外積代数
概要
外積代数（exterior algebra）とは、可換環 $R$ 上の加群 $M$ のテンソル代数を $x\otimes x$（$x\in M$）で生成される両側イデアルで割った次数付き $R$ 代数 $\bigwedge(M)=\bigoplus_k\bigwedge^k(M)$ であり、Grassmann 代数ともいう。積 $\wedge$ は $x\wedge x=0$ と次数付き可換性 $\omega\wedge\eta=(-1)^{kl}\eta\wedge\omega$ を満たし、$M$ が階数 $n$ の自由加群なら $\bigwedge^k(M)$ は階数 $\binom nk$ の自由加群である。$\bigwedge^2\mathbb{R}^3$ の元はベクトル積に、最高次の外冪への作用は行列式に対応する。微分形式やトーラスのコホモロジー環も外積代数の形で表される。
「外積」という語は 2 つの意味で使われる。1 つは 3 次元空間の 2 つのベクトルからベクトルを作るベクトル積 $u\times v$、もう 1 つはこの記事の主題である外積代数の積 $u\wedge v$ である。$u\wedge v$ は「$u,v$ の張る向きのついた平行四辺形」を表す量で、その成分は平行四辺形を座標平面に射影した影の符号付き面積になる。$3$ 次元ではこの成分がちょうど $3$ 個なのでベクトルとみなせ、それがベクトル積である（ex-extalg-r3）。外積代数は、加群 $M$ の元を掛け合わせるときに $x\wedge x=0$ だけを課した「最も自由な」代数であり、向きのついた $k$ 次元の体積を代数的に扱う。行列式は最高次の外冪への作用として座標によらずに定まり（cor-extalg-det）、微分形式・Kähler 微分・コホモロジー環はいずれも外積代数の形をしている。
定義
以下、$R$ は単位元をもつ可換環、加群は $R$ 加群、$\otimes$ は $\otimes_R$ とし、$R$ 代数（可換とは限らない）とテンソル代数 $T(M)=\bigoplus_kT^k(M)$ は 対称代数 の記事の「定義」の節の意味とする（同記事の定義「テンソル代数」）。
$R$ 加群 $M$ について、$T(M)$ の元 $x\otimes x$（$x\in M$）全体で生成される両側イデアルを $J(M)$ とし、
$$
\textstyle\bigwedge(M):=T(M)/J(M)
$$
を $M$ の 外積代数（exterior algebra）または Grassmann 代数という。$T^k(M)$ の像を $\bigwedge^k(M)$ と書き、$M$ の $k$ 次の外冪（$k$-th exterior power）という。純テンソル $x_1\otimes\cdots\otimes x_k$ の像を $x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ と書き、$\bigwedge(M)$ の積を 外積（wedge product）と呼んで $\wedge$ で表す。合成 $M=T^1(M)\to\bigwedge(M)$ を $\iota$ と書く。$\bigwedge^k(M)$ の元を $k$ ベクトル、$x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ の形の元を 分解可能（decomposable）な $k$ ベクトルという。
$\bigwedge(M)$ を $\Lambda(M)$、$\Lambda^\bullet M$、係数環を明示して $\bigwedge_R(M)$ とも書く。
- $J(M)=\bigoplus_{k\ge2}(J(M)\cap T^k(M))$ であり、$\bigwedge(M)=\bigoplus_{k\ge0}\bigwedge^k(M)$ は次数付きの $R$ 代数である。$\bigwedge^0(M)=R$ であり、$\iota$ は同型 $M\cong\bigwedge^1(M)$ を与える。
- $x,y\in M$ について $x\wedge y=-y\wedge x$ である。$x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ は、ある $i\ne j$ で $x_i=x_j$ なら $0$ であり、$k$ 次の置換 $\sigma$ について $x_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(k)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\,x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ である。
- 次数付き可換性：$\omega\in\bigwedge^k(M)$、$\eta\in\bigwedge^l(M)$ について $\omega\wedge\eta=(-1)^{kl}\,\eta\wedge\omega$ である。
要点：$0=(x+y)\wedge(x+y)=x\wedge y+y\wedge x$ から、隣り合う 2 つの因子を入れ替えると符号が変わる。2 と 3 はこれを繰り返して得られる。
詳しい証明を開く
1 は 対称代数 の記事の命題「次数と可換性」の 1 と同じである（$J(M)$ は次数 $2$ の斉次元で生成される）。
