Arens–Fort空間

同義語：Arens–Fort space

概要

前提知識: 位相空間, 閉包, 分離公理, コンパクト空間, 第1可算公理

Arens–Fort 空間（Arens–Fort space）とは、非負整数の組の全体 $\mathbb{Z}_{\ge 0}\times\mathbb{Z}_{\ge 0}$ に、原点 $o=(0,0)$ 以外の点をすべて孤立点とし、$o$ の近傍を「有限個を除くすべての列で、有限個を除くすべての点を含む集合」と定めた位相空間である。可算で Hausdorff、さらに完全正規で開かつ閉な集合からなる開基をもつという、分離の面ではきわめてよい空間でありながら、$o$ に収束する自明でない点列が一本もない。そのため $o$ は $o$ 以外の点全体の閉包に入るのに、その点列の極限にはならない。可算な空間でも第1可算・列型とは限らないこと、可算な正則空間でも距離化できるとは限らないことを示す標準的な例である。
以下、$\mathbb{Z}_{\ge 0}=\{0,1,2,\dots\}$ とし、$m\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$ について $C_m:=\{(m,n)\mid n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\}$ を第 $m$ 列と呼ぶ。原点 $o$ は第 $0$ 列に属する。

定義

Arens–Fort 空間

$X=\mathbb{Z}_{\ge 0}\times\mathbb{Z}_{\ge 0}$、$o=(0,0)$ とする。部分集合 $U\subset X$ が開であるとは、次のどちらかが成り立つことをいう。

$o\notin U$ である。
$o\in U$ であり、有限個を除くすべての $m$ について $C_m\setminus U$ が有限集合である。
この位相空間 $X$ を Arens–Fort 空間という。

これが位相であることを確かめる。$\emptyset$ と $X$ は開である。開集合の族の合併が $o$ を含めば、$o$ を含む元 $U$ が一つあり、合併の各列での補集合は $U$ の補集合に含まれるので条件 2 が成り立つ。二つの開集合の共通部分が $o$ を含めば、両方が $o$ を含み、それぞれの例外の列を合わせた有限個の列を除いて、各列での補集合は二つの有限集合の和で有限である。
$o$ の開近傍 $U$ は、条件 2 により無限個の列でそれぞれ無限個の点を含む。とくに $o$ は孤立点でない。一方 $q\neq o$ については $\{q\}$ が開集合である。

直感

$o$ に近づくには「たくさんの列で、たくさんの点」を同時に使わなければならない。一つの列に沿って縦に進んでも、各列から一点ずつ横に進んでも、$o$ には近づけない。どちらの点列についても、その点列を避ける $o$ の近傍があるからである。ところが点列はどれも「縦に進む部分」か「横に進む部分」をもつので、どの点列も $o$ に近づけない。それでも、偶数番目の列を全部含む集合のように十分に「厚い」集合は、その閉包に $o$ を含む。

基本の計算

閉包の式と閉集合

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$o\notin A$ のとき、$o\in\overline A$ であることと、$A\cap C_m$ が無限集合となる $m$ が無限個あることは同値である。
任意の $A\subset X$ について $\overline A$ は $A$ か $A\cup\{o\}$ である。
$o$ を含む集合はすべて閉集合である。とくに $o$ の開近傍はすべて開かつ閉である。
$q\neq o$ について $\{q\}$ は開かつ閉である。

$A\cap C_m$ が無限となる $m$ が有限個なら、$U=X\setminus A$ は $o$ を含み、その有限個を除く各列で $C_m\setminus U=A\cap C_m$ が有限なので開集合であり、$A$ と交わらない。よって $o\notin\overline A$ である。逆にそのような $m$ が無限個あれば、$o$ の開近傍 $U$ は有限個を除く列で有限個の点しか除かないので、そのうち $A\cap C_m$ が無限な列 $m$ を一つとれば $U\cap A\cap C_m\neq\emptyset$ である。
$q\neq o$ は孤立点なので、$q\notin A$ なら近傍 $\{q\}$ が $A$ と交わらず $q\notin\overline A$ である。よって $\overline A\subset A\cup\{o\}$ である。
$o\in F$ なら補集合は $o$ を含まないので開である。
$\{q\}$ は $o$ を含まないので開であり、補集合は $o$ を含み、各列から高々一点しか除かないので開である。$\square$

