Borel–Mooreホモロジー

$(q-1)$ 単体 $\tau$ の係数に寄与するのは、$\tau$ を面にもつ $\sigma$ である。このとき $|\tau|\subset|\sigma|$ なので、$|\tau|$ の点 $x$ の近傍で有限個の $|\sigma|$ としか交わらないものをとれば、寄与する $\sigma$（$a_\sigma\ne0$）は有限個である。近傍 $N$ が有限個の $|\sigma|$ としか交わらなければ、$N$ と交わる $|\tau|$（係数が $0$ でないもの）はそれらの $\sigma$ の面に限られ、有限個である。$\partial\circ\partial=0$ は各単体についての有限な等式 $\partial\partial\sigma=0$ を足し合わせたものである。$\square$

1：各点の近傍で有限個の単体としか交わらないので、コンパクトな $X$ を有限個のそのような近傍で覆えば、$a_\sigma\ne0$ の $\sigma$ は有限個である（$|\sigma|$ は空でない）。
2：局所有限な族とコンパクト集合 $L$ について、$L$ と交わる成員は有限個である（$L$ を有限個の近傍で覆う）。単体 $\tau$ について、$f\circ\sigma=\tau$ となる $\sigma$ は $|\sigma|\subset f^{-1}(|\tau|)$ をみたし、$f^{-1}(|\tau|)$ はコンパクトなので、$a_\sigma\ne0$ のものは有限個である。よって $f_\sharp c$ の係数は有限和である。$y\in Y$ のコンパクト近傍 $L$ について、$|f\circ\sigma|$ が $L$ と交わるなら $|\sigma|$ は $f^{-1}(L)$ と交わるので、そのような $\sigma$ は有限個である。$f_\sharp$ が $\partial$ と可換なことと合成の式は、各単体について成り立つ等式を足し合わせて得られる。$\square$

$C_q(X;G)$ は単体ごとの $G$ の直和で、$C_q(X\setminus K;G)$ は $|\sigma|\subset X\setminus K$ となる単体の成分の直和なので、商は残りの単体、すなわち $|\sigma|$ が $K$ と交わる単体の成分の直和である。局所有限な鎖はコンパクト集合 $K_i$ と交わる単体を有限個しか含まないので（prop-bm-functorial の証明の 2 の最初の注意）、$r_i(c)$ は有限和として定まる。$\partial$ は単体の面をとる操作で、面が $K_i$ と交われば単体も交わるから、$r_i$ は $\partial$ と可換である。
射影極限の元は、各 $i$ の有限和 $c_i$ で、$c_{i+1}$ から $K_i$ と交わらない単体を除くと $c_i$ になるものの列である。単体 $\sigma$ について、$|\sigma|$ と交わる $K_i$ の中で添字が最小のものを $K_{i_\sigma}$ とし（$\bigcup K_i=X$ と $|\sigma|\ne\emptyset$ による）、$a_\sigma$ を $c_{i_\sigma}$ における $\sigma$ の係数と定める。両立性から、$i\ge i_\sigma$ のすべての $c_i$ で $\sigma$ の係数は $a_\sigma$ である。こうして列と関数 $\sigma\mapsto a_\sigma$ で、各 $K_i$ と交わる $\sigma$ のうち $a_\sigma\ne0$ のものが有限個であるものとが 1 対 1 に対応する。
この条件は局所有限性と同値である。局所有限なら上で見たとおり成り立つ。逆に条件が成り立てば、点 $x$ は $x\in K_i\subset\operatorname{int}K_{i+1}$ となる $i$ をもち、近傍 $\operatorname{int}K_{i+1}$ と交わる単体は $K_{i+1}$ と交わるので有限個である。よって $(r_i)_i$ は全単射で、鎖写像なので鎖複体の同型である。推移写像は単体を除くだけなので全射である。$\square$

lem-bm-limit により、$H^{\mathrm{BM}}_q(X;G)$ は、推移写像が全射な鎖複体の射影系 $D^{(i)}_\bullet:=C_\bullet(X;G)/C_\bullet(X\setminus K_i;G)$ の射影極限のホモロジーである。$D^{(i)}_\bullet$ のホモロジーは定義により相対ホモロジー $H_q(X,X\setminus K_i;G)$ である。
次数を $p:=-q$ と付け替えて $D^{(i)}$ をコチェイン複体とみなすと、Mittag-Leffler条件 の定理「複体の射影系のMilnor完全列」が使える（推移写像が全射なので、その仮定の Mittag-Leffler 条件をみたす）。コホモロジー $H^{p-1}$ はホモロジー $H_{q+1}$ にあたるので、
$$ 0\to\varprojlim_i{}^1H_{q+1}(D^{(i)}_\bullet)\to H_q\bigl(\varprojlim_iD^{(i)}_\bullet\bigr)\to\varprojlim_iH_q(D^{(i)}_\bullet)\to0 $$
が完全である。右の写像は射影極限から各 $D^{(i)}$ への射影が誘導するもので、lem-bm-limit の同型のもとで $r_i$ が誘導する写像である。自然性は、尽くし方と係数について構成が両立することによる。$\square$