2：$0=(x+y)\wedge(x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x$ である。$x_i=x_j$（$i< j$）なら、$x_j$ を隣り合う入れ替えで $x_i$ の直後まで動かすと、符号を除いて $\cdots\wedge x_i\wedge x_i\wedge\cdots=0$ になる。置換 $\sigma$ を隣り合う互換 $m$ 個の積に書けば、値は $(-1)^m=\operatorname{sgn}(\sigma)$ 倍になる。
3：両辺は $(\omega,\eta)$ について双線形なので、$\omega=x_1\wedge\cdots\wedge x_k$、$\eta=y_1\wedge\cdots\wedge y_l$ の場合に示せばよい。$\eta\wedge\omega$ から始めて、$x_1$ を $y_1,\dots,y_l$ の前まで動かすのに隣り合う入れ替えが $l$ 回、$x_2,\dots,x_k$ も同じく $l$ 回ずつ要り、合計 $kl$ 回の入れ替えで $\omega\wedge\eta$ になる。$\square$
2 の $x\wedge y=-y\wedge x$ は $x\wedge x=0$ から従ったが、$2$ が可逆でない環では逆が成り立つとは限らない（ex-extalg-char-two）。$\bigwedge(M)$ は、次数付き環 の記事の定義「次数付き可換」の意味で次数付き可換であり、さらに次数 $1$ の元 $x$ について $x\wedge x=0$ を満たす。
対称代数と外積代数は、同じテンソル代数を別の関係式で割ったものである。
| 対称代数 $\operatorname{Sym}(M)$ | 外積代数 $\bigwedge(M)$ | |
|---|---|---|
| 割る関係式 | $x\otimes y-y\otimes x$ | $x\otimes x$ |
| 積の性質 | 可換 | 次数付き可換、$x\wedge x=0$ |
| 次数 $k$ の部分の普遍性 | 対称な $k$ 重線形写像 | 交代的な $k$ 重線形写像 |
| $R^n$ の次数 $k$ の部分の階数 | $\binom{n+k-1}{k}$ | $\binom nk$（$k>n$ で $0$） |
| $R^n$ の場合の全体 | 多項式環 $R[x_1,\dots,x_n]$ | 階数 $2^n$ の自由加群 |
| 代表的な使われ方 | 多項式関数、ベクトル束、射影束 | 行列式、微分形式、コホモロジー環 |
普遍性
- $A$ を $R$ 代数（可換とは限らない）、$f\colon M\to A$ を $R$ 線形写像で、すべての $x\in M$ について $f(x)^2=0$ を満たすものとする。このとき $R$ 代数の準同型 $\bar f\colon\bigwedge(M)\to A$ で $\bar f\circ\iota=f$ を満たすものがただ 1 つ存在する。
$$ \xymatrix{ M \ar[r]^-{\iota} \ar[dr]_-{f} & \bigwedge(M) \ar@{.>}[d]^-{\bar f} \\ & A } $$ - $k\ge1$ と $R$ 加群 $N$ について、$R$ 線形写像 $\bigwedge^k(M)\to N$ と、交代的な $k$ 重線形写像 $h\colon M^k\to N$（ある $i\ne j$ で $x_i=x_j$ なら $h(x_1,\dots,x_k)=0$ となる $k$ 重線形写像）は、合成 $(x_1,\dots,x_k)\mapsto x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ を通じて一対一に対応する。
図式が可換であるとは、すべての $x\in M$ について $\bar f(\iota(x))=f(x)$ ということである。
- 対称代数 の記事の補題「テンソル代数の普遍性」により、$R$ 代数の準同型 $\tilde f\colon T(M)\to A$ で $M$ 上 $f$ になるものがある。$\tilde f(x\otimes x)=f(x)^2=0$ なので $\tilde f$ は $J(M)$ を $0$ に送り、$\bigwedge(M)$ を経由する。$\bigwedge(M)$ は $\iota(M)$ で $R$ 代数として生成されるので、$\bar f$ は $f$ で決まる。
- prop-extalg-basic の 2 により $(x_1,\dots,x_k)\mapsto x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ は交代的な $k$ 重線形写像であり、線形写像との合成も交代的である。逆に交代的な $h$ から、テンソル積の普遍性で線形写像 $h'\colon T^k(M)\to N$ を作る。$J(M)\cap T^k(M)$ は $a\otimes x\otimes x\otimes b$（$a,b$ は純テンソル）の形の元で張られ、これは隣り合う 2 つの成分が等しい純テンソルなので、$h$ の交代性から $h'$ はこれを $0$ に送る。よって $h'$ は $\bigwedge^k(M)$ からの線形写像を誘導する。$\bigwedge^k(M)$ は $x_1\wedge\cdots\wedge x_k$ で生成されるので、2 つの対応は互いに逆である。$\square$