閉包に $o$ が入る集合と入らない集合

一つの列 $C_1$ は閉集合である（$A\cap C_m$ が無限な $m$ は $m=1$ だけ）。
対角線 $\{(m,m)\mid m\ge1\}$ のように各列から一点ずつとった無限集合も閉集合である。
偶数番目の列から $o$ を除いた $S_0=\{(m,n)\mid m\ \text{は偶数}\}\setminus\{o\}$ は、無限個の列で無限個の点をもつので $\overline{S_0}=S_0\cup\{o\}$ である。
$A=X\setminus\{o\}$ について $\overline A=X$ である。
単に無限集合であることは $o$ を閉包に加える条件ではない。この点で、同じ集合の上の Fort 空間（Fort空間。$o$ を含む開集合は補集合が有限なものに限る）の閉包の式「無限集合の閉包は $o$ を含む」とは異なる。

分離公理

分離公理の名前は分離公理の記事に従う（$T_5$ は遺伝正規、$T_6$ は完全正規な $T_1$ 空間）。

分離公理の成否

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$X$ の位相は、同じ集合 $X$ に特定点 $o$ の Fort 位相（$o$ を含まない集合と、補集合が有限な集合を開とする位相）を入れたものより細かい。
$X$ は $T_1$ であり Hausdorff である。
$X$ は正則である。さらに閉集合と、それに属さない点は、値 $0$ と $1$ をとる連続関数で分けられる。
$X$ は遺伝正規であり、$T_5$ 空間である。
$X$ のすべての部分集合は $G_\delta$ 集合である。とくに $X$ は完全正規であり、$T_6$ 空間である。

Fort 位相の開集合で $o$ を含むものは補集合が有限なので、各列での補集合も有限であり、def-af の条件 2 をみたす。
prop-af-closure の 3・4 により一点集合はすべて閉なので $T_1$ である。相異なる二点の少なくとも一方 $q$ は $o$ と異なり、$\{q\}$ と $X\setminus\{q\}$ が二点を分ける互いに素な開集合である。
閉集合 $F$ と点 $x\notin F$ をとる。$x\neq o$ なら $\{x\}$ が開かつ閉で $F$ と交わらない。$x=o$ なら $o\notin F$ なので $F$ は開であり、$F$ は閉でもあるから $X\setminus F$ が開かつ閉で $x$ を含み $F$ と交わらない。どちらの場合も $x$ を含む開かつ閉な集合 $W$ で $F$ と交わらないものがあり、$W$ と $X\setminus W$ で分けられる。$W$ の特性関数が求める連続関数である。
分離された二集合 $A,B$（$\overline A\cap B=A\cap\overline B=\emptyset$）をとる。$o\notin A\cup B$ なら $A,B$ 自身が互いに素な開集合である。$o\in A$ なら $o\notin\overline B$ なので prop-af-closure の 2 から $\overline B=B$ であり、$B$ は $o$ を含まないので開でもある。よって $X\setminus B\supset A$ と $B$ が互いに素な開集合である。$o\in B$ のときも同様である。$T_1$ と合わせて $T_5$ である。
$X$ は可算で、2 により一点集合は閉である。任意の $F\subset X$ について $X\setminus F$ は可算個の閉な一点集合の合併なので、$F=\bigcap_{q\notin F}(X\setminus\{q\})$ は可算個の開集合の共通部分である。4 により正規性条件もみたすので完全正規である。$\square$

5 の前半の議論（すべての部分集合が $G_\delta$ 集合であること）は、可算な $T_1$ 空間ならどれにも通用する。分離の性質がこれほどよいにもかかわらず、次節で見るように $X$ は距離化可能でない。Urysohnの距離化定理は第2可算な正則 $T_1$ 空間を距離化するが、$X$ は可算でも第2可算でない。

