Krull–秋月の定理

素フィルトレーション の記事の定理「有限Noether加群の素フィルトレーション」により、部分加群の列 $0=C_0\subset C_1\subset\cdots\subset C_n=C$ と素イデアル $\mathfrak p_i$ で $C_i/C_{i-1}\cong A/\mathfrak p_i$ となるものがとれる。$t$ は $A/\mathfrak p_i$ を零化するので $t\in\mathfrak p_i$、とくに $\mathfrak p_i\ne0$ である。$A$ の Krull 次元は $1$ なので、$0$ でない素イデアル $\mathfrak p_i$ は極大であり、$A/\mathfrak p_i$ は体、すなわち単純 $A$ 加群である。よってこの列は組成列で、$\ell_A(C)=n$ は有限である。後半は $C=A/aA$、$t=a$ とすればよい。$\square$

段 1（$M$ が有限生成の場合）．$M_K$ は $M$ の元の像で張られるので、$M$ の元 $\xi_1,\dots,\xi_r$ で $M_K$ の $K$ 上の基底となるものがとれる。$E:=\sum_iA\xi_i$ は、$\xi_i$ が $K$ 上一次独立なので $A^r$ と同型である。$C:=M/E$ とおく。$M$ の生成元 $m_1,\dots,m_s$ は $M_K$ の中で $\xi_i$ の $K$ 係数の一次結合なので、分母を払って $0$ でない $t_j\in A$ で $t_jm_j\in E$ とできる。$t:=t_1\cdots t_s$ とすれば $tC=0$ であり、lem-ka-torsion-length により $\ell_A(C)<\infty$ である。
$n\ge1$ について、全射 $M\to C$ から全射 $M/a^nM\to C/a^nC$ が得られ、その核は $E$ の像 $(E+a^nM)/a^nM$ で、これは $E/a^nE$ の商である。よって
$$ \ell_A(M/a^nM)\le\ell_A(E/a^nE)+\ell_A(C/a^nC)\le\ell_A(E/a^nE)+\ell_A(C) $$
である。$E\cong A^r$ より $E/a^nE\cong(A/a^nA)^r$ は長さ有限なので、左辺も有限である。
次に $M$ の部分加群の列 $M\supset aM\supset a^2M\supset\cdots\supset a^nM$ を考える。写像 $M\to a^iM/a^{i+1}M$、$m\mapsto a^im$ は全射で、その核は $aM$ である。実際 $a^im=a^{i+1}m'$ なら $a^i(m-am')=0$ であり、$M$ は捩れがないので $m=am'$ となる。よって $a^iM/a^{i+1}M\cong M/aM$ で、加群の長さ の記事の定理「長さの加法性」により $\ell_A(M/a^nM)=n\,\ell_A(M/aM)$ である。同様に $\ell_A(E/a^nE)=n\,\ell_A(E/aE)=nr\,\ell_A(A/aA)$ である。以上から
$$ n\,\ell_A(M/aM)\le nr\,\ell_A(A/aA)+\ell_A(C)\qquad(n\ge1) $$
であり、両辺を $n$ で割って $n\to\infty$ とすれば求める不等式を得る。
段 2（一般の場合）．$N$ を $M/aM$ の有限生成部分加群とし、その生成元を $M$ の元 $m_1,\dots,m_s$ に持ち上げて $M_1:=\sum_jAm_j$ とおく。$M_1$ は捩れのない有限生成加群で、$(M_1)_K\subset M_K$ なので階数 $r_1\le r$ である。$N$ は合成 $M_1\to M\to M/aM$ の像であり、この写像は $aM_1$ を $0$ に送るから、$N$ は $M_1/aM_1$ の商である。段 1 により
$$ \ell_A(N)\le\ell_A(M_1/aM_1)\le r_1\,\ell_A(A/aA)\le r\,\ell_A(A/aA) $$
である。有限生成部分加群の長さは整数で、上に有界なので、長さが最大の有限生成部分加群 $N_0$ がとれる。任意の $x\in M/aM$ について $N_0+Ax$ は $N_0$ を含む有限生成部分加群なので、長さの最大性と加法性から $\ell_A\bigl((N_0+Ax)/N_0\bigr)=0$、すなわち $x\in N_0$ である。よって $M/aM=N_0$ であり、不等式が成り立つ。$\square$