$R$ 線形写像 $\varphi\colon M\to N$ は、$x_1\wedge\cdots\wedge x_k\mapsto\varphi(x_1)\wedge\cdots\wedge\varphi(x_k)$ で与えられる次数を保つ $R$ 代数の準同型 $\bigwedge(\varphi)$ を誘導する。その次数 $k$ の部分を $\bigwedge^k\varphi\colon\bigwedge^k(M)\to\bigwedge^k(N)$ と書く。$\psi\colon N\to L$ について $\bigwedge^k(\psi\circ\varphi)=\bigwedge^k\psi\circ\bigwedge^k\varphi$ である。
$f:=\iota_N\circ\varphi$ は $f(x)\wedge f(x)=0$ を満たすので、thm-extalg-universal の 1 が適用できる。合成の式は、両辺が $\iota_M(x)\mapsto\iota_L(\psi(\varphi(x)))$ を満たす $R$ 代数の準同型であることと一意性から従う。$\square$
自由加群の外冪
$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 元部分集合 $I=\{i_1<\cdots< i_k\}$ について $e_I:=e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}$ と書く（$e_\emptyset:=1$）。$n\times k$ 行列 $A$ と $I$ について、$A$ の第 $i_1,\dots,i_k$ 行からなる $k\times k$ 小行列を $A_I$ と書く。
$M$ を基底 $e_1,\dots,e_n$ をもつ自由 $R$ 加群とする。
- $v_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$（$j=1,\dots,k$）とし、$A=(a_{ij})$ を $n\times k$ 行列とすると
$$ v_1\wedge\cdots\wedge v_k=\sum_{I}\det(A_I)\,e_I $$
である（和は $k$ 元部分集合 $I$ の全体）。 - $\bigwedge^k(M)$ は $e_I$（$\lvert I\rvert=k$）を基底とする階数 $\binom nk$ の自由加群である。とくに $k>n$ なら $\bigwedge^k(M)=0$ であり、$\bigwedge(M)$ は階数 $2^n$ の自由加群である。
- 多重線形性で展開すると
$$ v_1\wedge\cdots\wedge v_k=\sum_{j_1,\dots,j_k=1}^na_{j_11}\cdots a_{j_kk}\,e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k} $$
である。添字に重複がある項は $0$ である（prop-extalg-basic の 2）。重複のない $(j_1,\dots,j_k)$ は、集合 $I=\{j_1,\dots,j_k\}=\{i_1<\cdots< i_k\}$ と、$j_r=i_{\sigma(r)}$ で定まる置換 $\sigma$ の組と一対一に対応し、$e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k}=\operatorname{sgn}(\sigma)e_I$ である。したがって $e_I$ の係数は $\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_ra_{i_{\sigma(r)}r}$ であり、これは行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」と命題「転置と行列式」により $\det(A_I)$ に等しい。 - 生成：$\bigwedge^k(M)$ は分解可能な元で生成され、1 によりそれらは $e_I$ の線形結合である。独立性：$k$ 元部分集合 $J$ を 1 つ固定し、$h_J(v_1,\dots,v_k):=\det(A_J)$ とおく。行列式は各列について線形で、2 つの列が等しければ $0$ である（行列式 の記事の定理「多重線形性と交代性」を転置した形。同記事の注意「可換環上の行列式」により可換環上でも成り立つ）。したがって $h_J$ は交代的な $k$ 重線形写像であり、thm-extalg-universal の 2 により線形写像 $\bar h_J\colon\bigwedge^k(M)\to R$ を与える。$(v_1,\dots,v_k)=(e_{i_1},\dots,e_{i_k})$ のとき $A$ の第 $r$ 列は $e_{i_r}$ なので、$A_J$ は $I=J$ なら単位行列、$I\ne J$ なら $J\setminus I$ の元に対応する行が $0$ であり、$\bar h_J(e_I)=\delta_{IJ}$ である。よって $\sum_Ic_Ie_I=0$ に $\bar h_J$ を施すと $c_J=0$ となり、$e_I$ たちは 1 次独立である。$k$ 元部分集合の個数は $\binom nk$ で、$k>n$ なら存在しない。$\sum_k\binom nk=2^n$ である。$\square$