点列と可算性

自明でない収束点列がないこと

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$X$ の点列 $(x_j)$ が $o$ に収束することと、有限個を除くすべての $j$ で $x_j=o$ であることは同値である。
$X$ は $o$ で可算な基本近傍系をもたない。とくに $X$ は第1可算公理をみたさず、第2可算公理もみたさない。
$A=X\setminus\{o\}$ は点列閉（$A$ の点列が収束すればその極限は $A$ に属する）だが閉でない。とくに $X$ は列型空間でない。

有限個を除いて $x_j=o$ なら $o$ に収束する。逆に $x_j\neq o$ となる $j$ が無限個あれば、それらの項からなる部分列 $(y_k)$ は（$x_j\to o$ なら）$o$ に収束するはずである。$(y_k)$ の値が有限個の列 $C_{m_1},\dots,C_{m_r}$ にしか現れなければ、$U=\{o\}\cup\bigl(X\setminus(C_{m_1}\cup\dots\cup C_{m_r})\bigr)$ は $o$ の開近傍で、どの $y_k$ も含まない。無限個の列に現れるなら、添字を増やしながら、それまでに選んだ項と異なる列にある項を順に選んで、相異なる列にある項からなる部分列 $(z_l)$ をとれる。$D=\{z_l\}$ は各列と高々一点で交わるので、$X\setminus D$ は $o$ の開近傍で、どの $z_l$ も含まない。どちらの場合も $o$ に収束しない部分列があり、$(x_j)$ は $o$ に収束しない。
$o$ の開近傍の列 $U_1,U_2,\dots$ が基本近傍系をなすとする。$W_j=U_1\cap\dots\cap U_j$ は $o$ の開近傍であり、無限集合なので $x_j\in W_j\setminus\{o\}$ をとれる。$o$ の任意の近傍 $O$ はある $U_i$ を含み、$j\ge i$ なら $x_j\in W_j\subset U_i\subset O$ なので $x_j\to o$ となり、1 に反する。第2可算なら、$o$ を含む開基の元の全体が可算な基本近傍系になるので、第2可算でもない。
$A$ の点列が収束するとき、1 によりその極限は $o$ でない（項はどれも $o$ でない）ので $A$ に属する。一方 ex-af-closure の 4 により $\overline A=X\neq A$ である。$\square$

可算性と被覆の性質

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$X$ は可算集合であり、可分空間であり、Lindelöf空間であり、$\sigma$-コンパクトである。
$X$ に離散位相を入れた空間から $X$ への恒等写像は連続な全単射であり、定義域は第1可算かつ第2可算だが、値域はどちらでもない。
$X$ はパラコンパクト空間である。実際、任意の開被覆は「$o$ を含む一つの元と一点集合」からなる局所有限な開細分をもつ。

$(m,n)\mapsto 2^m3^n$ は $X$ から $\mathbb{N}$ への単射なので $X$ は可算である。$X$ 自身が可算な稠密集合である。開被覆から各点を含む元を一つずつ選べば可算な部分被覆になる。有限集合はコンパクトなので、一点集合の可算個の合併として $\sigma$-コンパクトである。
離散空間ではすべての部分集合が開なので恒等写像は連続である。離散空間 $X$ では一点集合の全体が可算な開基である。値域については thm-af-sequence の 2 による。
開被覆 $\mathcal{G}$ から $o$ を含む元 $U$ を一つ選び、$\mathcal{V}=\{U\}\cup\{\{x\}\mid x\notin U\}$ とおく。各 $\{x\}$ は $\mathcal{G}$ の $x$ を含む元に含まれるので $\mathcal{V}$ は開細分である。$y\in U$ の近傍 $U$ は $\mathcal{V}$ の元のうち $U$ としか交わらず、$y\notin U$ の近傍 $\{y\}$ は $\{y\}$ としか交わらないので、$\mathcal{V}$ は局所有限である。$\square$

