Zornの補題

$P$ を帰納的順序集合とする。
段階1：極大元がないと仮定し、鎖を延長する規則を作る。
$P$ に極大元がないと仮定する。鎖 $C\subset P$ に対し、その上界全体を
$$ U(C):=\{u\in P\mid (\forall x\in C)\ x\leq u\} $$
とおく。帰納性により $U(C)\neq\emptyset$ である。さらに $u\in U(C)$ は極大元でないため、$u< v$ を満たす $v\in P$ が存在する。したがって
$$ E(C):=\{v\in P\mid (\forall x\in C)\ x< v\} $$
も空でない。
ここで 選択公理 を一度用いる。鎖 $C$ ごとの空でない集合 $E(C)$ から元を一つずつ選ぶ 選択関数 を取り、その値を $e(C)\in E(C)$ と書く。この一斉選択が証明中で選択公理を使う箇所である。
段階2：集合 $P$ より長い整列した上昇列を想定する。
Hartogsの補題により、$P$ へ単射できない順序数 $\theta$ が存在する。この補題は選択公理を使わずに示せる。実際、$P$ の部分集合に入る整列順序の順序型全体は集合をなし、その上限より大きい順序数を $\theta$ とすれば、$\theta$ から $P$ への単射は $P$ の部分集合に順序型 $\theta$ の整列順序を移して矛盾を与える。
段階3：超限再帰で真に増加する列を作る。
$\alpha<\theta$ に対して、すでに $x_\beta$（$\beta<\alpha$）が定まったとき
$$ C_\alpha:=\{x_\beta\mid \beta<\alpha\},\qquad x_\alpha:=e(C_\alpha) $$
と定める。超限帰納法により各 $C_\alpha$ は鎖である。実際、$C_0=\emptyset$ は鎖であり、帰納法の仮定のもとで $x_\alpha\in E(C_\alpha)$ だから、すべての $\beta<\alpha$ について $x_\beta< x_\alpha$ である。従って後続段階でも極限段階でも、それまでに得た元は添字の順に比較可能である。
段階4：極大元がないという仮定と矛盾させる。
$\beta<\alpha<\theta$ なら $x_\beta< x_\alpha$ なので $x_\beta\neq x_\alpha$ である。従って $\alpha\mapsto x_\alpha$ は $\theta$ から $P$ への単射になるが、これは $\theta$ の取り方に反する。ゆえに $P$ には極大元が存在する。$\square$