplus\mathbb Z\eta$（$\deg\eta=d$）なので、$a:=p^*\eta$ とおくと$$\{c_I\}\cup\{c_Ia\}$$が $H^*(G(n))$ の $\mathbb Z$ 基底である。とくに $H^*(G(n))$ は捩れをもたない。

環の構造． $c_i$ と $a$ はどれも奇数次である。次数付き可換性（コホモロジー環 の定理「コホモロジー環の基本性質」）から $c_i^2=-c_i^2$、すなわち $2c_i^2=0$ であり、捩れがないので $c_i^2=0$ である。また $a^2=p^*(\eta^2)$ で、$\eta^2\in H^{2d}(S^d)=0$ だから $a^2=0$ である。よって $x_i\mapsto c_i$、$x_d\mapsto a$ は環準同型 $\Lambda_{\mathbb Z}[\dots,x_d]\to H^*(G(n))$ を定め（def-cgc-exterior の後の注意）、外積代数の単項式の基底 $x_I$、$x_Ix_d$ を $\mathbb Z$ 基底 $c_I$、$c_Ia$ に写すので同型である。生成元の次数は、$U(n)$ では $1,3,\dots,2n-3$ に $d=2n-1$ が加わり、$SU(n)$ では $3,\dots,2n-3$ に $2n-1$、$Sp(n)$ では $3,7,\dots,4n-5$ に $4n-1$ が加わる。lem-cgc-extend により $\iota^*c_i=x_i$ である。$\square$

微分と $\rho^*$．$P^j$ の $\mathbb F_2$ 係数の胞体境界は $0$ である（実射影空間 の定理「実射影空間のホモロジー」の証明で、境界の係数は $0$ か $2$）。積の胞体の境界は因子の境界の和なので（Hat02 Proposition 3B.1、p. 269）、$\mathcal W$ の胞体境界も $0$ である。thm-cgc-cells の 2 により胞体鎖写像 $\rho_\#$ は全射なので、$SO(n)$ の鎖 $z=\rho_\#w$ について $\partial z=\rho_\#\partial w=0$ となり、$SO(n)$ の胞体境界も $0$ である。よって両方の空間で $\mathbb F_2$ 係数のコホモロジーは胞体余鎖そのもので、$\rho^*$ は全射 $\rho_\#$ の双対として単射である。とくに $\dim H^*(SO(n);\mathbb F_2)$ は胞体の個数、すなわち $\{1,\dots,n-1\}$ の部分集合の個数 $2^{n-1}$ に等しい。

$\mathcal W$ の環と $\rho^*\beta_i$．$H^*(P^j;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[\alpha]/(\alpha^{j+1})$（実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」）と体係数の Künneth の公式（Künneth公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」）から、因子 $P^j$ の生成元の引き戻しを $\alpha_j$ とすると $A:=H^*(\mathcal W;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}]/(\alpha_1^2,\alpha_2^3,\dots,\alpha_{n-1}^n)$ であり、単項式 $\alpha_1^{a_1}\cdots\alpha_{n-1}^{a_{n-1}}$ は胞体 $e^{a_1}\times\cdots$ の双対の類である。$\rho^*\beta_i$ の胞体 $\sigma$ での値は $\rho_\#\sigma$ の $e^i$ の係数である。$\sigma$ の正の次元の因子が因子 $P^j$ の $e^i$ だけなら、$\rho$ は $\sigma$ を $e^i$ の上に同相に写すので値は $1$ である（$j\ge i$ が必要）。正の因子が 2 つ以上なら、thm-cgc-cells の 3 により値は $0$ である。よって$$\rho^*\beta_i=b_i:=\sum_{j=i}^{n-1}\alpha_j^i .$$

1 次独立性．$S\subset\{1,\dots,n-1\}$ について $b_S:=\prod_{i\in S}b_i$ とおく。$k=n,n-1,\dots,1$ の順に「$S\subset\{k,\dots,n-1\}$ を動く $b_S$ は 1 次独立」を示す。$k=n$ では $b_\emptyset=1$ だけである。$k$ のとき、関係式を $b_kX+Y=0$（$X,Y$ は $S\subset\{k+1,\dots,n-1\}$ の $b_S$ の 1 次結合）と書く。$i>k$ の $b_i$ は $\alpha_k$ を含まない。$A$ は $\alpha_k$ 以外の変数の生成する部分環 $A'$ 上 $1,\alpha_k,\dots,\alpha_k^k$ を基底とする自由加群であり、$b_k=\alpha_k^k+(A'\text{ の元})$、$X,Y\in A'$ だから、$\alpha_k^k$ の係数を見て $X=0$ を得る。帰納法の仮定から $X$ の係数はすべて $0$ で、残る $Y=0$ からも係数がすべて $0$ である。