2 は、連続な全射が第1可算性や第2可算性を保つとは限らないことを示す。連続な開写像の全射なら、近傍基の像が近傍基になるので第1可算性は保たれる。この恒等写像は開写像でない。
列型空間の記事の注意「列型だがFréchet–Urysohnでない例」に出てくる Arens の空間は、可算個の収束列を貼り合わせた列型空間であり、本記事の空間とは異なる。本記事の空間は列型でさえない（thm-af-sequence の 3）。

コンパクト性

コンパクト部分集合は有限集合に限る

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$K\subset X$ がコンパクトであることと、$K$ が有限集合であることは同値である。
$o$ はコンパクト近傍をもたない。とくに $X$ は局所コンパクト空間でもコンパクトでもない。
$X$ は可算コンパクト空間でない。
$X$ 上の非有界な連続関数がある。とくに $X$ は擬コンパクト空間でない。

有限集合はコンパクトである。$K$ を無限集合とし、$o$ と異なる点からなる無限集合 $D\subset K$ で閉なものを作る。$K\setminus\{o\}$ が無限個の点をもつ列 $C_m$ があれば、$D=(K\setminus\{o\})\cap C_m$ とする。そうでなければ $K\setminus\{o\}$ は無限個の列と交わるので、そのような列から一点ずつ選んで $D$ とする。どちらの場合も $D\cap C_{m'}$ が無限な $m'$ は高々一つなので、prop-af-closure の 1・2 により $\overline D=D$ である。$K$ がコンパクトなら閉部分集合 $D$ もコンパクトだが、$D$ の点はすべて孤立点なので一点集合による $D$ の被覆は有限部分被覆をもたず、矛盾する。
$o$ の近傍は開近傍を含むので無限集合であり、1 によりコンパクトでない。$X$ 自身も $o$ の近傍なのでコンパクトでない。
1 の証明の $D$ を $X$ の中で可算無限にとる（たとえば $D=C_1$）。$\{X\setminus D\}\cup\{\{d\}\mid d\in D\}$ は可算な開被覆だが、有限部分被覆をもたない。
$f(1,n)=n$、$C_1$ の外では $f=0$ と定める。$C_1$ は $o$ を含まないので開であり、$X\setminus C_1$ は $o$ を含み列 $C_1$ 以外の列を丸ごと含むので開である。実数の開集合 $V$ の逆像は、$0\notin V$ なら $C_1$ の部分集合、$0\in V$ なら $X\setminus C_1$ と $C_1$ の部分集合の合併で、どちらも開である。よって $f$ は連続で非有界である。$\square$

1 と thm-af-sequence の 3 から、$X$ はコンパクト生成空間の意味の $k$-空間でもない。実際、試験写像 $u\colon K\to X$ の像はコンパクトなので有限集合であり、一点集合は閉なので、任意の $A\subset X$ について $u^{-1}(A)$ は有限個の閉集合 $u^{-1}(x)$（$x\in A\cap u(K)$）の合併で閉である。よってすべての部分集合が $k$-閉だが、$X\setminus\{o\}$ は閉でない。

連結性と次元

空でない位相空間 $X$ が散在的（scattered）であるとは、空でない部分集合がどれも（相対位相で）孤立点をもつことをいう。$X$ が極端不連結（extremally disconnected）であるとは、開集合の閉包がつねに開集合であることをいう。

連結性・零次元性・Baire 性

$X$ を Arens–Fort 空間とする。

$X$ は開かつ閉な集合からなる開基をもつ。とくに零次元空間であり、異なる二点は開かつ閉な集合で分けられる（完全分離である）。
$X$ は完全不連結空間であり、連結でない。$o$ の近傍はどれも連結でなく、$X$ は局所連結空間でない。
$X$ は散在的である。
$X$ は Baire 空間であり、自分自身の第2類集合である。
$X$ は極端不連結でない。実際、ex-af-closure の 3 の開集合 $S_0$ の閉包 $S_0\cup\{o\}$ は開集合でない。