コンパクト集合 $A\subset M$ について、Hat02 Lemma 3.27（p. 236）は次を示している：(a) $M_R\to M$ の（$M$ 全体の上の）切断 $x\mapsto\alpha_x$ に対し、各 $x\in A$ での像が $\alpha_x$ となる $\alpha_A\in H_n(M\mid A;R)$ がただ 1 つある；(b) $q>n$ なら $H_q(M\mid A;R)=0$。
逆に $\alpha\in H_n(M\mid A;R)$ から $x\mapsto\alpha_x$ が連続な切断になることを確かめる。$\alpha$ を境界が $M\setminus A$ に入る鎖 $z$ で表す。$x\in A$ と、コンパクト集合 $|\partial z|$ は交わらないので、$x$ の座標球 $B$ で $\bar B\cap|\partial z|=\emptyset$ となるものがある。$z$ は $H_n(M\mid B;R)$ の類を定め、$y\in A\cap B$ での $\alpha_y$ はその像である。$H_n(M\mid B;R)$ の元の像として、$B$ の上で切断が局所的に一定になる（$M_R$ の位相の定義、Hat02 pp. 234–235）。よって写像 $H_n(M\mid A;R)\to\Gamma_R(A)$ が定まり、$A\subset A'$ のとき制限と両立する。(a) の一意性（零切断に当てると、各 $x\in A$ での像がすべて $0$ の類は $0$ である）により、この写像は単射である。
尽くし方 $(K_i)$ をとり thm-bm-milnor を使う。$q>n$ なら両端の項は (b) により $0$ の射影系から作られるので $0$ であり、1 が従う。$q=n$ では左の項は $\varprojlim^1H_{n+1}(M\mid K_i;R)=0$ で、
$$ H^{\mathrm{BM}}_n(M;R)\cong\varprojlim_iH_n(M\mid K_i;R)\longrightarrow\varprojlim_i\Gamma_R(K_i)\cong\Gamma_R(M) $$
となる。最後の同型は、両立する切断の列が $M$ 上の写像を定め、各点が $\operatorname{int}K_{i+1}$ に入るので連続であることによる。中央の写像は、単射の射影極限なので単射である。全射であることは、$\Gamma_R(M)$ の切断 $s$ に各 $K_i$ で (a) の存在を使って類 $\alpha_{K_i}$ をとると、$\alpha_{K_{i+1}}$ の $H_n(M\mid K_i;R)$ への像も各 $x\in K_i$ で $s(x)$ に写るので (a) の一意性により $\alpha_{K_i}$ に等しく、両立する列 $(\alpha_{K_i})_i$ が $s$ に写ることからわかる。この合成が 2 の写像であり、2 が従う。
3：$M_{\mathbb{Z}}$ は零切断の像 $M_0$ と、$k\ge1$ ごとの部分 $M_k$（$\pm k$ 倍の生成元からなる点）の互いに交わらない開かつ閉な和であり、各 $M_k$ は向きの 2 重被覆 $\tilde M$ と同型である（Hat02 p. 235）。連結な $M$ の上の切断の像は連結なので、ある $M_k$ に入る。$\tilde M\to M$ の切断の像は開かつ閉なので、$\tilde M$ が連結なら（$M$ が向き付け不可能なとき、Hat02 Proposition 3.25、p. 234）切断はない。$M$ が向き付け可能なら、$\tilde M$ は $M$ の 2 つの写しで、切断は $\pm k\mu$ である。よって $\Gamma_{\mathbb{Z}}(M)=\{k\mu\mid k\in\mathbb{Z}\}\cong\mathbb{Z}$、または $0$ である。$\mathbb{Z}/2$ では $1=-1$ なので $M_1$ が $M$ の写しであり、$\Gamma_{\mathbb{Z}/2}(M)=\{0,1\}$ である。$\square$

$K_i$ を原点中心・半径 $i+1$ の閉球とする。$\mathbb{R}^n$ は可縮なので、被約ホモロジーの長完全列から $H_q(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus K_i;G)\cong\tilde H_{q-1}(\mathbb{R}^n\setminus K_i;G)$ である。$\mathbb{R}^n\setminus K_i$ は動径方向の変形で球面 $\{|x|=i+2\}$ へ変形レトラクトするので、この群は $\tilde H_{q-1}(S^{n-1};G)$、すなわち $q=n$ で $G$、それ以外で $0$ である。包含 $\mathbb{R}^n\setminus K_{i+1}\subset\mathbb{R}^n\setminus K_i$ は、どちらも同じ方向の動径変形で球面へ写るのでホモトピー同値であり、推移写像は同型である。よって $\varprojlim^1$ は消え、thm-bm-milnor から主張が従う。$\square$