Tateの非輪状定理

$h\colon C^{p}_{\mathrm{aug}}\to C^{p-1}_{\mathrm{aug}}$ を、$p\ge1$ では $(hc)_{i_0\cdots i_{p-1}}:=c_{0i_0\cdots i_{p-1}}$（$i_0>0$ のとき）、$:=0$（$i_0=0$ のとき）、$p=0$ では $hc:=c_0\in\mathcal O(U_0)=\mathcal O(Y)$、$p=-1$ では $h=0$ と定める。$c\in C^p$ と $i_0<\cdots< i_p$ について、$i_0>0$ なら $(hdc)_{i_0\cdots i_p}=(dc)_{0i_0\cdots i_p}=c_{i_0\cdots i_p}-\sum_k(-1)^kc_{0i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_p}$、$(dhc)_{i_0\cdots i_p}=\sum_k(-1)^kc_{0i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_p}$ であり（制限は $U_0=Y$ なので省いた）、和は $c_{i_0\cdots i_p}$ である。$i_0=0$ なら $(hdc)_{0i_1\cdots i_p}=0$、$(dhc)_{0i_1\cdots i_p}$ は $i_0$ を除いた項 $(hc)_{i_1\cdots i_p}=c_{0i_1\cdots i_p}$ だけが残る。$p=0,-1$ も同様に確かめられる。よって $dh+hd=\mathrm{id}$ で、増大複体は完全である。$\square$

二重複体 $C^{p,q}:=\prod\mathcal O(U_{i_0\cdots i_p}\cap V_{j_0\cdots j_q})$（$p,q\ge0$）を、横の微分を $i$ についての Čech の微分、縦の微分を $j$ についての Čech の微分の $(-1)^p$ 倍として作る。第 $p$ 列は、$\mathfrak V|_{U_{i_0\cdots i_p}}$ の（増大しない）Čech 複体の積に符号を付けたものである。仮定によりその $q>0$ 次のコホモロジーは $0$ で、$0$ 次は増大写像によって $\prod\mathcal O(U_{i_0\cdots i_p})=C^p(\mathfrak U)$ と同一視される。二重複体 の定理「列が正の次数で非輪状な二重複体の全複体」の 1 により、$C^\bullet(\mathfrak U)\to\operatorname{Tot}(C)$ は擬同型である。行についても同じことが成り立ち（転置する）、$C^\bullet(\mathfrak V)\to\operatorname{Tot}(C)$ は擬同型である。$a\in\mathcal O(Y)$ はどちらの経路でも $(a|_{U_i\cap V_j})\in C^{0,0}$ に写るので、同型 $\check H^r(\mathfrak U)\cong H^r(\operatorname{Tot}C)\cong\check H^r(\mathfrak V)$ は増大写像 $\mathcal O(Y)\to\check H^0$ と両立する。非輪状であることは、増大写像が $\check H^0$ への全単射で $r\ge1$ で $\check H^r=0$ であることだから、主張が従う。$\square$

$W:=U_{i_0\cdots i_p}$ とする。$(\mathfrak U\wedge\mathfrak V)|_W$ は $(i,j)\mapsto j$ により $\mathfrak V|_W$ の細分であり、$\mathfrak V|_W$ の元の共通部分 $W\cap V_{j_0\cdots j_q}$ への制限は元 $W\cap U_{i_0}\cap V_{j_0}\cap V_{j_0\cdots j_q}=W\cap V_{j_0\cdots j_q}$ をもつので非輪状である（lem-tate-acyclicity-trivial）。cor-tate-acyclicity-refinement により $(\mathfrak U\wedge\mathfrak V)|_W$ は $\mathfrak V|_W$ とともに非輪状である。$\mathfrak U\wedge\mathfrak V$ は $\mathfrak U$ の細分なので、もう一度 cor-tate-acyclicity-refinement を当てれば、$\mathfrak U$ が非輪状であることから $\mathfrak U\wedge\mathfrak V$ も非輪状である。$\square$