基底が無限個の自由加群でも各 $\bigwedge^k(M)$ は自由加群である（Stacks26 Tag 00DN）。体上の有限次元ベクトル空間 $V$ では $\dim\bigwedge^kV=\binom{\dim V}{k}$ であり、$\bigwedge^{\dim V}V$ は $1$ 次元である。微分形式 の記事の命題「交代形式の基底と成分表示」は、$V^*$ に対するこの定理を交代形式の言葉で述べたものである（ex-extalg-forms）。
行列式
$M$ を階数 $n$ の自由 $R$ 加群、$f\colon M\to M$ を $R$ 線形写像とし、基底 $e_1,\dots,e_n$ に関する $f$ の行列を $A$（$f(e_j)=\sum_ia_{ij}e_i$）とする。このとき $\bigwedge^nM$ は $e_1\wedge\cdots\wedge e_n$ を基底とする階数 $1$ の自由加群で、
$$
\textstyle\bigwedge^nf=\det(A)\cdot\mathrm{id}_{\bigwedge^nM}
$$
である。とくに $\det(A)$ は基底の選び方によらず $f$ だけで決まり、$\det(g\circ f)=\det(g)\det(f)$ が成り立つ。より一般に、$\bigwedge^kf$ の基底 $e_I$ に関する行列の $(I,J)$ 成分は、$A$ の行 $I$・列 $J$ からなる $k\times k$ 小行列式 $\det(A_{I,J})$ である。
thm-extalg-free の 2 から $\bigwedge^nM=R\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n$ である。$\bigwedge^nf(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)=f(e_1)\wedge\cdots\wedge f(e_n)$ に thm-extalg-free の 1 を $k=n$ で使うと、係数は $\det(A)$ である。$\bigwedge^nf$ はこの基底に $\det(A)$ を掛ける写像なので、$\det(A)$ は基底によらない。cor-extalg-functorial の $\bigwedge^n(g\circ f)=\bigwedge^ng\circ\bigwedge^nf$ から積の式を得る。一般の $k$ では $\bigwedge^kf(e_J)=\bigwedge_{j\in J}f(e_j)$ に thm-extalg-free の 1 を使う。$\square$
関手性 $\bigwedge^k(g\circ f)=\bigwedge^kg\circ\bigwedge^kf$ を行列で書くと、$n\times n$ 行列 $A,B$ について $\det\bigl((BA)_{I,J}\bigr)=\sum_K\det(B_{I,K})\det(A_{K,J})$（Cauchy–Binet の公式）になる。行列式を交代的な多重線形形式から座標によらずに定義する流儀は Axl24 9.37・9.41（$\dim V$ 重の交代形式の空間が $1$ 次元であることを使う）にあり、上の系はその双対の形である（Nic26 Proposition 2.2.22 の直後）。
1 次独立性と部分空間
$K$ を体、$V$ を $K$ ベクトル空間とする。$v_1,\dots,v_k\in V$ が 1 次独立であることと、$v_1\wedge\cdots\wedge v_k\ne0$ であることは同値である。
1 次従属なら、ある $v_i$ が他の $v_j$ の線形結合 $\sum_{j\ne i}c_jv_j$ で書ける。代入して展開すると、どの項も同じベクトルを 2 回含むので $0$ である。逆に 1 次独立なら、$v_1,\dots,v_k$ は $V'=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ の基底なので、thm-extalg-free により $v_1\wedge\cdots\wedge v_k$ は $\bigwedge^kV'$ の基底であり $0$ でない。包含 $V'\to V$ から誘導される $\bigwedge^kV'\to\bigwedge^kV$ は単射なので、$\bigwedge^kV$ の中でも $0$ でない。$\square$
詳細
単射であること：$V'$ の補空間 $V''$（$V=V'\oplus V''$）をとり、$V''$ に沿った射影 $p\colon V\to V'$ を考えると $p\circ(\text{包含})=\mathrm{id}_{V'}$ なので、cor-extalg-functorial により $\bigwedge^kp$ は $\bigwedge^kV'\to\bigwedge^kV$ の左逆写像である。
$K$ を体、$V$ を $K$ ベクトル空間とし、$v_1,\dots,v_k$ と $w_1,\dots,w_k$ をそれぞれ 1 次独立とする。$\omega:=v_1\wedge\cdots\wedge v_k$ とおく。
- $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\{v\in V\mid v\wedge\omega=0\}$ である。
