Kontsevich–Zagierの周期

$m$ についての帰納法による。$m=1$ では零点は高々 $\deg Q$ 個である。$m\ge2$ とし、$Q=\sum_{k=0}^dq_k(x')x_m^k$（$x'=(x_1,\dots,x_{m-1})$、$q_d\ne0$）と書く。$q_d(x')\ne0$ となる $x'$ では、切り口 $\{x_m\mid Q(x',x_m)=0\}$ は高々 $d$ 点で測度 $0$ である。$q_d(x')=0$ となる $x'$ の集合は、帰納法の仮定により $\mathbb{R}^{m-1}$ の測度 $0$ の集合である。よって零点集合の切り口は、測度 $0$ の集合に属する $x'$ を除いて測度 $0$ であり、Fubiniの定理 の記事の系「Euclid空間の零集合と切り口」により零点集合は測度 $0$ である。$\square$

$V-V\subset\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$．$A\subset\mathbb{R}^m$、$B\subset\mathbb{R}^{m'}$ を体積が有限の $\mathbb{Q}$ 半代数的集合とし、$m\le m'$ とする。$A\times[0,1]^{m'-m}$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で体積は $\operatorname{vol}(A)$ なので（Fubiniの定理）、$m=m'$ としてよい。$\mathbb{R}^{m+1}$ の中の集合
$$ \Delta:=\bigl(A\times[0,1]\bigr)\cup\bigl(B\times[2,3]\bigr) $$
は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、2 つの部分は交わらない。$f(x,y):=\frac32-y$ は $\int_0^1f\,dy=1$、$\int_2^3f\,dy=-1$ を満たし、$\Delta$ の上で $\lvert f\rvert\le\frac32$、$\operatorname{vol}(\Delta)<\infty$ なので積分は絶対収束する。Fubini の定理により $\int_\Delta f=\operatorname{vol}(A)-\operatorname{vol}(B)$ である。
$\mathcal{P}_{\mathbb{R}}\subset V-V$．$p=\int_\Delta f$、$f=P/Q$ とする。$P=0$ なら $p=0=\operatorname{vol}(\emptyset)-\operatorname{vol}(\emptyset)$ である。$P\ne0$ とし、
$$ \Delta_+:=\Delta\cap\{PQ>0\},\qquad\Delta_-:=\Delta\cap\{PQ<0\} $$
とおく。残りの $\Delta\cap\{PQ=0\}$ は lem-kz-null により測度 $0$ である。$\Delta_+$ の上では $Q\ne0$ で $f>0$、$\Delta_-$ の上では $f<0$ である。$\Delta_+$ の点では $Q(x)^2>0$ なので、$0\le z\le f(x)$ は $0\le z$ かつ $zQ(x)^2\le P(x)Q(x)$ と同値である。そこで
$$ S_\pm:=\bigl\{(x,z)\in\mathbb{R}^{m+1}\bigm|x\in\Delta_\pm,\ z\ge0,\ zQ(x)^2\le\pm P(x)Q(x)\bigr\} $$
とおくと、$S_\pm$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、$x\in\Delta_\pm$ での切り口は区間 $[0,\pm f(x)]$ である。非負関数についての Fubini の定理（Tonelli の定理）により $\operatorname{vol}(S_\pm)=\pm\int_{\Delta_\pm}f$ であり、これは絶対収束の仮定により有限である。よって $p=\int_{\Delta_+}f+\int_{\Delta_-}f=\operatorname{vol}(S_+)-\operatorname{vol}(S_-)\in V-V$ である。$\square$

$V$ は和と積で閉じる．$A,B$ を体積が有限の $\mathbb{Q}$ 半代数的集合とし、prf-kz-volumes と同じく次元をそろえる。$A\times[0,1]$ と $B\times[2,3]$ は交わらないので $\operatorname{vol}(A)+\operatorname{vol}(B)=\operatorname{vol}\bigl(A\times[0,1]\cup B\times[2,3]\bigr)\in V$ であり、Fubini の定理により $\operatorname{vol}(A)\operatorname{vol}(B)=\operatorname{vol}(A\times B)\in V$ である。$0=\operatorname{vol}(\emptyset)$、$1=\operatorname{vol}([0,1])$ も $V$ に入る。
$V-V$ は環．$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$、$(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$、$-(a-b)=b-a$ なので、$V-V$ は和・積・符号の反転で閉じ、$0,1$ を含む。thm-kz-volumes により $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}=V-V$ は $\mathbb{R}$ の部分環である。
実代数的数．$\alpha>0$ を実代数的数、$M\in\mathbb{Q}[x]$ をその最小多項式とする。$M$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で標数 $0$ なので重根をもたず、$M(x)=(x-\alpha)g(x)$、$g(\alpha)\ne0$ と書ける。有理数 $a,b$ を $0\le a<\alpha< b$ かつ $[a,b]$ が $M$ の他の根を含まないようにとると、$g$ は $[a,b]$ で符号が一定なので、$M$ は $[a,\alpha)$ で $M(a)$ と同じ符号、$(\alpha,b]$ で逆の符号をもつ。よって
$$ [0,\alpha]=[0,a]\cup\{x\mid a\le x\le b,\ M(a)M(x)\ge0\} $$
は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、$\alpha=\operatorname{vol}([0,\alpha])\in V$ である。負の実代数的数は $0-\lvert\alpha\rvert\in V-V$ である。複素代数的数 $z$ の実部 $\frac{z+\bar z}2$ と虚部 $\frac{z-\bar z}{2i}$ は実代数的数なので $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathcal{P}$ である。
$\mathcal{P}$ は環．$p=a+ib$、$q=c+id$（$a,b,c,d\in\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$）について $p+q=(a+c)+i(b+d)$、$pq=(ac-bd)+i(ad+bc)$ で、実部と虚部は 1 により $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ に入る。
可算性．実周期は、自然数 $m$、有理数係数の多項式 $P,Q$、および $\Delta$ を作る有限個の有理数係数の多項式と和・共通部分・補集合の有限の手順という、有限個の有理数で書けるデータで決まる。そのようなデータの全体は可算なので $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ は可算で、$\mathcal{P}$ も可算である。$\mathbb{C}$ は非可算なので、周期でない複素数は非可算個ある。$\square$

被積分関数は $\Delta_n$ の上で正なので、絶対収束は積分が有限であることと同じであり、Tonelli の定理により内側から順に積分してよい。$0\le t<1$ で $\frac1{1-t}=\sum_{k\ge0}t^k$ は非負の項の級数なので、単調収束定理 により項ごとに積分できて
$$ \int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}=\sum_{m\ge1}\frac{t_2^m}m $$
である。次に $\frac1{t_2}$ を掛けて $0$ から $t_3$ まで積分すると、やはり項ごとに $\sum_{m\ge1}\frac{t_3^m}{m^2}$ を得る。これを $t_n$ まで繰り返すと、$\int_0^{t_n}\cdots\,\frac{dt_{n-1}}{t_{n-1}}=\sum_{m\ge1}\frac{t_n^m}{m^{n-1}}$ となり、最後に $\frac1{t_n}$ を掛けて $0$ から $1$ まで積分すると
$$ \int_0^1\sum_{m\ge1}\frac{t_n^{m-1}}{m^{n-1}}\,dt_n=\sum_{m\ge1}\frac1{m^n}=\zeta(n)<\infty $$
である。$\Delta_n$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、被積分関数は有理数係数の有理関数なので、$\zeta(n)$ は実周期である。$\square$