積の係数 $\sum_{\nu+\mu=\lambda}a_\nu b_\mu$ は項が $0$ に収束するので収束し、$|\lambda|$ が大きいと各項で $|\nu|$ か $|\mu|$ が $|\lambda|/2$ 以上になるので $0$ に収束する。環の公理は、項が $0$ に収束する級数の和が順序によらないことから従う。$F=\sum_{i,j\ge0}c_{ij}\zeta^i\eta^j$ に対し $\Phi(F)=\sum_\lambda s_\lambda\zeta^\lambda$、$s_\lambda:=\sum_{i-j=\lambda}c_{ij}$ である。これは多項式の上で乗法的で、ノルムを増やさないので連続であり、$A$ 代数の準同型である。$\sum_\nu a_\nu\zeta^\nu=\Phi(\sum_{\nu\ge0}a_\nu\zeta^\nu+\sum_{\nu>0}a_{-\nu}\eta^\nu)$ なので全射である。$\Phi(\zeta\eta-1)=0$ である。逆に $\Phi(F)=0$ とする。$i\ge j$ なら $\zeta^i\eta^j-\zeta^{i-j}=\zeta^{i-j}((\zeta\eta)^j-1)=(\zeta\eta-1)e_{ij}$、$e_{ij}:=\zeta^{i-j}\sum_{l< j}(\zeta\eta)^l$ で、$i< j$ でも同様に $\zeta^i\eta^j-\eta^{j-i}=(\zeta\eta-1)e_{ij}$ と書け、$\|e_{ij}\|\le1$ である。$G:=\sum c_{ij}e_{ij}$ は収束し、$F=(\zeta\eta-1)G+\sum_{\lambda\ge0}s_\lambda\zeta^\lambda+\sum_{\lambda>0}s_{-\lambda}\eta^\lambda$ である。$\Phi(F)=0$ からすべての $s_\lambda=0$ なので、$F\in(\zeta\eta-1)$ である。$\square$

任意の極大イデアル $\mathfrak m$ と $k\ge1$ について $a\in\mathfrak m^k$ を示せばよい。実際そうなら、Krullの交叉定理 の 1 により $(1-b)a=0$ となる $b\in\mathfrak m$ があり、$a$ の零化イデアルはどの極大イデアルにも含まれないので $a=0$ である。$\mathfrak m=\mathfrak m_x$ とし、$B:=A/\mathfrak m^k$ に剰余ノルムを入れる。$\mathfrak m^k$ は閉（affinoid代数 の定理「Noether 性とイデアルの閉性」）なので $B$ は Banach 代数で、射影 $\pi\colon A\to B$ はノルムを増やさない。$P\in K[T]$ を $f(x)$ の $K$ 上の最小多項式とすると $P(f)\in\mathfrak m$ なので、$\bar f:=\pi(f)$ は $P(\bar f)^k=0$ を満たす。

$|f(x)|\le1$ のとき：$P$ の根は $f(x)$ の共役で、絶対値はすべて $|f(x)|\le1$ である。よって $P^k=T^N+c_1T^{N-1}+\cdots+c_N$ の係数（根の基本対称式）は $K^\circ$ に属する。$\nu\ge N$ で $\bar f^\nu=-\sum_jc_j\bar f^{\nu-j}$ なので、帰納的に $\|\bar f^\nu\|\le M:=\max_{j< N}\|\bar f^j\|$ である。したがって $\rho(\sum_\nu e_\nu\zeta^\nu):=\sum_\nu\pi(e_\nu)\bar f^\nu$ は収束して $A$ 代数の準同型 $\rho\colon A\langle\zeta\rangle\to B$ を与え、$\rho(\zeta-f)=0$ である。$\rho$ は $A\langle f\rangle=A\langle\zeta\rangle/(\zeta-f)$ を経由し、$A\to A\langle f\rangle\to B$ は $\pi$ に等しい。$a$ の $A\langle f\rangle$ での像は $0$ なので、$\pi(a)=0$、すなわち $a\in\mathfrak m^k$ である。

$|f(x)|\ge1$ のとき：$f(x)\ne0$ なので $f\notin\mathfrak m$ で、$\bar f$ は局所環 $B$ の単元である。$f(x)^{-1}$ の最小多項式は $P^*(T):=T^dP(1/T)/P(0)$（$d:=\deg P$）で、根の絶対値は $|f(x)|^{-1}\le1$ であり、$P^*(\bar f^{-1})^k=\bigl(\bar f^{-d}P(\bar f)/P(0)\bigr)^k=0$ である。前の場合と同じく、$\eta\mapsto\bar f^{-1}$ が $A\langle1/f\rangle=A\langle\eta\rangle/(f\eta-1)\to B$ を与え、$\pi(a)=0$ である。$\square$

$\mathfrak W$ の元 $W$ は、各組 $i< j$ について $|f_i/f_j|\le1$ か $|f_i/f_j|\ge1$ のどちらかを課して定まる。前者のとき $i\preceq j$、後者のとき $j\preceq i$ と書くと、相異なる $i,j$ について $i\preceq j$ か $j\preceq i$ の少なくとも一方が成り立ち、$i\preceq j$ なら $W$ 上で $|f_i|\le|f_j|$ である。$R(k)$ を、$i=i_0\preceq i_1\preceq\cdots\preceq i_m=k$（$m\ge0$）となる列がある $i$ の集合とし、$|R(k)|$ が最大の $k$ をとる。$i\notin R(k)$ なら $i\preceq k$ でないので $k\preceq i$ であり、$R(k)\cup\{i\}\subset R(i)$ となって最大性に反する。よってすべての $i$ が $R(k)$ に属し、$W$ 上で $|f_i|\le|f_k|$、すなわち $W\subset U_k$ である。$\square$

