エルミート計量

前提知識: ベクトル束, 概複素構造, リーマン多様体, 内積空間

エルミート計量（Hermitian metric、Hermite 計量）とは、複素ベクトル束の各ファイバーに正定値の Hermite 内積を、点とともに滑らかに変わるように与えたものである。複素多様体（より一般に概複素多様体）$X$ の場合は、接束に $J$ で入る複素ベクトル束の構造について Hermite 計量を与えたものを「$X$ の Hermite 計量」という。これは $J$ で不変な Riemann 計量 $g$ と同じものであり、そこから基本形式 $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ という実 2 次形式が得られる。
Hermite 計量は、複素幾何で「長さ・角度・体積」を測る基本の道具である。ベクトル束の Hermite 計量は Chern 接続と曲率、したがって Chern 類の微分形式による表示の出発点になり、多様体の Hermite 計量の基本形式が閉じるという条件が Kähler 条件（Kähler形式）である。
この記事では次を証明する。

1. 複素構造 $J$ をもつ実ベクトル空間の上で、$J$ 不変な内積、Hermite 内積、$J$ 不変で正な 2 次形式の 3 つが一対一に対応する。座標では $h=\sum h_{j\bar k}\,dz_j\otimes d\bar z_k$ と $\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$ が対応する。
2. どの複素ベクトル束も Hermite 計量をもち、どの概複素多様体も Hermite 計量をもつ。
3. Hermite 計量について局所的なユニタリ枠がとれ、枠の変換はユニタリ群 $U(r)$ に値をとる。
4. 基本形式 $\omega$ について $\omega^n/n!$ は Riemann 計量の体積形式である。
5. Hopf 曲面の標準的な Hermite 計量は、基本形式が閉じない（Kähler 計量でない）。

Hermite 内積

$W$ の基底 $(e_1,\dots,e_r)$ をとり $h_{j\bar k}:=h(e_j,e_k)$ とおくと、$H=(h_{j\bar k})$ は正定値 Hermite 行列（$\bar H^{\mathsf T}=H$ で、$v\neq0$ なら $v^{\mathsf T}H\bar v>0$）であり、$v=\sum v_je_j$、$w=\sum w_ke_k$ について
$$ h(v,w)=\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,v_j\bar w_k $$
である。別の基底 $e'_k=\sum_jA_{jk}e_j$ に替えると、行列は
$$ H'=A^{\mathsf T}H\bar A $$
に変わる（$h(e'_k,e'_l)=\sum_{j,m}A_{jk}\bar A_{ml}h_{j\bar m}$ による。Wel08 Ch. III (1.7)、p. 68 と同じ変換則）。Gram–Schmidt の直交化（実内積の場合と同じ手順で、内積を $h$ に替える）により、$h(e_j,e_k)=\delta_{jk}$ となる基底、すなわちユニタリ基底がとれる。
文献によっては第 1 変数を共役線形にとる。この記事は Dem12、Wel08 と同じく第 1 変数を線形にとる。

$J$ 不変な内積・Hermite 内積・正の 2 次形式

実ベクトル空間 $V$ と複素構造 $J$（$J^2=-\mathrm{id}$。概複素構造 の定義「ベクトル空間の複素構造」）をとり、$(V,J)$ を $i$ 倍が $J$ である複素ベクトル空間とみなす。$\dim_{\mathbb C}(V,J)=n$ とする。

$\mathbb C^n$ の標準的な Hermite 内積 $h(v,w)=\sum_jv_j\bar w_j$ では、$g$ は Euclid 内積、$\omega=\frac i2\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j=\sum_jdx_j\wedge dy_j$ である（$\frac i2\,dz\wedge d\bar z=\frac i2(dx+i\,dy)\wedge(dx-i\,dy)=\frac i2(-2i)\,dx\wedge dy=dx\wedge dy$）。

この命題は Wel08 Ch. V (1.10)・(1.12)（p. 158）、Dem12 Ch. VI (4.2)（pp. 296–297）にある。とくに $\omega^n\neq0$ であり、$\omega$ は非退化である。

ベクトル束の Hermite 計量

以下、$M$ を $C^\infty$ 級多様体、$E\to M$ を階数 $r$ の滑らかな複素ベクトル束とし、$E_x$ を $x$ 上のファイバーとする。

局所枠 $(e_1,\dots,e_r)$（開集合 $U$ 上の滑らかな切断で各点で基底をなすもの）をとると、$H(x):=\bigl(h_x(e_j(x),e_k(x))\bigr)_{j,k}$ は $U$ 上の滑らかな正定値 Hermite 行列値関数である。逆に、各局所枠についての行列値関数 $H$ が滑らかなら、切断を枠で展開した係数は滑らかなので $h(s,t)=\sum h_{j\bar k}s_j\bar t_k$ は滑らかである。したがって滑らかさは局所枠についての行列で確かめられる。枠を $e'=eA$（$A\colon U\to GL(r,\mathbb C)$）に替えると $H'=A^{\mathsf T}H\bar A$ である。

この証明は Wel08 Ch. III Theorem 1.2（p. 68）と同じ筋で、実ベクトル束の計量（Lee13 Proposition 13.3、p. 329 は接束の場合）と同じ論法である。1 の分割を使うので、得られる計量は正則な構造とは関係がない。正則ベクトル束でも、Hermite 計量は滑らかな対象として存在する。