結論．$\rho^*$ は単射なので $\beta_S$（$S$ を減少列に並べたものが許容列）も 1 次独立で、個数 $2^{n-1}$ が次元に等しいから基底である。標数 $2$ では $b_i^2=\sum_j\alpha_j^{2i}$ であり、$j<2i$ の項は $\alpha_j^{2i}=0$ なので $b_i^2=b_{2i}$（$2i\ge n$ なら $0$）となる。$\rho^*$ の単射性から $\beta_i^2=\beta_{2i}$ である。これをくり返すと $\beta_i^{2^a}=\beta_{i2^a}$（$i2^a\ge n$ なら $0$）であり、$j< n$ を $j=i2^a$（$i$ 奇数）と一意に書けば、相異なる $\beta_j$ の積は $\prod_{i\text{ 奇数}}\beta_i^{r_i}$（$0\le r_i< p_i$）と一対一に対応する（$r_i$ の 2 進展開）。よって 2 の右辺から左辺への自然な準同型は基底を基底に写し、同型である。$\square$

生成元．$H^*(SO(5);\mathbb F_2)=\mathbb F_2[a,b]/(a^8,b^2)$、$H^*(SO(7);\mathbb F_2)=\mathbb F_2[a,b,c]/(a^8,b^4,c^2)$（ex-cgc-so-small）で、$\beta a=a^2$、$\beta b=a^4$、$\beta c=b^2$ であり、$\beta$ は導分である。$\kappa(x)=\beta a=a^2$、$\kappa(v)=\beta(ac)=a^2c+ab^2$ である。各次数で $\ker\beta$ と $\operatorname{im}\beta$ を求めると、自由部分の階数は $SO(5)$ で次数 $0,3,7,10$、$SO(7)$ で次数 $0,3,7,10,11,14,18,21$ に 1 ずつで、thm-cgc-so-integral の 2 と合う。次数 $3,7,11$ では自由部分の階数が $1$ で、$\ker\beta/\operatorname{im}\beta$ は 1 次元である。その次数の $H^q/T$ の生成元 $e$ の還元は $\ker\beta=\operatorname{im}\kappa$ に属し、$\operatorname{im}\beta=\kappa(T)$ には属さない（属せば $e\in T+\ker\kappa=T+2H^q$ となり、$e$ は $H^q/T$ の生成元でない）。表の $y,z,w$ の還元も $\ker\beta$ に属し $\operatorname{im}\beta$ に属さないので、$e$ の還元との差は $\operatorname{im}\beta=\kappa(T)$ に入り、$e$ に捩れの類を足して還元を表の値にできる。捩れの全次元は $\dim\operatorname{im}\beta$ の和で、$SO(5)$ で $6$、$SO(7)$ で $28$ である。

関係式．$2x=2v=0$ は $x,v$ が $\delta$ の像であることから、奇数次の元の平方 $y^2,z^2,v^2,w^2$ は次数付き可換性から位数 $2$ である。よって並べた関係式はどれも両辺の差が捩れの類であり、lem-cgc-bockstein の 1 から、還元が $0$ であることを確かめればよい。たとえば $\kappa(y)^2=a^6+b^2$ で、$SO(5)$ では $b^2=0$ から $\kappa(y^2)=a^6=\kappa(x^3)$ である。$SO(7)$ では $\kappa(y^2z)=a^7b^2=\kappa(x^3v)$、$\kappa(xw)=a^2b^2c+a^7b^2=\kappa(y^2v)$ で、残りの関係式も同様の展開で還元が $0$ になる。

同型．関係式を使うと、商環の元は、自由な単項式（$SO(5)$ では $1,y,z,yz$、$SO(7)$ では $y^\epsilon z^\eta w^\theta$、$\epsilon,\eta,\theta\in\{0,1\}$）の整数係数の 1 次結合と、位数 $2$ の単項式（$SO(5)$ では $x,x^2,x^3,xy,x^2y,x^3y$ の 6 個、$SO(7)$ では $x^iy^j$（$0\le i,j\le3$、$(i,j)\ne(0,0),(0,1)$）と $x^iy^jv$（$0\le i,j\le3$、$(i,j)\ne(3,2),(3,3)$）の 28 個）の $\mathbb F_2$ 係数の 1 次結合で書ける（$SO(7)$ では $w$ を含む単項式を $xw=y^2v$、$y^2w=0$、$vw=0$ で、$z$ を含む単項式を $xz=vz=0$、$y^2z=x^3v$ で減らす）。位数 $2$ の単項式の還元は $\mathbb F_2$ 係数で 1 次独立であり、個数が捩れの全次元に等しいので $T$ の基底である。自由な単項式は、$T$ を法として thm-cgc-so-integral の 2 の外積代数の基底に写る。よって商環から $H^*(SO(n);\mathbb Z)$ への準同型は全単射である。還元の 1 次独立性と $\ker\beta$・$\operatorname{im}\beta$ の次元は、$64$ 次元（$SO(5)$ では $16$ 次元）の $\mathbb F_2$ ベクトル空間での有限の計算である。$\square$