- $\operatorname{span}(v_i)=\operatorname{span}(w_i)$ であることと、ある $c\in K^\times$ について $w_1\wedge\cdots\wedge w_k=c\,\omega$ であることは同値である。このとき $w_i=\sum_jb_{ij}v_j$ と書けば $c=\det(b_{ij})$ である。
したがって、$V$ の $k$ 次元部分空間 $W$ にその基底の外積の定数倍の類を対応させる写像は、$k$ 次元部分空間の全体から、$0$ でない分解可能な $k$ ベクトルを $K^\times$ 倍の違いを除いて見たものの全体への全単射である。
1：$v\wedge\omega=0$ であることは、prop-extalg-independence により $v,v_1,\dots,v_k$ が 1 次従属であることと同値であり、$v_1,\dots,v_k$ は 1 次独立なので、これは $v\in\operatorname{span}(v_i)$ と同値である。
2：スパンが等しければ $w_i=\sum_jb_{ij}v_j$ と書け、thm-extalg-free の 1 により $w_1\wedge\cdots\wedge w_k=\det(B)\,\omega$（$B=(b_{ij})$）であり、左辺は $0$ でないので $c=\det B\ne0$ である。逆に $w_1\wedge\cdots\wedge w_k=c\,\omega$（$c\ne0$）なら、各 $i$ について $w_i\wedge\omega=c^{-1}w_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_k=0$ なので、1 により $w_i\in\operatorname{span}(v_j)$ であり、次元を比べてスパンは等しい。最後の主張は 1 と 2 から従う（1 により $\omega$ の類から $W$ が復元できる）。$\square$
詳細
thm-extalg-free の 1 を、基底 $v_1,\dots,v_k$ をもつ $\operatorname{span}(v_i)$ と $w_1,\dots,w_k$ に適用する。$w_j$ の座標を第 $j$ 列に並べた行列は $B^{\top}$ なので、係数は $\det(B^{\top})=\det(B)$ である（行列式 の記事の命題「転置と行列式」）。$w_i$ は 1 次独立なので prop-extalg-independence により左辺は $0$ でない。
この命題が、部分空間の全体を射影空間 $\mathbb{P}(\bigwedge^kV)$ の中の点として実現する Plücker 埋め込み（Grassmann 多様体の構成）の出発点である。
例
- $\mathbb{R}^2$ では $\bigwedge^2\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\,e_1\wedge e_2$ であり、$u=(a,c)$、$v=(b,d)$ について $u\wedge v=(ad-bc)\,e_1\wedge e_2$ である。係数は $u,v$ の張る平行四辺形の符号付き面積である（行列式 の記事の例「面積としての行列式」）。
- $\mathbb{R}^3$ では $\bigwedge^2\mathbb{R}^3$ は $e_2\wedge e_3$、$e_3\wedge e_1$、$e_1\wedge e_2$ を基底とする 3 次元の空間である。$u,v$ を行とする $2\times3$ 行列の第 $i,j$ 列の小行列式を $p_{ij}$ と書くと、thm-extalg-free の 1 から
$$ u\wedge v=p_{23}\,e_2\wedge e_3+(-p_{13})\,e_3\wedge e_1+p_{12}\,e_1\wedge e_2 $$
であり、係数の組 $(p_{23},-p_{13},p_{12})$ はベクトル積 $u\times v$ の成分そのものである。つまり線形同型 $e_2\wedge e_3\mapsto e_1$、$e_3\wedge e_1\mapsto e_2$、$e_1\wedge e_2\mapsto e_3$ により $u\wedge v$ は $u\times v$ に対応する。 - $\bigwedge^3\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\,e_1\wedge e_2\wedge e_3$ であり、$u\wedge v\wedge w=\det(u,v,w)\,e_1\wedge e_2\wedge e_3=\bigl((u\times v)\cdot w\bigr)e_1\wedge e_2\wedge e_3$ である（スカラー 3 重積）。
2 の成分 $p_{12},p_{13},p_{23}$ は、$u,v$ の張る平行四辺形を $xy$ 平面・$xz$ 平面・$yz$ 平面に正射影した平行四辺形の符号付き面積である（射影した平行四辺形は $u,v$ の対応する 2 成分で張られるので、1 による）。たとえば $u=(2,0,1)$、$v=(0,3,1)$ では $p_{12}=6$、$p_{13}=2$、$p_{23}=-3$、$u\times v=(-3,-2,6)$ であり、平行四辺形の面積 $\|u\times v\|=7$ について $7^2=6^2+2^2+3^2$ が成り立つ。面積の 2 乗は 3 つの影の面積の 2 乗の和である。
