Harnackの曲線定理

$v\in\tilde C$ とする。Euler の等式 $\langle v,\nabla F(v)\rangle=dF(v)=0$ により、$\nabla F(v)$ は $v$ に直交し、$S^2$ の $v$ での接空間に入る。$C$ が滑らかで $v$ は実の点なので $\nabla F(v)\ne0$ である。よって $\nabla F(v)$ は $F|_{S^2}$ の勾配で、$0$ は $F|_{S^2}$ の正則値である。陰関数定理（陰関数定理）により $\tilde C$ は 1 次元の滑らかな部分多様体で、閉集合なのでコンパクトである。コンパクトな 1 次元多様体は有限個の円周の和なので、$\tilde C$ の成分は有限個である。$\tilde C\to C(\mathbb{R})$ は 2 対 1 の被覆で、$C(\mathbb{R})$ の成分 $\Gamma$ の逆像はその上の 2 重被覆である。円周の 2 重被覆は自明（2 つの円周）か、連結（1 つの円周）かのどちらかである。後者では、被覆の非自明な変換が対蹠写像である。$\square$

$F$ は既約で $G$ を割らないので、$F$ と $G$ は共通成分をもたず、交点は有限個である（Bézoutの定理）。$\Gamma$ の $S^2$ での逆像の成分を 1 つとり、滑らかな写像 $\gamma\colon\mathbb{R}\to S^2$ で、すべての $s$ で $\gamma'(s)\ne0$ となり、次をみたすものをとる。卵形線なら $\gamma$ は周期 $1$ をもち、$[0,1)$ 上で単射で、$s\mapsto[\gamma(s)]$ は $\Gamma$ への全単射である。擬直線なら $\gamma(s+1)=-\gamma(s)$ で、$[0,1)$ 上で $s\mapsto[\gamma(s)]$ が $\Gamma$ への全単射である（逆像は対蹠写像で不変な 1 つの円周なので、そう径数づけられる）。$u(s):=G(\gamma(s))$ とおく。$\gamma(0)$ を交点でない点にとると $u(0)\ne0$ で、$u(1)$ は卵形線なら $u(0)$、擬直線なら $G(-\gamma(0))=(-1)^eu(0)$ である。
交点 $p=[\gamma(s_0)]\in\Gamma$ での $u$ の零の位数を調べる。射影座標を実の線形変換で取り替えて、$p$ がアフィン部分 $Z\ne0$ にあり、$F_Y(p)\ne0$ とする（$p$ は $C$ の滑らかな点なので、ある偏微分が $0$ でない）。陰関数定理により、$p=(x_0,y_0)$ の近くで複素曲線 $C$ は $y=\phi(x)$ のグラフで、$\phi$ は $x_0$ の近くで正則、実軸上で実数値である。このとき $x-x_0$ は局所環 $\mathcal{O}_{C,p}$ の一意化元で、$g:=G(x,y,1)$ の $C$ への制限は $(x-x_0)^mw$（$w$ は $\mathcal{O}_{C,p}$ の単元、$m=I(p,F\cap G)$）と書ける（交点数(平面曲線) の性質 (viii)）。$y=\phi(x)$ を代入すると $g(x,\phi(x))=(x-x_0)^mw(x,\phi(x))$ で、$w(x_0,y_0)\ne0$ である。$s_0$ の近くで $\gamma(s)=\lambda(s)\,(x(s),\phi(x(s)),1)$ と書け、$\lambda$ は $0$ にならない実数値の連続関数、$x(s)$ は $x(s_0)=x_0$ で微分が $0$ でない実数値の滑らかな関数である。よって $u(s)=\lambda(s)^e\,(x(s)-x_0)^m\,w(x(s),\phi(x(s)))$ であり、$u$ は $s_0$ の前後で、$m$ が奇数なら符号を変え、偶数なら変えない。
$[0,1]$ の上で $u$ の零点は有限個で、そこを通るたびの符号の変化を合わせると、$u(1)$ と $u(0)$ の符号の比は $(-1)^{\#\{m\text{ が奇数の交点}\}}=(-1)^{N_\Gamma(G)}$ である。卵形線ではこれが $1$、擬直線では $(-1)^e$ なので主張を得る。卵形線で交点が 1 つでもあれば、$N_\Gamma(G)$ は正の偶数なので $2$ 以上である。$\square$

