特異ホモロジーのホモトピー不変性

$z\in C_n$ を輪体（$\partial z=0$）とすると、$\psi(z)-\varphi(z)=\partial P(z)+P(\partial z)=\partial P(z)$ は境界である。よって $\psi(z)$ と $\varphi(z)$ は同じホモロジー類を表す。これは ホモロジー の記事の命題（鎖ホモトピックな鎖写像はホモロジー上等しい射を誘導する）と同じ主張である。

(i) $d_j(t_0,\dots,t_{m-1})$ は $j$ 番目の座標が $0$ で、$k< j$ なら $k$ 番目、$k\ge j$ なら $k+1$ 番目の座標が $t_k$ である。よって $[u_0,\dots,u_m](d_j(t))=\sum_{k< j}t_ku_k+\sum_{k\ge j}t_ku_{k+1}$ であり、これは右辺の値にほかならない。
(ii) $L(x)=Ax+b$（$A$ は線型）とすると、$\sum_jt_j=1$ より $L(\sum_jt_ju_j)=\sum_jt_jAu_j+\sum_jt_jb=\sum_jt_jL(u_j)$ である。

$n<0$ では両辺とも $0$ なので、$n\ge0$ と特異 $n$ 単体 $\sigma$ について $\partial P(\sigma)=g_\sharp(\sigma)-f_\sharp(\sigma)-P(\partial\sigma)$ を示せばよい。
段 1（$\partial P(\sigma)$ の展開）．$\lambda_i$ の頂点の列 $(v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,w_n)$ から $k$ 番目を除くと、$k=j\le i$ なら $v_j$ が、$k=j+1$（$j\ge i$）なら $w_j$ が除かれる。lem-shhi-affine (i) により
$$ \partial P(\sigma)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i+j}F_\sigma[v_0,\dots,\hat v_j,\dots,v_i,w_i,\dots,w_n]+\sum_{i=0}^n\sum_{j=i}^{n}(-1)^{i+j+1}F_\sigma[v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,\hat w_j,\dots,w_n] $$
である。
段 2（$i=j$ の項：上面と底面）．$0\le i\le n+1$ に対し $A_i:=F_\sigma[v_0,\dots,v_{i-1},w_i,\dots,w_n]$ とおく（$A_0=F_\sigma[w_0,\dots,w_n]$、$A_{n+1}=F_\sigma[v_0,\dots,v_n]$）。第 1 の和の $j=i$ の項は $(+1)A_i$、第 2 の和の $j=i$ の項は $F_\sigma[v_0,\dots,v_i,w_{i+1},\dots,w_n]$ に符号 $-1$ を付けたもので、これは $-A_{i+1}$ である。よって $i=j$ の項の総和は
$$ \sum_{i=0}^n(A_i-A_{i+1})=A_0-A_{n+1} $$
である。$[w_0,\dots,w_n](t)=\sum_jt_j(e_j,1)=(t,1)$ なので $A_0(t)=F(\sigma(t),1)=g(\sigma(t))$、同様に $A_{n+1}(t)=F(\sigma(t),0)=f(\sigma(t))$ である。すなわち $i=j$ の項の総和は $g_\sharp(\sigma)-f_\sharp(\sigma)$ である。
段 3（$i\ne j$ の項：側面）．$P(\partial\sigma)=\sum_{j=0}^n(-1)^jP(\sigma\circ d_j)$ を計算する。$\Delta^{n-1}\times[0,1]$ の頂点を $v'_k,w'_k$（$0\le k\le n-1$）、その角柱の単体を $\lambda'_i$（$0\le i\le n-1$）とすると
$$ F_{\sigma\circ d_j}=F\circ(\sigma\times\mathrm{id})\circ(d_j\times\mathrm{id})=F_\sigma\circ(d_j\times\mathrm{id}) $$
であり、$d_j\times\mathrm{id}$ はアフィン写像で、$v'_k$ を $k< j$ なら $v_k$、$k\ge j$ なら $v_{k+1}$ へ送る（$w'_k$ も同様）。lem-shhi-affine (ii) により $F_{\sigma\circ d_j}\circ\lambda'_i$ は、$i< j$ なら $F_\sigma[v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,\hat w_j,\dots,w_n]$、$i\ge j$ なら $F_\sigma[v_0,\dots,\hat v_j,\dots,v_{i+1},w_{i+1},\dots,w_n]$ である。後者で $i+1$ を改めて $i$ と書くと（$j< i\le n$）、
$$ P(\partial\sigma)=\sum_{0\le i< j\le n}(-1)^{i+j}F_\sigma[v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,\hat w_j,\dots,w_n]+\sum_{0\le j< i\le n}(-1)^{i+j-1}F_\sigma[v_0,\dots,\hat v_j,\dots,v_i,w_i,\dots,w_n] $$
となる。段 1 の $i\ne j$ の項は、第 2 の和の $j>i$ の部分が符号 $(-1)^{i+j+1}$、第 1 の和の $j< i$ の部分が符号 $(-1)^{i+j}$ であり、同じ単体の上で上の式とちょうど符号が逆である。よって段 1 の $i\ne j$ の項の総和は $-P(\partial\sigma)$ である。

ホモトピー逆写像 $h\colon Y\to X$ をとると $h\circ f\simeq\mathrm{id}_X$、$f\circ h\simeq\mathrm{id}_Y$ である。thm-shhi-main と関手性により $h_*f_*=(h\circ f)_*=(\mathrm{id}_X)_*=\mathrm{id}$、同様に $f_*h_*=\mathrm{id}$ なので、$f_*$ は $h_*$ を逆にもつ同型である。

cor-shhi-equivalence により一点 $\mathrm{pt}$ の場合に帰着する。$\mathrm{pt}$ の特異 $n$ 単体は定値写像 $\sigma_n$ だけであり、$\partial\sigma_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_{n-1}$ は $n$ が正の偶数なら $\sigma_{n-1}$、奇数なら $0$ である。添加された鎖複体は
$$ \cdots\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }\mathbb{Z}\sigma_3\xrightarrow{\ 0\ }\mathbb{Z}\sigma_2\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }\mathbb{Z}\sigma_1\xrightarrow{\ 0\ }\mathbb{Z}\sigma_0\xrightarrow{\ \varepsilon\ }\mathbb{Z}\to0 $$
で、$\varepsilon(\sigma_0)=1$ も同型である。恒等写像と零写像が交互に並ぶので、どの次数でも核と像が一致し、$\tilde H_n(\mathrm{pt})=0$ である。

(i) $\sigma(\Delta^n)\subset A$ なら、$P(\sigma)$ の各項 $F_\sigma\circ\lambda_i$ の像は $F(\sigma(\Delta^n)\times[0,1])\subset F(A\times[0,1])\subset B$ に入る。(ii) $(\varphi\circ F)_\sigma=\varphi\circ F_\sigma$、$(F\circ(\psi\times\mathrm{id}))_\sigma=F_{\psi\circ\sigma}$ を定義に代入すればよい。