prop-af-closure の 3・4 により、$o$ の開近傍と一点集合 $\{q\}$（$q\neq o$）はすべて開かつ閉であり、それらが開基をなす。$X$ は $T_1$ である。異なる二点の一方 $q$ は $o$ と異なり、$\{q\}$ が二点を分ける。
1 と完全不連結空間の命題「開閉集合で二点を分ける十分条件」による。$o$ の近傍 $W$ は $o$ と異なる点 $q$ を含み、$W\cap\{q\}$ と $W\setminus\{q\}$ が $W$ を分ける。
空でない $Y\subset X$ が $q\neq o$ を含めば $\{q\}$ が開なので $q$ は $Y$ の孤立点であり、そうでなければ $Y=\{o\}$ で $o$ が孤立点である。
稠密な集合は開な一点集合 $\{q\}$（$q\neq o$）とすべて交わるので $X\setminus\{o\}$ を含む。よって稠密な開集合の可算個の共通部分も $X\setminus\{o\}$ を含み、ex-af-closure の 4 により稠密である。空でない空間が Baire 空間なら、自分自身の第2類集合である（Baireのカテゴリー定理の命題「Baire 性の言い換え」の 3）。
$S_0$ は $o$ を含まないので開であり、ex-af-closure の 3 により $\overline{S_0}=S_0\cup\{o\}$ である。この集合は奇数番目の列と交わらないので、無限個の列 $C_m$ で $C_m\setminus\overline{S_0}=C_m$ が無限集合になり、$o$ を含むのに def-af の条件 2 をみたさない。よって開でない。$\square$

5 で閉包をとる集合を、$o$ を含む $S=\{(m,n)\mid m\ \text{は偶数}\}$ にすると、$S$ は prop-af-closure の 3 により閉で $\overline S=S$ となるが、$S$ 自身が開でないので極端不連結性の反例にはならない。開集合の閉包を調べるには、$o$ を除いた $S_0$ をとる必要がある。

Fort 空間との比較

同じ集合 $X$ と点 $o$ から作る二つの位相を比べる。Fort 位相（Fort空間）では $o$ を含む開集合は補集合が有限なものに限られ、Arens–Fort 空間の位相はそれより細かい（thm-af-separation の 1）。

可算 Fort 空間と Arens–Fort 空間

性質	可算 Fort 空間	Arens–Fort 空間
$o$ の近傍	補集合が有限な集合	有限個を除く列で補集合が有限な集合
無限集合 $A\not\ni o$ の閉包	$A\cup\{o\}$	$A$ か $A\cup\{o\}$（prop-af-closure の 1）
コンパクト	である	でない
コンパクト部分集合	すべての閉集合	有限集合だけ
$o$ に収束する単射な点列	すべての単射な点列	ない
第1可算・距離化可能	である	でない
完全正規・零次元	である	である

可算 Fort 空間の列は Fort空間の記事の命題による（可算 Fort 空間は収束点列 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}\subset\mathbb{R}$ と同相である）。位相を細かくすると開被覆が増えるのでコンパクト性は失われやすく、$o$ の近傍が小さくなるので点列は $o$ に収束しにくくなる。Arens–Fort 空間では後者が極端に進み、収束点列が定値なものしか残らない。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
第1可算性	Arens–Fort 空間と $A=X\setminus\{o\}$	閉包の点は $A$ の点列の極限である
列型性	Arens–Fort 空間と $A=X\setminus\{o\}$	点列閉集合は閉集合である
第2可算性	Arens–Fort 空間	正則な $T_1$ 空間は距離化可能である
開写像であること	離散空間 $X$ から Arens–Fort 空間への恒等写像	連続な全射は第1可算性を保つ

1 行目は thm-af-sequence の 1 と ex-af-closure の 4（第1可算空間の定理「閉包の点列による判定」と比べる）、2 行目は thm-af-sequence の 3、3 行目は thm-af-separation の 2・3 と thm-af-sequence の 2（距離空間は第1可算である）、4 行目は prop-af-countability の 2 による。どの行の空間も、外した条件以外の仮定（Hausdorff、正則、可算など）はみたしている。