$\sum_ia_if_i=1$ なる $a_i\in A$ をとり、$M:=\max_i|a_i|_{\sup}$ とおく（affinoid代数 の命題「上限半ノルム」により有限）。各点 $x$ で $1\le\max_i|a_i(x)||f_i(x)|\le M\max_i|f_i(x)|$ である。$|c|>M$ なる $c\in K^\times$ をとると、すべての $x$ で $\max_i|f_i(x)|>|c|^{-1}$ となる。$cf_1,\dots,cf_n$ が生成する Laurent 被覆を $\mathfrak V=(V_j)$ とし、prop-tate-acyclicity-comparison を $\mathfrak U$ と $\mathfrak V$ に当てる。$\mathfrak V|_{U_{i_0\cdots i_p}}$ は Laurent 被覆なので非輪状である。$V':=V_{j_0\cdots j_q}$ とし、$V'\subset V_{j_0}=\{|f_i|\le|c|^{-1}\ (i\in S^+),\ |f_i|\ge|c|^{-1}\ (i\in S^-)\}$ と書く。$x\in V'$ では $S^+$ の上の最大値は $|c|^{-1}$ 以下で全体の最大値より小さいので、$\max_i|f_i(x)|$ は $S^-$ の中で達成される。したがって $i\in S^+$ なら $U_i\cap V'=\emptyset$ であり、$i\in S^-$ なら $U_i\cap V'=\{x\in V'\mid|f_k(x)|\le|f_i(x)|\ (k\in S^-)\}$ である。$i\in S^-$ の $f_i$ は $V'$ 上で零点をもたない（$|f_i|\ge|c|^{-1}$）ので、$\mathcal O(V')$ の単元である（affinoid代数 の命題「上限半ノルム」の 4）。$\mathcal O(\emptyset)=0$ なので空の元は Čech 複体を変えず、$\mathfrak U|_{V'}$ の非輪状性は、単元 $f_i|_{V'}$（$i\in S^-$）が生成する $V'$ の有理被覆の非輪状性と同じであり、これは（a）により成り立つ（$V'=\emptyset$ なら明らか）。$\mathfrak V$ は prop-tate-acyclicity-laurent-covering により非輪状なので、$\mathfrak U$ も非輪状である。$\square$

各 $U_i$ を有限個の有理部分領域の和に書き、それらを並べた被覆の細分は $\mathfrak U$ の細分なので、各 $U_i$ は有理部分領域としてよい（$i=1,\dots,r$）。分母を分子にも加えて $U_i=X(g^{(i)}_1,\dots,g^{(i)}_{n_i}/g^{(i)}_{n_i})$ と書く。$g^{(i)}_1,\dots,g^{(i)}_{n_i}$ は単位イデアルを生成し、それが生成する有理被覆の第 $j$ 元を $V^{(i)}_j$ とすると $V^{(i)}_{n_i}=U_i$ である。$J:=\prod_i\{1,\dots,n_i\}$、$\nu\in J$ に対し $h_\nu:=\prod_ig^{(i)}_{\nu_i}$、$J':=\{\nu\in J\mid$ ある $i$ で $\nu_i=n_i\}$ とおく。点 $x$ をとると、$\mathfrak U$ は被覆なので $x\in U_{i_0}$ なる $i_0$ があり、$|g^{(i_0)}_{n_{i_0}}(x)|=\max_j|g^{(i_0)}_j(x)|$ である。$\nu$ の第 $i_0$ 成分を $n_{i_0}$ に替えても $|h_\nu(x)|$ は減らないので、$\max_{\nu\in J'}|h_\nu(x)|=\max_{\nu\in J}|h_\nu(x)|=\prod_i\max_j|g^{(i)}_j(x)|>0$ である。特に $(h_\nu)_{\nu\in J'}$ は共通零点をもたず、どの極大イデアルにも含まれないので単位イデアルを生成する。$\nu\in J'$ について、$x$ が $(h_\mu)_{\mu\in J'}$ の生成する有理被覆の $\nu$ 番目の元に属することは $|h_\nu(x)|=\prod_i\max_j|g^{(i)}_j(x)|$ と同じであり、各因子は $|g^{(i)}_{\nu_i}(x)|\le\max_j|g^{(i)}_j(x)|$ を満たすので、これはすべての $i$ で $x\in V^{(i)}_{\nu_i}$ であることと同値である。$\nu_i=n_i$ なる $i$ について $V^{(i)}_{n_i}=U_i$ なので、この元は $U_i$ に含まれる。よって $(h_\mu)_{\mu\in J'}$ の生成する有理被覆は $\mathfrak U$ を細分する（BGR84 §8.2.2 補題 2、p. 332 と同じ構成）。$\square$