$d=1$ なら $C(\mathbb{R})$ は実直線そのもので、擬直線 1 本である。$d\ge2$ とし、実直線 $L$ をとる。$F$ は既約で次数 $2$ 以上なので $L$ と共通成分をもたず、Bézout の定理により $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ での交点数の和は $d$ である。$F$ と $L$ は実係数なので、交点 $p$ と複素共役 $\bar p$ の交点数は等しい。よって実でない交点からの寄与は偶数で、実の交点数の和 $\sum_\Gamma N_\Gamma(L)$ は $d$ と偶奇が一致する。lem-hct-parity（$e=1$）により、この和は擬直線の本数と偶奇が一致する。
擬直線が 2 本 $\Gamma_1,\Gamma_2$ あったとして矛盾を導く。$\Gamma_i$ の $S^2$ での逆像 $\Lambda_i$ は対蹠写像 $a$ で不変な単純閉曲線で、$\Lambda_1\cap\Lambda_2=\emptyset$ である。$S^2\setminus\Lambda_1$ の点から平面へ立体射影すると、Jordan曲線定理 により $S^2\setminus\Lambda_1$ はちょうど 2 つの連結成分 $U,V$ をもち、$a$ はそれらを入れ替えるか、それぞれを保つ。$a(U)=U$ とする。射影の中心を $V$ にとると $U$ は有界な内部に写り、Schoenfliesの定理 によりその閉包 $U\cup\Lambda_1$ は閉円板と同相である。$a$ はこの閉円板からそれ自身への連続写像なので、Brouwerの不動点定理 により不動点をもつが、$a(v)=-v\ne v$ なので矛盾である。よって $a(U)=V$ である。$\Lambda_2$ は連結で $\Lambda_1$ と交わらないので $U$ か $V$ に含まれ、$a(\Lambda_2)=\Lambda_2$ なので両方に含まれることになり、矛盾である。$\square$

$d=1$ なら $C(\mathbb{R})$ は実直線で、成分は 1 つである。$d=2$ で成分が 2 つ以上あるとすると、prop-hct-pseudolines によりそれらは卵形線である。2 つの卵形線から 1 点ずつとって、その 2 点を通る実直線 $L$ をとる。lem-hct-parity により $L$ はそれぞれの卵形線と重複度込みで 2 回以上交わり、実の交点数の和は $4$ 以上になる。これは Bézout の定理の $2\cdot1=2$ に反する。
$d\ge3$ とし、成分が $g+2$ 個以上あると仮定する。prop-hct-pseudolines により擬直線は高々 1 本なので、相異なる卵形線 $O_1,\dots,O_{g+1}$ と、それらと異なるもう 1 つの成分 $\Gamma$ がとれる。各 $O_i$ から 1 点 $q_i$ を、$\Gamma$ から相異なる $d-3$ 点をとる。点の総数は
$$ N:=(g+1)+(d-3)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}+d-2=\frac{(d-2)(d+1)}{2} $$
である。実係数の次数 $d-2$ の斉次多項式の空間は $\binom{d}{2}=\frac{d(d-1)}{2}=N+1$ 次元で、$N$ 個の点を通るという条件は $N$ 個の 1 次方程式なので、それらをすべて通る $0$ でない実係数の $G$ がある。$\deg G=d-2< d$ なので $F$ は $G$ を割らず、$F$ は既約なので共通成分はない。
lem-hct-parity により $N_{O_i}(G)\ge2$ であり、$\Gamma$ の上の $d-3$ 個の交点はそれぞれ交点数 $1$ 以上を与える。よって
$$ \sum_{p\in C(\mathbb{R})}I(p,F\cap G)\ge2(g+1)+(d-3)=(d-1)(d-2)+d-1=(d-1)^2 $$
である。一方 Bézout の定理により $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ のすべての交点の交点数の和は $d(d-2)=(d-1)^2-1$ で、実の交点だけの和はそれ以下である。これは矛盾である。$\square$

thm-hct-main と prop-hct-pseudolines を合わせる。$\square$

要点：2 つの楕円の外側どうし・内側どうしでない 4 つの「花びら」の領域にそれぞれ成分があり、Harnack の上界と合わせてちょうど 4 つになる。