u=(2,0,1) と v=(0,3,1) の張る平行四辺形（面積 7）と、3 つの座標平面への影（面積 6、2、3）。影の面積は u∧v の成分の絶対値である
この関係は de Guaの定理（直角四面体の面積の Pythagoras の定理）や、平面の法線ベクトルを外積で求める計算（空間の平面と法線ベクトル）の背後にある。一般の $n$ 次元では $\bigwedge^2\mathbb{R}^n$ の次元は $\binom n2$ で、これが $n$ に等しいのは $n=3$ のとき（$n\ge1$ の範囲で）だけである。$u\wedge v$ の成分をそのまま同じ空間のベクトルの成分とみなせるのは 3 次元だけである。
$V$ を $\mathbb{R}$ 上の有限次元ベクトル空間とし、微分形式 の記事の定義「線形空間上の交代形式」のように、$V$ 上の交代的な $k$ 重線形形式の空間を $\Lambda^k(V^*)$ と書く。$(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\mapsto\bigl((v_1,\dots,v_k)\mapsto\det(\alpha_i(v_j))\bigr)$ は $(V^*)^k$ 上の交代的な $k$ 重線形写像なので、thm-extalg-universal の 2 により線形写像
$$
\textstyle\bigwedge^k(V^*)\to\Lambda^k(V^*),\qquad \alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_k\mapsto\det(\alpha_i(v_j))
$$
が定まる。これは外積を保つ同型であり（交代形式の外積は微分形式 の記事の A 方式で考える）、多様体の $k$ 次微分形式は、各点の余接空間の $k$ 次外冪の元を滑らかに並べたものと言い換えられる。
同型であることの確認を開く
双対基底 $\theta^1,\dots,\theta^n$ について、thm-extalg-free の基底 $\theta^I$ は、微分形式 の記事の命題「交代形式の基底と成分表示」の基底 $\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_k}$ に移るので、これは同型である。値 $\det(\alpha_i(v_j))$ は同記事の定義「交代形式の外積」の A 方式による $\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_k$ の値に等しいので、この同型は外積を保つ。B 方式を使うと値が定数倍ずれる（同記事の注意「反例：外積の 2 つの方式は同じ形式に異なる値を与える」）。
可換環 $R$ について、2 次元トーラスのコホモロジー環 $H^*(T^2;R)$ は、次数 $1$ の 2 つの元 $\alpha,\beta$ が生成し $\alpha\smile\alpha=\beta\smile\beta=0$、$\beta\smile\alpha=-\alpha\smile\beta$ を満たす環であった（カップ積 の記事の定理「トーラスのコホモロジー環」、特異コホモロジー の記事の例「トーラスのコホモロジー」）。これは階数 $2$ の自由加群 $R\alpha\oplus R\beta$ の外積代数 $\bigwedge_R(R^2)$ で、次数をコホモロジーの次数に合わせたものである。より一般に $n$ 次元トーラスについて $H^*(T^n;R)\cong\bigwedge_R(R^n)$（生成元は次数 $1$）である（Hat02 Example 3.13・Example 3.16）。
環準同型 $A\to B$ について、$B$ 上の $p$ 次微分形式の加群は $\Omega^p_{B/A}=\bigwedge^p_B\Omega_{B/A}$ と定義される（Kähler微分 の記事の定義「高次の微分形式とde Rham複体」）。$B=A[x_1,\dots,x_n]$ なら $\Omega_{B/A}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由 $B$ 加群なので（同記事の例「多項式環の Kähler 微分」）、thm-extalg-free により $\Omega^p_{B/A}$ は $dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_p}$（$i_1<\cdots< i_p$）を基底とする階数 $\binom np$ の自由 $B$ 加群である。スキームの上でも同じく $\Omega^p_X=\bigwedge^p\Omega^1_X$ とおき、正規交叉因子 の対数的微分形式などはこの形で扱われる。
直和と次数付きテンソル積
2 つの次数付き $R$ 代数 $A,B$ について、$R$ 加群 $A\otimes B$ に次数 $(A\otimes B)_k:=\bigoplus_{i+j=k}A_i\otimes B_j$ と、斉次元についての積
$$
(a\otimes b)(a'\otimes b'):=(-1)^{\lvert b\rvert\lvert a'\rvert}\,aa'\otimes bb'
$$
