Theta関数

$K\subset\mathbb C\times\mathbb H$ をコンパクト集合とする。ある $\delta>0$ と $M>0$ が存在し、$(z,\tau)\in K$ なら
$$ \operatorname{Im}\tau\geq\delta, \qquad |\operatorname{Im}z|\leq M $$
である。このとき各項に対して
$$ \left|e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z}\right| =e^{-\pi n^2\operatorname{Im}\tau-2\pi n\operatorname{Im}z} \leq e^{-\pi\delta n^2+2\pi M|n|} $$
が成り立つ。右辺の $\mathbb Z$ 上の和は収束する。実際、$|n|\geq 4M/\delta$ なら
$$ -\pi\delta n^2+2\pi M|n| \leq-\frac{\pi\delta}{2}n^2 $$
であるから、収束はガウス型級数との比較から従う。WeierstrassのM判定法により局所一様絶対収束が従う。各項は $(z,\tau)$ の正則関数であるから、正則関数列の局所一様極限として $\vartheta$ も正則である。

絶対収束するため和の添字を変更できる。$m=-n$ とおけば
$$ \begin{aligned} \vartheta(-z;\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{\pi i n^2\tau-2\pi i n z}\\ &=\sum_{m\in\mathbb Z}e^{\pi i m^2\tau+2\pi i m z} =\vartheta(z;\tau) \end{aligned} $$
である。

$a\in\mathbb Z$ に対して $e^{2\pi i n a}=1$ であるから、$z$ に $a$ を加えても級数の各項は変わらない。したがって $a=0$ の場合を示せばよい。
$$ \begin{aligned} \vartheta(z+b\tau;\tau) &=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i(n^2+2bn)\tau+2\pi i n z}\\ &=e^{-\pi i b^2\tau-2\pi i b z} \sum_{n\in\mathbb Z} e^{\pi i(n+b)^2\tau+2\pi i(n+b)z}. \end{aligned} $$
$m=n+b$ と置き換えると、$n$ が $\mathbb Z$ 全体を動くとき $m$ も $\mathbb Z$ 全体を動く。よって最後の和は $\vartheta(z;\tau)$ である。

収束の証明と同じガウス型の評価に $|n|^2$ を掛けても和は局所一様収束する。したがって項別微分できる。各項について
$$ \frac{\partial}{\partial\tau} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\pi i n^2e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} $$
であり、一方
$$ \frac{1}{4\pi i}\frac{\partial^2}{\partial z^2} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\frac{(2\pi i n)^2}{4\pi i} e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} =\pi i n^2e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z} $$
である。項ごとに両辺が一致するから、和を取っても一致する。

1：$|\operatorname{Im}z|\leq M$ なら $|q^{2m-1}e^{\pm2\pi iz}|\leq|q|^{2m-1}e^{2\pi M}$ であり、$\sum_m|q|^{2m-1}<\infty$ だから、各因子の $1$ からのずれの和はコンパクト集合上で一様に収束する。したがって積は一様に絶対収束し、正則な因子の積の局所一様極限として整関数になる。
2：$e^{2\pi i(z+1)}=e^{2\pi iz}$ から第一式は明らかである。$x:=e^{2\pi iz}$ とおくと、$z\mapsto z+\tau$ で $x\mapsto q^2x$ となる。$\prod_m(1-q^{2m})$ は変わらず、
$$ \prod_{m\geq1}(1+q^{2m-1}q^2x)=\prod_{m\geq2}(1+q^{2m-1}x)=\frac{\prod_{m\geq1}(1+q^{2m-1}x)}{1+qx}, $$
$$ \prod_{m\geq1}(1+q^{2m-1}q^{-2}x^{-1})=(1+q^{-1}x^{-1})\prod_{m\geq1}(1+q^{2m-1}x^{-1}) $$
である（無限積は絶対収束するので因子を並べ替えてよい）。よって比は
$$ \frac{1+q^{-1}x^{-1}}{1+qx}=\frac{q^{-1}x^{-1}(qx+1)}{1+qx}=q^{-1}x^{-1}=e^{-\pi i\tau-2\pi iz} $$
である（$1+qx=0$ となる $z$ では両辺を連続性で比べる）。
3：$|q|<1$ だから $1-q^{2m}$ は $0$ にならない。零点は
$$ 1+q^{2m-1}e^{2\pi i z}=0 \quad\text{または}\quad 1+q^{2m-1}e^{-2\pi i z}=0 $$
を満たす点から生じる。最初の式は、ある $a\in\mathbb Z$ に対して
$$ z=\frac12-\left(m-\frac12\right)\tau+a=\frac{1+\tau}{2}+a-m\tau $$
と同値であり、2つ目の式は
$$ z=\frac12+\left(m-\frac12\right)\tau+a=\frac{1+\tau}{2}+a+(m-1)\tau $$
と同値である。$m\geq1$、$a\in\mathbb Z$ を動かすと、二つの族を合わせてちょうど $\frac{1+\tau}{2}+\mathbb Z+\mathbb Z\tau$ の各点が一度ずつ現れる（$b:=-m\leq-1$ と $b:=m-1\geq0$ で $\mathbb Z\tau$ の係数 $b$ を重複なく尽くす）。
単純性を $z_0=(1+\tau)/2$ で確かめる。この点では $m=1$ の因子 $1+qe^{-2\pi iz}$ が $0$ になり、その $z$ に関する微分 $-2\pi iqe^{-2\pi iz}$ は $z_0$ で $2\pi i\neq0$ になる。上の数え上げから、$z_0$ で $0$ になる因子はこれ一つだけである。残りの因子の積は $z_0$ の近傍で一様に収束し、零にならない因子の積だから $z_0$ で $0$ でない。したがって $z_0$ は単純零点である。ほかの零点は $z_0$ に格子の元を加えた点であり、2 の準周期性の倍率は $0$ にならないので、単純性はそのまま移る。$\square$

