Lerayスペクトル系列

$X$ を位相空間、$Z\subset X$ を閉集合、$i\colon Z\hookrightarrow X$ を包含写像とする。$Z$ 上の任意のアーベル群の層 $F$ に対し $R^qi_*F=0$（$q>0$）であり、したがって
$$ H^p(Z,F)\cong H^p(X,i_*F)\qquad(p\ge0) $$
である。

$f\colon X\to Y$ をスキームのアフィン射、$F$ を $X$ 上の準連接層とし、Zariski 位相で考える。$Y$ のアフィン開集合 $V$ について $f^{-1}V$ はアフィンであり、アフィンスキーム上の準連接層の高次コホモロジーは消える（Noether の場合は Har77 第 III 章 Theorem 3.5、p. 215）。よって rem-leray-higher-direct-image-sheafify の前層はアフィン開集合の上で $0$ になり、アフィン開集合は開集合の基をなすので、その層化 $R^qf_*F$ は $0$ である（$q>0$）。cor-leray-vanishing により
$$ H^p(X,F)\cong H^p(Y,f_*F)\qquad(p\ge0) $$
となる（一般の場合は Stacks089W Lemma 30.2.4）。たとえば閉部分スキーム $X\subset\mathbb P^n$ の閉埋め込み $i\colon X\to\mathbb P^n$ では、$X$ 上の準連接層のコホモロジーを $\mathbb P^n$ 上の層 $i_*F$ で計算してよい。

$k$ を体、$k^{\mathrm s}$ を分離閉包、$\Gamma=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm s}/k)$、$f\colon X\to\operatorname{Spec}k$ を準コンパクトかつ準分離的なスキームの構造射とし、エタール位相で考える。$\operatorname{Spec}k$ 上のエタール層は離散 $\Gamma$ 加群と同じものであり、そのコホモロジーは Galois コホモロジーである（Stacks03QQ Lemmas 59.59.1–59.59.2、Grothendieck位相 の例「体のエタール景とGalois加群」）。rem-leray-higher-direct-image-sheafify の茎の記述により $R^qf_*F$ は $\Gamma$ 加群 $H^q(X_{k^{\mathrm s}},F)$ に当たる。よって Leray スペクトル系列は
$$ E_2^{p,q}=H^p\bigl(\Gamma,H^q(X_{k^{\mathrm s}},F)\bigr)\ \Longrightarrow\ H^{p+q}(X,F) $$
という形になる（Hochschild–Serre スペクトル系列とも呼ばれる形）。
$F=\mathbb G_m$ とし、$X$ を $k$ 上固有で幾何的に整な多様体とする。このとき $H^0(X_{k^{\mathrm s}},\mathbb G_m)=k^{\mathrm s\times}$、$H^1(X_{k^{\mathrm s}},\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(X_{k^{\mathrm s}})$、$H^1(X,\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(X)$ であり、Hilbertの定理90 により $H^1(\Gamma,k^{\mathrm s\times})=0$ である。5 項完全列は
$$ 0\to\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(X_{k^{\mathrm s}})^{\Gamma}\to\operatorname{Br}(k)\to H^2(X,\mathbb G_m) $$
となる（Poo17 Corollary 6.7.8、p. 195）。ここで $\operatorname{Br}(k)=H^2(\Gamma,k^{\mathrm s\times})$ は体の Brauer群 である。$\operatorname{Pic}(X_{k^{\mathrm s}})^\Gamma$ の元が $k$ 上の直線束から来るかどうかの障害が $\operatorname{Br}(k)$ に現れる。

スキーム $X$ について、$X$ 上のスキームの大きい fppf 景の層の圏から小エタール景の層の圏への、トポスの射 $a\colon\operatorname{Sh}((\mathrm{Sch}/X)_{\mathrm{fppf}})\to\operatorname{Sh}(X_{\mathrm{et}})$ がある（Stacks0DDK Section 59.100）。これは冒頭の「設定」には含まれないが、トポスの射の Leray スペクトル系列
$$ E_2^{p,q}=H^p(X_{\mathrm{et}},R^qa_*G)\ \Longrightarrow\ H^{p+q}_{\mathrm{fppf}}(X,G) $$
が同じ証明で得られる（Stacks072X Lemma 21.14.5）。エタール層 $F$ を fppf 景へ引き戻した層 $a^{-1}F$ については $a_*a^{-1}F=F$、$R^qa_*a^{-1}F=0$（$q>0$）が成り立つので（Stacks0DDK Lemma 59.100.7。この記事では証明しない）、cor-leray-vanishing により
$$ H^q(X_{\mathrm{et}},F)\cong H^q_{\mathrm{fppf}}(X,a^{-1}F) $$
となる（同 Lemma 59.100.8）。例えば定数層では、エタールコホモロジーと fppf コホモロジーは一致する。一般の fppf 層 $G$ では、比較の問題は $R^qa_*G$（$q>0$）の消滅に帰着する。この議論は エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理 の記事で扱う。

$f\colon S^1\to\{\mathrm{pt}\}$ を 1 点への写像、$F=\mathbb Z$ を定数層とする。1 点の上の層は群と同じで $H^p(\mathrm{pt},-)=0$（$p>0$）だから $H^1(\mathrm{pt},f_*\mathbb Z)=0$ であるが、$H^1(S^1,\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ である（円周を二つの開いた弧で覆う Mayer–Vietoris 完全列から）。cor-leray-vanishing の仮定は破れており、実際 $R^1f_*\mathbb Z=H^1(S^1,\mathbb Z)\cong\mathbb Z\ne0$ である。このときスペクトル系列は $p=0$ の列に集中し、cor-leray-base-vanishing の $H^q(S^1,\mathbb Z)=E_2^{0,q}=H^q(S^1,\mathbb Z)$ という自明な主張になる。

$k$ を標数 $p>0$ の完全でない体、$X=\operatorname{Spec}k$、$G=\mu_p$（$p$ 乗根の群スキームが定める fppf 層）とする。$k$ 上エタールなスキームは被約なので、その上で $x^p=1$ なら $(x-1)^p=0$ から $x=1$ であり、$a_*\mu_p=0$、したがって $H^i(k_{\mathrm{et}},a_*\mu_p)=0$ である。一方、fppf 位相の Kummer 完全列 $0\to\mu_p\to\mathbb G_m\xrightarrow{(\cdot)^p}\mathbb G_m\to0$（Stacks040N Lemma 59.28.3）と $H^1_{\mathrm{fppf}}(k,\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(\operatorname{Spec}k)=0$（Stacks03P8 Theorem 59.24.1）から $H^1_{\mathrm{fppf}}(k,\mu_p)\cong k^\times/k^{\times p}$ であり、$k$ が完全でないのでこれは $0$ でない。5 項完全列
$$ 0=H^1(k_{\mathrm{et}},a_*\mu_p)\to H^1_{\mathrm{fppf}}(k,\mu_p)\to H^0(k_{\mathrm{et}},R^1a_*\mu_p) $$
により $R^1a_*\mu_p\ne0$ である。ex-leray-etale-fppf の「エタール層から来る」という仮定を外すと、この例のように高次順像が消えず、エタールコホモロジーと fppf コホモロジーは一致しないことがある。