（$\lvert b\rvert$ は $b$ の次数）を入れたものを 次数付きテンソル積 といい、$A\mathbin{\hat\otimes}B$ と書く。
$M,N$ を有限階数の自由 $R$ 加群とする。$\Psi(a\otimes b):=a\wedge b$（$a\in\bigwedge(M)$、$b\in\bigwedge(N)$ を包含で $\bigwedge(M\oplus N)$ の元とみる）で定まる写像
$$
\textstyle\Psi\colon\bigwedge(M)\mathbin{\hat\otimes}\bigwedge(N)\to\bigwedge(M\oplus N)
$$
は、次数を保ち積を保つ全単射である。とくに $\bigwedge^k(M\oplus N)\cong\bigoplus_{i+j=k}\bigwedge^i(M)\otimes\bigwedge^j(N)$ である。
要点：$b$ と $a'$ を入れ替えるときの符号が次数付きテンソル積の符号に一致し、基底 $e_I\otimes f_J$ が基底 $e_I\wedge f_J$ に移る。
詳しい証明を開く
$\Psi$ は双線形写像 $(a,b)\mapsto\bigwedge(i_M)(a)\wedge\bigwedge(i_N)(b)$ から作る線形写像である。積：斉次元について、prop-extalg-basic の 3 で $b$ と $a'$ を入れ替えると
$$\Psi(a\otimes b)\wedge\Psi(a'\otimes b')=a\wedge b\wedge a'\wedge b'=(-1)^{\lvert b\rvert\lvert a'\rvert}\,a\wedge a'\wedge b\wedge b'=\Psi\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr)$$
である。全単射：$M,N$ の基底 $e_1,\dots,e_m$、$f_1,\dots,f_n$ をとると、$M\oplus N$ の基底 $e_1,\dots,e_m,f_1,\dots,f_n$ について、thm-extalg-free の基底は $e_I\wedge f_J$（$I\subset\{1,\dots,m\}$、$J\subset\{1,\dots,n\}$）である。一方 $e_I\otimes f_J$ は $\bigwedge(M)\otimes\bigwedge(N)$ の基底である（テンソル積 の記事の系「自由加群とのテンソル積」）。$\Psi$ は基底を基底に移すので全単射である。$\square$
$\Psi$ が積を保つ全単射なので、$\hat\otimes$ の積も結合的で、$\Psi$ は次数付き $R$ 代数の同型である。$m=n=1$ では $\bigwedge(R^2)\cong\bigwedge(R)\mathbin{\hat\otimes}\bigwedge(R)$ であり、$\bigwedge(R)=R\oplus R\,e$（$e\wedge e=0$）を $n$ 個並べた次数付きテンソル積が $\bigwedge(R^n)$ である（Nic26 (2.2.4a)、Hat02 Example 3.16）。符号 $(-1)^{\lvert b\rvert\lvert a'\rvert}$ は省けない。符号のない通常のテンソル積 $\bigwedge(K)\otimes\bigwedge(K)$ は可換な 2 つの環のテンソル積なので可換であるが、標数 $2$ でない体 $K$ 上の $\bigwedge(K^2)$ は $e_1\wedge e_2=-e_2\wedge e_1\ne e_2\wedge e_1$ なので可換でなく、両者は代数として同型でない。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 関係式 $x\wedge x=0$（$x\wedge y=-y\wedge x$ だけを課す） | $\mathbb{F}_2$ 上の $\mathbb{F}_2[e]$（$e$ の次数 $1$） | 次数 $1$ の元の 2 乗が $0$ |
| $\omega$ が分解可能 | $e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$（$\dim V=4$） | $\omega$ が部分空間を表す（prop-extalg-subspace） |
| 係数が体 | $R=\mathbb{Z}/4$、$v=2\in R=\bigwedge^1R$ | $v\ne0$ なら $v$ は 1 次独立（prop-extalg-independence） |
| 次数付きテンソル積の符号 | 符号なしの $\bigwedge(K)\otimes\bigwedge(K)$ | $\bigwedge(K^2)$ と代数として同型 |
| 外積の正規化の流儀 | A 方式と B 方式 | 同じ形式の外積が同じ値 |
4 行目は thm-extalg-direct-sum の直後の段落、5 行目は 微分形式 の記事の注意「反例：外積の 2 つの方式は同じ形式に異なる値を与える」で確かめた。3 行目：$2\cdot v=4=0$ で係数 $2\ne0$ なので $\{v\}$ は 1 次従属であるが、$v\ne0$ である。