1：$B$ は体 $L$ の部分環なので捩れのない $A$ 加群であり、定義の後で見たように階数は $[L:K]$ 以下である。$J$ を $B$ の $0$ でないイデアルとし、$0\ne b\in J$ をとる。$b$ は $K$ 上代数的なので、分母を払うと $A$ 係数の関係式
$$ a_mb^m+a_{m-1}b^{m-1}+\cdots+a_1b+a_0=0\qquad(a_i\in A,\ a_m\ne0) $$
が得られる。次数 $m$ が最小のものをとると $a_0\ne0$ である（$a_0=0$ なら、$b\ne0$ で割って次数の低い関係式が得られる）。すると
$$ a_0=-b\,(a_mb^{m-1}+\cdots+a_1)\in J\cap A $$
は $0$ でない。lem-ka-rank-length により $\ell_A(B/a_0B)\le[L:K]\cdot\ell_A(A/a_0A)<\infty$ であり、$B/J$ は $B/a_0B$ の商なので長さ有限である。
2：$J$ を $B$ の $0$ でないイデアルとし、1 の $a_0\in J\cap A$ をとる。$J/a_0B$ は長さ有限の $A$ 加群 $B/a_0B$ の部分加群なので長さ有限であり、とくに Noether $A$ 加群だから（加群の長さ の記事の命題「有限長と二つの鎖条件」）、有限個の元 $\bar x_1,\dots,\bar x_s$ で $A$ 加群として生成される。それらを $J$ の元 $x_1,\dots,x_s$ に持ち上げると、$J=Bx_1+\cdots+Bx_s+Ba_0$ である。零イデアルも有限生成なので、$B$ のすべてのイデアルは有限生成であり、$B$ は Noether 環である。
3：$\mathfrak q$ を $B$ の $0$ でない素イデアルとする。1 により $B/\mathfrak q$ は長さ有限の $A$ 加群である。$B/\mathfrak q$ のイデアルの降鎖は $A$ 部分加群の降鎖でもあるから停まり、$B/\mathfrak q$ は Artin 環である。$B/\mathfrak q$ は整域でもあるので体である。実際 $0\ne z\in B/\mathfrak q$ について降鎖 $zB\supset z^2B\supset\cdots$ が停まるから、ある $n$ と $c$ で $z^n=z^{n+1}c$ となり、$z^n\ne0$ で割って $zc=1$ を得る。よって $\mathfrak q$ は極大イデアルであり、$B$ の素イデアルの鎖は長さ $1$ 以下である。$\square$

整閉包 の記事の命題「分母を払うことと正規化」の 2 により、$B$ は商体 $L$ をもつ整閉整域である。thm-ka-main により $B$ は Noether 環で、Krull 次元は $1$ 以下である。$A\subset B$ は整拡大で、$A$ は体でない（Krull 次元が $1$）から、整拡大 の記事の命題「体であることの判定」により $B$ も体でない。よって $B$ の Krull 次元はちょうど $1$ であり、Dedekind整域 の記事の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」により $B$ は Dedekind 整域である。$\square$

$\mathfrak p\ne0$ なので、$0\ne x\in\mathfrak p$ をとると $x\in\mathfrak pB$ であり、$\mathfrak pB$ は $B$ の $0$ でないイデアルである。$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ なら $\mathfrak q\supset\mathfrak pB$ である。thm-ka-main の 1 により $B/\mathfrak pB$ は長さ有限の $A$ 加群であり、$B/\mathfrak pB$ のイデアルの昇鎖・降鎖は $A$ 部分加群の鎖なので、$B/\mathfrak pB$ は Artin 環である。Artin環 の記事の命題「極大イデアルは有限個」と命題「Artin環の素イデアルは極大」により、$B/\mathfrak pB$ の素イデアルは有限個である。$\mathfrak pB$ を含む $B$ の素イデアルはこれと一対一に対応するので、$\mathfrak q$ は有限個しかない。$\square$

$I:=y\,k(x)[y]$ は $B$ のイデアルである（$k[x]\cdot I\subset I$、$I\cdot I\subset I$）。$I$ が有限個の元 $yh_1,\dots,yh_m$（$h_j\in k(x)[y]$）で $B$ のイデアルとして生成されると仮定する。$y$ の 1 次の係数をとる写像 $\varphi\colon I\to k(x)$、$\varphi(yh)=h(0)$ は加法的である。$b=c+yu\in B$（$c\in k[x]$、$u\in k(x)[y]$）について $b\cdot yh_j=c\,yh_j+y^2uh_j$ だから $\varphi(b\,yh_j)=c\,h_j(0)$ である。よって $\varphi(I)\subset\sum_jk[x]\,h_j(0)$ となる。右辺の元は共通の分母 $D\in k[x]\setminus\{0\}$ により $D^{-1}k[x]$ に入る。一方 $y\cdot\frac{1}{xD}\in I$ なので $\frac{1}{xD}\in\varphi(I)$ であり、$\frac{1}{xD}=\frac{f}{D}$（$f\in k[x]$）なら $xf=1$ となって矛盾する。したがって $I$ は有限生成でなく、$B$ は Noether 環でない。$\square$

$\mathbb{Z}\subset\overline{\mathbb{Z}}$ は整拡大なので、整拡大 の記事の系「整拡大と Krull 次元」により Krull 次元は $1$ である。$\alpha_n:=2^{1/2^n}$（正の実数）は $T^{2^n}-2$ の根なので $\overline{\mathbb{Z}}$ に属し、$\alpha_n=\alpha_{n+1}^2$ だから $\alpha_n\overline{\mathbb{Z}}\subset\alpha_{n+1}\overline{\mathbb{Z}}$ である。この包含が等号なら $\alpha_{n+1}=c\alpha_n$（$c\in\overline{\mathbb{Z}}$）で、$c=\alpha_{n+1}^{-1}$、$c^{2^{n+1}}=1/2$ となる。$\overline{\mathbb{Z}}$ は部分環なので $1/2\in\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}$ であるが、$\mathbb{Z}$ は一意分解整域なので整閉で $\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ となり、矛盾する。よってイデアルの昇鎖 $\alpha_1\overline{\mathbb{Z}}\subsetneq\alpha_2\overline{\mathbb{Z}}\subsetneq\cdots$ は停まらない。$\square$