ベクトル束の Hermite 計量の例

Hermite 計量は束の構成と両立する。$E$、$F$ が Hermite 計量をもてば、直和には $h_E\oplus h_F$、テンソル積には $h(e\otimes f,e'\otimes f')=h_E(e,e')h_F(f,f')$ を線形に延ばしたもの、双対束 $E^*$ には双対計量（ユニタリ枠の双対枠がユニタリになるもの）が入る。いずれもユニタリ枠を使えば各点で標準的な内積になるので、Hermite 内積であることが確かめられる。

多様体の Hermite 計量

$(X,J)$ を実 $2n$ 次元の概複素多様体（とくに複素多様体。概複素構造）とする。接束 $TX$ は $J$ を $i$ 倍として階数 $n$ の複素ベクトル束であり、概複素構造 の命題「型の分解」の 2 により、写像 $u\mapsto\frac12(u-iJu)$ は $(TX,J)$ から $T^{1,0}X$ への複素ベクトル束の同型である。

$X$ が複素多様体で $(z_1,\dots,z_n)$ が正則局所座標のとき、$\partial/\partial x_1,\dots,\partial/\partial x_n$ は $(TX,J)$ の局所枠で（$J\partial_{x_j}=\partial_{y_j}$）、その双対の複素線形形式は $dz_1,\dots,dz_n$ である。$h_{j\bar k}:=h(\partial_{x_j},\partial_{x_k})$ とおくと、thm-hm-correspondence により
$$ h=\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\otimes d\bar z_k,\qquad \omega=\frac i2\sum_{j,k}h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k $$
であり、$(h_{j\bar k})$ は滑らかな正定値 Hermite 行列値関数である。$T^{1,0}X$ の側で見ると $h_{j\bar k}=h(\partial/\partial z_j,\partial/\partial z_k)$ である。これは Hodge分解 の記事の記号の $h$ と $\omega$ と同じ規格化で、Kähler多様体 の記事の $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ とも一致する。基本形式は型 $(1,1)$ の実形式である（型 $(p,q)$ は 概複素構造 の命題「型の分解」）。

prop-hm-volume を各点に当てると、Hermite 多様体では $\omega^n/n!$ が $g$ の Riemann 体積形式（リーマン多様体 の定義「リーマン体積」に対応する、標準的な向きの体積形式）である。座標では
$$ \frac{\omega^n}{n!}=\det(h_{j\bar k})\,dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n $$
である（Dem12 Ch. VI §4、p. 296）。

多様体の Hermite 計量の例

反例と注意

1 行目：$J\partial_x=\partial_y$ なので $g(J\partial_x,J\partial_x)=g(\partial_y,\partial_y)=2\neq1=g(\partial_x,\partial_x)$ で、$g$ は $J$ 不変でない。$\omega(\partial_x,\partial_y)=g(\partial_y,\partial_y)=2$、$\omega(\partial_y,\partial_x)=g(-\partial_x,\partial_x)=-1$ なので $\omega$ は交代的でない。$g$ は Riemann 計量だが thm-hm-correspondence の (a) の条件を満たさず、破る含意は「Riemann 計量ならば Hermite 計量の実部」である。2 行目：$h$ は Hermite 対称で、第 1 変数について線形・第 2 変数について共役線形だが、$h(\partial_{x_2},\partial_{x_2})=-1<0$ である。$g=\operatorname{Re}h$ は不定値で、$\omega(u,Ju)=g(u,u)$ は $u=\partial_{x_2}$ で負になる。3 行目：$h(\partial_{x_2},\partial_{x_2})=0$ で正定値でない。$\omega=\frac i2dz_1\wedge d\bar z_1=dx_1\wedge dy_1$ で $\omega^2=0$ なので、prop-hm-volume の結論が破れる。4 行目：各点では Hermite 内積だが、$h(1,1)=1+|x|$ は $x=0$ で微分できない。5 行目：$h_H$ は Hermite 計量の条件をすべて満たすが、基本形式が閉じないので Kähler 計量でない。Kähler 条件は Hermite 計量の定義に含まれない、別の条件である。
注意を 2 つ挙げる。

• 規格化の流儀。この記事では $\omega=-\operatorname{Im}h$、座標で $\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ とした。これは Dem12 Ch. VI §4（p. 296）、Wel08 Ch. V §4（p. 189）の $\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k$ と一致する。一方 Dem12 Ch. III (1.8)（p. 131）は Hermite 形式と実 $(1,1)$ 形式の対応を $u=i\sum h_{j\bar k}dz_j\wedge d\bar z_k=-2\operatorname{Im}h$ と、係数 $2$ だけ違う形で書く。Wel08 Ch. V (1.5)–(1.6)（p. 157）は $h=S-2i\Omega$ と書くが、これは同 (1.8)（p. 158）の $h=\sum(x\otimes x+y\otimes y)-2i\sum x\wedge y$ から分かるとおり、$x\wedge y=\frac12(x\otimes y-y\otimes x)$ と読む流儀（微分形式 の B 方式）によるもので、形式としての $\Omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}\zeta_j\wedge\bar\zeta_k$ はこの記事の $\omega$ と同じである。文献の式を比べるときは、この定数倍と外積の流儀を確かめる必要がある。
• 正則性とは関係しない。Hermite 計量は滑らかな対象で、thm-hm-existence は 1 の分割で作る。正則ベクトル束の上でも、Hermite 計量の選び方は無数にある。正則構造と Hermite 計量の両方に合う接続（Chern 接続）がただ一つあることが、曲率や Chern 類の計算の出発点になる。

関連項目

• 前提: ベクトル束, 概複素構造, リーマン多様体
• 比較: 内積空間, リーマン接続
• 直後に読む: Kähler形式, Kähler多様体
• 発展: 第1Chern類, Chern類, Hodge分解