段 1（比は $z$ によらない）。 $\tau$ を固定し、$F(z):=\vartheta(z;\tau)/\Pi(z;\tau)$ とおく。$F$ は $\Pi$ の零点以外で正則である。thm-theta-quasiperiodicity と lem-theta-product-properties の 2 により、分子と分母は $z\mapsto z+1$ と $z\mapsto z+\tau$ で同じ因子倍されるので、$F$ は $1$ と $\tau$ を周期にもつ。$\Pi$ の零点は $z_0=(1+\tau)/2$ に格子の元を加えた点で、すべて単純である。一方 $\vartheta(z_0;\tau)=0$ である（ex-theta-half-period-zero）。準周期性の倍率は $0$ にならないので、$\vartheta$ は $\Pi$ のすべての零点で $0$ になる。したがって $F$ の分母の単純零点は分子の零点で打ち消され、$F$ はその近傍で有界になり、除去可能特異点として整関数に延びる。$F$ は二重周期的な整関数だから、周期平行四辺形の閉包（コンパクト）の上で有界であり、周期性により $\mathbb C$ 全体で有界である。Liouvilleの定理(複素解析) の記事の定理「Liouville の定理」により $F$ は定数である。この定数を $c(\tau)$ と書く。
段 2（$c(\tau)=c(4\tau)$）。 $z=\frac14$ と $z=\frac12$ はどちらも $\frac{1+\tau}{2}+\mathbb Z+\mathbb Z\tau$ に属さない（$\tau$ の係数が半整数にならない）ので、$\Pi$ はそこで $0$ でない。級数の側では $e^{2\pi in/4}=i^n$ だから
$$ \vartheta\!\left(\tfrac14;\tau\right)=\sum_{n\in\mathbb Z}i^nq^{n^2} =\sum_{k\in\mathbb Z}(-1)^kq^{4k^2} =\vartheta\!\left(\tfrac12;4\tau\right) $$
である。奇数の $n$ では $n$ と $-n$ の項が $i^n+i^{-n}=0$ で打ち消し合い、偶数 $n=2k$ では $i^{2k}=(-1)^k$ となるからである。$4\tau$ に対する $q$ は $q^4$ である。
積の側では、$m$ ごとに $(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})=1+q^{4m-2}$ だから
$$ \Pi\!\left(\tfrac14;\tau\right)=\prod_{m\geq1}(1-q^{2m})(1+q^{4m-2}). $$
$\prod_m(1-q^{2m})$ を $m$ の偶奇に分けると $\prod_m(1-q^{4m})(1-q^{4m-2})$ であり、$(1-q^{4m-2})(1+q^{4m-2})=1-q^{8m-4}$ だから
$$ \Pi\!\left(\tfrac14;\tau\right)=\prod_{m\geq1}(1-q^{4m})(1-q^{8m-4}). $$
さらに $\prod_m(1-q^{4m})=\prod_m(1-q^{8m})(1-q^{8m-4})$ だから
$$ \Pi\!\left(\tfrac14;\tau\right)=\prod_{m\geq1}(1-q^{8m})(1-q^{8m-4})^2=\Pi\!\left(\tfrac12;4\tau\right) $$
である。最後の等号は、$q$ を $q^4$ に替え $e^{\pm2\pi i\cdot\frac12}=-1$ とした定義式そのものである。以上より
$$ c(\tau)=\frac{\vartheta(\frac14;\tau)}{\Pi(\frac14;\tau)}=\frac{\vartheta(\frac12;4\tau)}{\Pi(\frac12;4\tau)}=c(4\tau). $$
段 3（$c\equiv1$）。 段 2 を繰り返すと $c(\tau)=c(4^k\tau)$ である。$Q_k:=e^{\pi i4^k\tau}$ とおくと $|Q_k|=|q|^{4^k}\to0$ である。$|Q_k|\leq\frac12$ なら
$$ \left|\vartheta\!\left(\tfrac12;4^k\tau\right)-1\right|\leq2\sum_{n\geq1}|Q_k|^{n^2}\leq\frac{2|Q_k|}{1-|Q_k|}\to0, $$
また $\Pi(\frac12;4^k\tau)=\prod_m(1-Q_k^{2m})(1-Q_k^{2m-1})^2$ の因子の $1$ からのずれの和 $s_k$ は $\sum_{j\geq1}3|Q_k|^j$ 以下で $0$ に収束し、$\left|\prod_m(1+a_m)-1\right|\leq e^{\sum_m|a_m|}-1$ から $|\Pi(\frac12;4^k\tau)-1|\leq e^{s_k}-1\to0$ である。よって $c(\tau)=\lim_{k\to\infty}c(4^k\tau)=1$ である。$\square$

thm-jacobi-triple-product により $\vartheta(\cdot;\tau)=\Pi(\cdot;\tau)$ であり、$\Pi$ の零点と重複度は lem-theta-product-properties の 3 で決定した。$\square$

$z=(1+\tau)/2$ を代入した級数の $n$ 番目は
$$ e^{\pi i n^2\tau+\pi i n(1+\tau)} =(-1)^n e^{\pi i(n^2+n)\tau} $$
である。$-n-1$ 番目は
$$ (-1)^{-n-1}e^{\pi i((-n-1)^2+(-n-1))\tau} =-(-1)^n e^{\pi i(n^2+n)\tau} $$
であり、両者の和は0である。整数全体は $n\leftrightarrow -n-1$ という2元軌道に分解され、級数は絶対収束するから、項を2つずつ組にして足すことができる。よって全体の和は0である。$\square$