Michael直線

1：$\emptyset,\mathbb{R}$ は $\tau_M$ に属する。合併 $\bigcup_\lambda(U_\lambda\cup K_\lambda)=(\bigcup U_\lambda)\cup(\bigcup K_\lambda)$ は再び同じ形である。共通部分は
$$ (U_1\cup K_1)\cap(U_2\cup K_2)=(U_1\cap U_2)\cup\bigl((U_1\cap K_2)\cup(K_1\cap U_2)\cup(K_1\cap K_2)\bigr) $$
であり、後ろの括弧は $\mathbb{P}$ に含まれる。よって $\tau_M$ は位相である。$K=\emptyset$ とすれば通常の開集合は $\tau_M$ に属する。
2：$U=\emptyset$、$K=\{x\}$ とすればよい。
3：$q\in U\cup K$ なら $q\notin\mathbb{P}$ なので $q\in U$ であり、$U$ は通常の開集合なので $(q-\varepsilon,q+\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ がある。$\square$

1：$(a,b)$ は通常の開集合である。補集合は $(-\infty,a)\cup\{a\}\cup\{b\}\cup(b,\infty)$ で、$a,b\in\mathbb{P}$ なので $\tau_M$ に属する。
2：無理数 $x$ には開かつ閉な $\{x\}$ がある（補集合は $(\mathbb{R}\setminus\{x\})\cup\emptyset$ で開）。有理数 $q$ と $\varepsilon>0$ について、$q-\varepsilon< a< q< b< q+\varepsilon$ となる無理数 $a,b$ をとれば、1 により $(a,b)$ は $q$ を含む開かつ閉集合で $(q-\varepsilon,q+\varepsilon)$ に含まれる。prop-ml-topology の 2・3 とあわせて開かつ閉集合からなる開基を得る。通常の位相で一点集合は閉なので、より細かい $\tau_M$ でも閉であり $T_1$ である。点 $x$ と $x$ を含まない閉集合 $F$ について、開かつ閉集合 $B$ で $x\in B\subset\mathbb{R}\setminus F$ となるものをとれば、$B$ の補集合の特性関数が $x$ で $0$、$F$ で $1$ の連続関数になる。
3：無理数には $\{x\}$、有理数には $(q-1/n,q+1/n)$（$n\ge1$）が可算な基本近傍系である。$\square$

孤立点は任意の稠密部分集合に含まれるので、$\mathbb{M}$ の稠密部分集合は非可算集合 $\mathbb{P}$ を含む。よって可分でない。
有理数を $q_1,q_2,\dots$ と並べ、通常の開集合 $W:=\bigcup_n(q_n-2^{-n-2},q_n+2^{-n-2})$ をとる。$W$ は長さの和が $1/2$ 以下の区間の和なので、Lebesgue 測度は $1/2$ 以下であり、$[0,1]\setminus W$ は正の測度をもつ。とくに $\mathbb{R}\setminus W$ は非可算で、すべて無理数からなる。開被覆 $\{W\}\cup\{\{x\}\mid x\in\mathbb{R}\setminus W\}$ から $\{x\}$ を 1 つでも除くと $x$ が覆われないので、可算部分被覆はない。第 2 可算なら Lindelöf なので、第 2 可算公理も満たさない。$\square$

$S\subset\mathbb{R}$ とし、$S$ に $\mathbb{M}$ からの部分空間位相を入れる。$(U\cup K)\cap S=(U\cap S)\cup(K\cap S)$ なので、$S$ の開集合は「$U\cap S$（$U$ は通常の開集合）と $S\cap\mathbb{P}$ の部分集合の合併」である。
$\mathcal{U}$ を $S$ の開被覆とする。各 $q\in S\cap\mathbb{Q}$ について、$q\in O_q\in\mathcal{U}$ をとり、prop-ml-topology の 3 により $q\in I_q\cap S\subset O_q$ となる通常の開区間 $I_q$ をとる。$W:=\bigcup_q(I_q\cap S)$ とおく。$W$ に通常の距離 $|x-y|$ から定まる位相を入れると距離空間であり、$\{I_q\cap S\}_q$ はその開被覆である。Stone の定理（パラコンパクト空間 の定理「Stone の定理」）により、この被覆は通常の位相について局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつ。$\mathcal{V}$ の元は通常の位相で $S$ の開集合なので、$\mathbb{M}$ からの位相でも $S$ の開集合である。
$S\setminus W$ の点は無理数（$S$ の有理数はすべて $W$ に入る）なので、$\{x\}$（$x\in S\setminus W$）は $S$ の開集合である。そこで
$$ \mathcal{V}':=\mathcal{V}\cup\bigl\{\{x\}\bigm| x\in S\setminus W\bigr\} $$
とおく。$\mathcal{V}'$ は $S$ を覆い、各元は $\mathcal{U}$ のある元に含まれる（$\{x\}$ は $x$ を含む $\mathcal{U}$ の元に含まれる）。局所有限性を示す。$x\in W$ なら、$x$ の通常の位相での近傍 $N\subset W$ で $\mathcal{V}$ の有限個の元としか交わらないものがあり、$N$ は $S\setminus W$ の点を含まないので $\mathcal{V}'$ の有限個の元としか交わらない。$x\in S\setminus W$ なら、近傍 $\{x\}$ は $\mathcal{V}'$ の元のうち $\{x\}$ だけと交わる（$\mathcal{V}$ の元は $W$ に含まれる）。よって $S$ はパラコンパクトである。
$\tau_M$ は通常の位相より細かいので $\mathbb{M}$ は Hausdorff であり、パラコンパクト Hausdorff 空間は正規である（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）。部分空間も Hausdorff かつパラコンパクトなので正規である。$\square$