$K=\mathbb{F}_2$、$M=Ke$（1 次元）とする。$T(M)$ を $x\otimes y+y\otimes x$（$x,y\in M$）で生成される両側イデアルで割った環を考える。$x=ae$、$y=be$ なら $x\otimes y+y\otimes x=2ab\,e\otimes e=0$ なので、このイデアルは $0$ であり、商は $T(M)$ そのもの、すなわち多項式環 $\mathbb{F}_2[e]$（$e$ の次数 $1$）である。この環は可換で、標数 $2$ では $(-1)^{de}=1$ なので次数付き可換でもあり、次数 $1$ の元は $xy=-yx$ を満たす。しかし $e\cdot e=e^2\ne0$ である。すなわち $\mathbb{F}_2[e]$ は「次数 $1$ の元が反可換」を満たすが「次数 $1$ の元の 2 乗が $0$」を満たさず、$\bigwedge(M)=K\oplus Ke$ とは異なる。thm-extalg-universal の 1 の仮定 $f(x)^2=0$ も満たされないので、包含 $M\to\mathbb{F}_2[e]$ は $\bigwedge(M)$ からの準同型に延びない。
$2$ が可逆な環では、$x\wedge y=-y\wedge x$ から $2\,x\wedge x=0$、したがって $x\wedge x=0$ が従うので、この違いは起きない。次数付き環 の記事の例「反例：次数付き可換だが可換でない環」（標数 $2$ でない体上の $\bigwedge(k^2)$）は、これとは逆に「次数付き可換だが可換でない」例である。
$V$ を体 $K$ 上の 4 次元ベクトル空間、$e_1,\dots,e_4$ をその基底とし、$\omega=e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$ とする。$v=\sum_ia_ie_i$ について
$$
v\wedge\omega=a_3\,e_1\wedge e_2\wedge e_3+a_4\,e_1\wedge e_2\wedge e_4+a_1\,e_1\wedge e_3\wedge e_4+a_2\,e_2\wedge e_3\wedge e_4
$$
なので、$v\wedge\omega=0$ なら $v=0$ である。もし $\omega=u\wedge w$ と分解できれば、$\omega\ne0$ より $u,w$ は 1 次独立で（prop-extalg-independence）、$u\wedge\omega=0$、$u\ne0$ となって矛盾する。よって $\omega$ は分解可能でなく、prop-extalg-subspace の対応でどの部分空間にも対応しない。標数が $2$ でなければ、$\omega\wedge\omega=2\,e_1\wedge e_2\wedge e_3\wedge e_4\ne0$ からも分かる（分解可能な $u\wedge w$ は $u\wedge w\wedge u\wedge w=0$ を満たす）。
一方、3 次元以下では $\bigwedge^2$ の元はすべて分解可能であり、これがベクトル積 $u\times v$ がどんなベクトルにもなりうることの代数的な理由である。
3 次元の場合の分解を開く
$\dim V=3$ で $\omega=a\,e_2\wedge e_3+b\,e_3\wedge e_1+c\,e_1\wedge e_2$、$c\ne0$ なら
$$\omega=c\,\Bigl(e_1-\frac ac\,e_3\Bigr)\wedge\Bigl(e_2-\frac bc\,e_3\Bigr)$$
である（右辺を展開すると確かめられる）。$a$ や $b$ が $0$ でない場合も添字を巡回的に入れ替えて同様であり、$\omega=0$ は $0\wedge0$ である。2 次元以下では $\bigwedge^2$ は $0$ か $1$ 次元で、$e_1\wedge e_2$ の定数倍である。
注意
- 「外積」の 2 つの意味：ベクトル積 $u\times v$ は $\mathbb{R}^3$ に内積と向きを入れて $\bigwedge^2\mathbb{R}^3\cong\mathbb{R}^3$ と同一視したときの $u\wedge v$ である（ex-extalg-r3）。$u\wedge v$ 自体は内積も向きも使わずに定まり、どの次元でも意味をもつ。
- 層への拡張：$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{E}$ についても $\bigwedge\mathcal{E}$ が定まり、$\mathcal{E}$ が階数 $r$ の局所自由層なら $\bigwedge^k\mathcal{E}$ は階数 $\binom rk$ の局所自由層、$\det\mathcal{E}:=\bigwedge^r\mathcal{E}$ は可逆層である（Stacks26 Tag 01CF、Tag 01CG、局所自由層 の記事の命題「局所自由層の構成で閉じること」）。
- $\bigwedge(M)$ は次数付き環の意味で次数付き可換であるが、次数が偶数の元どうしは可換、奇数の元どうしは反可換である。$\bigwedge^{\mathrm{even}}(M)=\bigoplus_k\bigwedge^{2k}(M)$ は可換な部分環である。
関連項目
参考文献
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