$\mathbb{P}=\bigcup_nF_n$（$F_n$ は閉）と仮定する。$F_n\subset\mathbb{P}$ は区間を含まないので内部が空である。一点集合 $\{q\}$（$q\in\mathbb{Q}$）も内部が空な閉集合である。すると $\mathbb{R}=\bigcup_nF_n\cup\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}\{q\}$ は内部が空な閉集合の可算個の和になり、Baireのカテゴリー定理 の定理「Baire のカテゴリー定理」の 1 に反する。$\square$

閉であること：$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\mathbb{P}$ は $\tau_M$ で開なので $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{M}$ で閉であり、$B$ は閉である。$A=\{(x,y)\in\mathbb{M}\times\mathbb{P}\mid x=y\}$ は、通常の位相の直積 $\mathbb{R}\times\mathbb{P}$ で閉な対角線との共通部分であり、$\mathbb{M}\times\mathbb{P}$ の位相はそれより細かいので閉である。$A$ の点の第 1 成分は無理数なので $A\cap B=\emptyset$ である。
分離できないこと：$U$ を $A$ を含む開集合とし、$B\cap\overline U\ne\emptyset$ を示す。これが示せれば、$B$ を含む開集合 $V$ は $\overline U$ の点を含むので $U$ と交わり、分離は不可能である。
$\mathbb{P}$ の可算な稠密部分集合 $\{p_1,p_2,\dots\}$ をとる。各 $y\in\mathbb{P}$ について $(y,y)\in U$ であり、$\{y\}$ は $\mathbb{M}$ の開集合なので、$\mathbb{P}$ の開集合 $V_y\ni y$ で $\{y\}\times V_y\subset U$ となるものがある。$V_y$ は空でない開集合なので、$p_{i(y)}\in V_y$ となる番号 $i(y)$ がとれる。$P_i:=\{y\in\mathbb{P}\mid i(y)=i\}$ とおくと $\mathbb{P}=\bigcup_iP_i$ である。
$\overline{P_i}^{\mathbb{R}}$ を $\mathbb{R}$ での閉包とする。すべての $i$ で $\overline{P_i}^{\mathbb{R}}\subset\mathbb{P}$ なら $\mathbb{P}=\bigcup_i\overline{P_i}^{\mathbb{R}}$ は $F_\sigma$-集合になり、lem-ml-not-fsigma に反する。よって、ある $i_0$ と有理数 $q_0\in\overline{P_{i_0}}^{\mathbb{R}}$ がある。点 $(q_0,p_{i_0})\in B$ が $\overline U$ に属することを示す。その基本近傍は $(q_0-\varepsilon,q_0+\varepsilon)\times G$（$G$ は $p_{i_0}$ を含む $\mathbb{P}$ の開集合）の形である。$q_0\in\overline{P_{i_0}}^{\mathbb{R}}$ なので $y\in P_{i_0}\cap(q_0-\varepsilon,q_0+\varepsilon)$ がある。$i(y)=i_0$ なので $p_{i_0}\in V_y$、したがって $(y,p_{i_0})\in\{y\}\times V_y\subset U$ であり、これは上の近傍に属する。よって $(q_0,p_{i_0})\in\overline U$ である。$\square$

1：thm-ml-hered-paracompact と thm-ml-product、およびパラコンパクト Hausdorff 空間は正規であること（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）による。$\mathbb{M}\times\mathbb{P}$ は Hausdorff なので、パラコンパクトなら正規になってしまう。
2：$\mathbb{M}$ が距離化可能なら、$\mathbb{M}\times\mathbb{P}$ は距離化可能空間の直積として距離化可能（距離化可能空間 の定理「距離化可能空間の可算積」）であり、距離化可能空間は正規（正規空間 の定理「距離空間は正規」）なので thm-ml-product に反する。$\square$